Vành chính, vành euclide và ứng dụng

Lời cam đoanKhoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide và ứngdụng" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiêncứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Như Quỳnh

VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Th.S Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2017

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời cảm ơn

1.1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên 3

1.2 Vành chính 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Các tính chất của vành chính 6

1.3 Vành Euclide 13

1.3.1 Định nghĩa 13

1.3.2 Tính chất của vành Euclide 15

2 ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 17 2.1 Vành số nguyên 17

2.1.1 Xây dựng vành số nguyên 17

2.1.2 Vành số nguyên là vành chính, vành Euclide 18

2.2 Ứng dụng trong vành số nguyên 20

2.2.1 Khái niệm UCLN 20

2.2.2 Sự tồn tại của UCLN 21

2.2.3 Bài toán tìm UCLN 22

2.2.4 Đẳng thức Bezout 25

2.2.5 Phần tử bất khả quy trong vành số nguyên 29

2.2.6 Định lý về sự phân tích tiêu chuẩn 30

2.2.7 Phương trình vô định 34

2.3 Vành đa thức 36

2.3.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 36

2.3.2 Bậc của đa thức 38

2.3.3 Một số tính chất 38

2.4 Ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên một trường 39 2.4.1 Phép chia Euclide 39

2.4.2 UCLN của hai đa thức nguyên tố cùng nhau 43

2.4.3 Thuật chia Euclide 44

2.4.4 Đa thức bất khả quy 46

2.4.5 Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy 48

Lời cảm ơn

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sựgiúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Đến nay,khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơnchân thành, sâu sắc tới cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến người

đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trongsuốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nênkhóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mongnhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Như Quỳnh

Lời cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide và ứngdụng" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiêncứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - Thạc SĩDương Thị Luyến

Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đãviết trong phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết quảtrong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tácgiả nào khác

Hà Nội, tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Như Quỳnh

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tàiĐại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vànhchiếm một phần quan trọng trong Đại số Vành chính, vành Euclide

là hai khái niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành Hai lớp vànhđặc biệt này có những tính chất quan trọng được áp dụng rất nhiềutrong toán phổ thông, điều đó thể hiện rõ nhất trong toán trung học

cơ sở Mà các ứng dụng của vành chính, vành Euclide trong toán phổthông chính là các ứng dụng trên vành số nguyên và vành đa thứcmột ẩn trên trường số Xuất phát từ những lý do đó, em quyết địnhchọn đề tài khóa luận mang tên "Vành chính, vành Euclide vàứng dụng"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứuKhóa luận này nghiên cứu các kiến thức về vành chính, vành Euclide

và ứng dụng của chúng trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành

đa thức một ẩn trên trường số

Khóa luận này gồm hai chương:

Chương 1 Vành chính, vành Euclide

Chương 2 Ứng dụng của vành chính, vành Euclide

3 Đối tượng nghiên cứuVành chính, vành Euclide và ứng dụng của chúng

4 Phương pháp nghiên cứuTham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1

VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE

1.1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền

nguyênGiả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1 Ta cócác khái niệm và tính chất số học sau:

Định nghĩa 1.1 Một phần tử a ∈ A gọi là bội một phần tử b ∈ Ahay a chia hết cho b, kí hiệu: a b, nếu có c ∈ A sao cho a = bc Ta cònnói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b|a

Định nghĩa 1.2 Các ước của đơn vị gọi là các phần tử khả nghịch.Chẳng hạn, trong vành Z các số nguyên, các phần tử khả nghịch là

1 và −1 Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, các đa thứcbậc 0 nghĩa là các phần tử khác 0 của K là các phần tử khả nghịch.Định nghĩa 1.3 Hai phần tử x và x0 gọi là liên kết nếu chúng là ướccủa nhau, tức là x0 = ux với u khả nghịch

Chẳng hạn, trong vành các số nguyên Z, hai số nguyên a và −a làliên kết

Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, hai đa thức f (x) và

af (x), a ∈ K và a 6= 0, là liên kết

Định nghĩa 1.4 Cho b là một ước của a Khi đó b được gọi là ướcthực sự của a nếu b không khả nghịch và b không liên kết với a.Định nghĩa 1.5 Giả sử a là một phần tử khác 0 và không khả nghịchcủa A; a gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu a không có ướcthực sự

Định nghĩa 1.6 Nếu c|a và c|b thì c gọi là ước chung của a và b.Phần tử d gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b),nếu d là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b đều làước của d

Nếu d là một ước chung lớn nhất của a và b thì d0 cũng là ước chunglớn nhất của a và b, trong đó d0 là một phần tử liên kết với d Nên taviết UCLN(a, b) ∼ d

Định nghĩa 1.7 a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúngnhận phần tử đơn vị làm ước chung lớn nhất

Tính chất 1.1.1 Một số tính chất trong miền nguyên

(i) a|b khi và chỉ khi Aa ⊃ Ab

(ii) a|0,∀a ∈ A

(iii) 1|a, ∀a ∈ A

(iv) a|a, ∀a ∈ A

(v) Nếu a|b và b|c thì a|c.

Nếu a|b và a|c thì a|b + c

Tổng quát: Nếu a|bi, i = 1, n thì a|Pn

i=1bixi, xi ∈ A(vi) Nếu a|b thì (a) ⊂ (b)

Thật vậy, chỉ cần chứng minh rằng mọi iđêan A của Z đều là iđêanchính

Nếu A = {0} = 0Z thì A là một iđêan sinh chính bởi 0

Nếu A 6= {0}, thì tồn tại a ∈ A, a 6= 0 nên −a ∈ A Vậy A chứacác số nguyên âm và các số nguyên dương Gọi n là số nguyên dươngnhỏ nhất trong A Ta sẽ chỉ ra A là iđêan chính sinh bởi n

Ta có ∀a ∈ A, chia a cho n ta được : a = nb + r với b, r ∈ Z

và 0 ≤ r < n Vì A là một iđêan và n ∈ A nên nb ∈ A, do đó

r = a − nb ∈ A

Nếu r 6= 0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâuthuẫn giả thiết của số n, do đó r = 0 hay a = nb ∈ (n)

x, y ∈ A Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử

d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng:

Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b

Vì a, b ∈ I = dA, nên a = da0, b = db0, a0, b0 ∈ A Do đó d là ướcchung của a, b Thêm nữa nếu c là một ước chung của a và b, tức là

có a”, b” ∈ A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành

d = c(a”x + b”y)

Do đó c|d

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b

Tính chất 1.2.2 Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b, thì có

r, s ∈ A sao cho

e = ar + bs

Tính chất 1.2.3 Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s ∈ A saocho

1 = ar + bsTính chất 1.2.4 Nếu c|ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c|b.Chứng minh

Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất 1.2.3, ta có r, s ∈ Asao cho

1 = ar + csNhân hai vế của đẳng thức với b ta được

Vì x là bất khả quy nên các ước của x là các phần tử liên kết với

x và các phần tử khả nghịch Do đó gọi d là một ước chung lớn nhấtcủa x và a, thì d ∼ (x, a), suy ra d|x, mà x là bất khả quy, nên xảy rahai trường hợp:

TH1: d ∼ x suy ra x|a

Th2: d ∼ 1 suy ra (x, a) = 1, hay x và a nguyên tố cùng nhau.Tính chất 1.2.6 Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch.Các mệnh đề sau đây là tương đương:

a) x là bất khả quy

b) x|ab thì x|a hoặc x|b

Chứng minh(a ⇒ b) Theo tính chất 1.2.5 ta có hoặc x|a hoặc x và a nguyên tốcùng nhau Nếu x và a nguyên tố cùng nhau theo tính chất 1.2.4 ta

có x|b

(b ⇒ a) Giả sử a là một ước của x, thế thì có b ∈ A sao cho

x = ab

Vì x|x nên x|ab = x Theo b) x|a hoặc x|b Nếu x|a thì kết hợp a|x

ta có a và x liên kết Nếu x|b thì kết hợp b|x ta có x = ub, u là khảnghịch Do đó

x = ab = ubNhưng x 6= 0, nên b 6= 0 do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên.Cho nên một ước a của x chỉ có thể là hoặc liên kết với x hoặc là khảnghịch Vậy x là bất khả quy

Tính chất 1.2.7 Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iđêan của

A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm , có một iđêan M của họ F là tốiđại trong F

Chứng minh

Giả sử I0 là một iđêan của F Hoặc I0 là tối đại trong F , ta cóđiều phải chứng minh Hoặc có một iđêan I1 của F sao cho I1 6= I0 và

I1 ⊃ I0 Nếu I1 là tối đại trong F thì ta có điều phải chứng minh, nếukhông ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2 6= I1 và I2 ⊃ I1 Tiếptục quá trình này , hoặc ta được một iđêan M của F tối đại trong F ,hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F :

Dễ dàng thấy I một iđêan của A Vì A là một vành chính nên iđêan

I được sinh ra bởi một phần tử x ∈ I Theo định nghĩa của hợp, cómột số tự nhiên n sao cho x ∈ In Điều này kéo theo I ⊂ In và do đó

In = In+1, mâu thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt Do

đó điều giả sử không xảy ra

Vậy ta có một iđêan M của F tối đại trong F Tính chất 1.2.8 Trong vành chính A, mọi phần tử khác 0 và khôngkhả nghịch đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích nhữngnhân tử bất khả quy (không kể đến thứ tự và sai khác một số nhân tửkhả nghịch)

Nghĩa làGiả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch Khi đó, x có

thể viết duy nhất dưới dạng

với các pi, i = 1, 2, , n, là những phần tử bất khả quy

Chứng minhChứng minh sự tồn tại : Gọi F là tập hợp các phần tử không khảnghịch x 6= 0 sao cho x không được viết dưới dạng (2) Ta hãy chứngminh F 6= ∅ Giả sử F 6= ∅ Ta kí hiệu F là họ các iđêan Ax với

x ∈ F Theo tính chất 1.2.7, F có một phần tử m sao cho Am là tốiđại trong F Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quythì m có dạng (2) m không bất khả quy thì m có ước thực sự, chẳnghạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b ∈ A sao cho

m = abNhư vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽkéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo akhả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m Vì a và b là những ướcthực sự của m , nên ta có

Am ⊂ Aa, Am 6= Aavà

Am ⊂ Ab, Am 6= Ab

Do Am là tối đại trong F nên Aa và Ab không thuộc F , do đó a và

b không thuộc F ; a và b đều khác 0, khác khả nghịch và không thuộc

F , nên a và b phải được viết dưới dạng (2)

a = p1p2 pi,

b = pi+1, , pn

điều này kéo theo

m = ab = p1p2 pnmâu thuẫn với m ∈ F Chứng minh tính duy nhất : Giả sử x có hai sự phân tích thành tíchcác phần từ bất khả quy như sau:

x = p1p2 pm

x = q1q2 qnvới p1, p2, , pm, q1, q2, , qn là những phần tử bất khả quy Thế thì

m = n, và với một sự đánh số thích hợp ta có qi = uipi, i = 1, 2, , m.Theo tính chất 1.2.6 nhân tử bất khả quy p1 của x phải là ước củamột qi nào đó Vì A là giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng p1 là ướcthực sự của q1 Nhưng q1 là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do

đó p1 là ước không thực sự của q1 Thêm nữa p1 không khả nghịch,cho nên phải có p1 và q1 liên kết, tức là q1 = u1p1 với u1 khả nghịch.Như vậy ta được p1p2 pm = u1p1q2 qn

Vì p1 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được

p2 pm = u1q2 qn

Theo tính chất 1.2.6, p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với

i ≥ 2 Ta có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2 Do đó q2 = u2p2 với

u2 khả nghịch Như vậy ta được

p2p3 pm = u1u2p2q3 qn

Vì p2 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được

Hệ quả 1.1 Giả sử a và b là hai phần tử của một vành chính có dạngphân tích như sau:

Tính chất 1.2.9 Giả sử K là trường các thương của vành chính A,

α ∈ K là một nghiệm của đa thức f (x) = xn+ an−1xn−1+ + a1x +

a0(ai ∈ A)

Thế thì α ∈ A

Chứng minh

Ta có thể viết α = a/b, với a, b ∈ A nguyên tố cùng nhau Vì

f (α) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn:

an + b(an−1an−1 + + a1abn−2+ a0bn−1)Như vậy b chia hết cho an Vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp

hệ quả 2 ta được b chia hết cho a Do đó b là phần tử khả nghịch của

A, tức là b−1 ∈ A, điều này kéo theo α = ab−1 ∈ A

Định nghĩa 1.9 Giả sử X là một miền nguyên, X∗ là tập hợp cácphần tử khác 0 của X Miền nguyên X cùng với một ánh xạ (gọi làánh xạ Euclide )

δ : X∗ → N

từ X∗ đến tập hợp các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất:

(1) Nếu b|a và a 6= 0 thì δ(b) ≤ δ(a);

(2) Với hai phần tử a và b tùy ý của X, b 6= 0, có q và r thuộc X saocho a = bq + r và δ(r) < δ(b), nếu r 6= 0;

Suy ra |n| = |ma| = |m|.|a| ≥ |m| Dấu ” = ” xảy ra khi |a| = 1.Vậy δ(m) ≤ δ(n) Điều kiện thứ nhất thỏa mãn

Với hai số nguyên m, n bất kỳ(m 6= 0) Khi đó sẽ tồn tại q và rthuộc Z sao cho n = mq + r, hoặc r = 0(ta quay lại trường hợp trên),hoặc 0 < r < |m| Như vậy điều kiện thứ hai được thỏa mãn

Chú ý rằng nếu số nguyên r thỏa mãn 0 ≤ r < |m| ⇒ |r| < |m| ⇒δ(r) < δ(m)

Vậy Z là vành Euclide

1.3.2 Tính chất của vành Euclide

Tính chất 1.3.1 Nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính.Chứng minh

Giả sử A cùng với ánh xạ δ : A∗ → N là một vành Euclide và I làmột iđêan của A

Nếu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0

Giả sử I 6= {0} Gọi a là phần tử khác 0 của I sao cho δ(a) là bénhất trong tập hợp δ(I∗), I∗là tập hợp các phần tử khác 0 của I Giả

sử x là một phần tử tùy ý của I Theo tính chất 1.2.2) ta có q, r ∈ Asao cho

x = aq + r

Vì a, x ∈ I, nên r = x − aq ∈ I Nếu r 6= 0 ta có δ(r) < δ(b), mâuthuẫn với giả thiết δ(a) là bé nhất trong I∗ Vậy r = 0 và I = Aa.Nhận xét:

Như vậy mọi vành Euclide đều là vành chính nên một vành Euclide

có đầy đủ các tính chất của vành chính Ngoài ra nó còn có tính chấtsau:

Tính chất 1.3.2 Giả sử A là một vành chính và a, b, q, r là nhữngphần tử của A thỏa mãn quan hệ a = bq + r Thế thì ước chung lớnnhất của a, b là ước chung lớn nhất của b, r

Chứng minhGọi I là iđêan sinh bởi a, b và J là iđêan sinh ra bởi b, r Từ a =

bq + r, ta suy ra a ∈ J , do đó I ⊂ J Từ r = a − bq, ta suy ra r ∈ I,

do đó J ⊂ I Vậy I = J Nhưng A là một vành chính, nên tồn tại

d ∈ I sao cho Ad = I Theo tính chất của vành chính, d là ước chung

lớn nhất của a, b Nhưng I = J , nên d cũng là ước chung lớn nhất của

b = r0q1 + r1với δ(r1) < δ(r0), nếu r1 6= 0Nếu r1 6= 0 ta lại chia r0 cho r1 :

r0 = r1q2 + r2với δ(r2) < δ(r1), nếu r2 6= 0Quá trình như vậy phải chấm dứt sau một số hữu hạn bước vì dãycác số tự nhiên δ(b) > δ(r0) > δ(r1) > δ(r2) không thể giảm vô hạn,

tức là sau một số lần chia, ta phải đi tới một phép chia mà dư bằng 0

• Trên tập N × N ta xác định một quan hệ như sau

(a, b)S(c, d) ⇔ a + d = b + c Quan hệ trên là một quan

hệ tương đương Gọi Z là tập thương của N × N trên quan hệ tươngđương trên, thì khi đó:

Z = N × NS = {(a, b)|a, b ∈ N}

Trên Z ta định nghĩa hai phép toán:

Phép (+): (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)Phép (·): (a, b).(c, d) = (ac + bd, ad + bc)Khi đó Z cùng hai phép toán (+), (·) lập thành một vành giao hoán

có đơn vị Ta gọi là vành các số nguyên Z

• Xét ánh xạ

f : N → Z

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa chia hết)

Cho các số nguyên a và b, b 6= 0 Nếu có một số nguyên q sao cho

a = bq thì ta nói rằng b chia hết a hay b là ước của a và ký hiệu là b|a

Ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và ký hiệu là a b.Định nghĩa 2.2 (Phép chia có dư trong Z)

Cho các số nguyên a và b, b 6= 0, tất có các số nguyên q, r duy nhấtsao cho

a = bq + r, 0 ≤ r < |b|

Chứng minh

a) Sự tồn tại : Gọi M là tập hợp các bội của b và bé hơn hay bằnga.

M = {bx|x ∈ Z, bx ≤ a}

Ta có M ⊂ Z và M 6= 0 Vì chẳng hạn −|b|.|a| /∈ M , M bị chặntrên, vậy nó có số lớn nhất Ta gọi số đó là bq Số nguyên bq + |b| làmột bội của b và bq + |b| ∈ M vì bq + |b| > bq,do đó ta có:

Nhưng |r − r1| < |b|, cho nên |b|.|q1− q| < |b|, nghĩa là |q1− q| < 1

Hệ thức này buộc q1 − q = 0, nghĩa là q = q1, từ đó r = r1

Trong trường hợp r = 0 thì a = bq, tức là b chia hết a, ta đã gọi q

là thương trong phép chia a cho b Giả sử bây giờ ta có a = bq + r và

0 ≤ r < |b| Ta nói đó là một phép chia có dư, r gọi là số dư, q gọi làthương trong phép chia a cho b

Hệ quả 2.1 Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ

δ: Z∗ → N

Vì vành số nguyên Z là một vành Euclide và cũng là một vành chínhnên trong Z có khái niệm ước chung lớn nhất và có thuật toán Euclide

để tìm ước chung lớn nhất Các tính chất này được suy ra từ các tínhchất của vành chính, vành Euclide

Định nghĩa 2.3 Giả sử a, b là những số nguyên đã cho Một sốnguyên c sao cho c|a, c|b gọi là một ước chung của a, b

Ước chung lớn nhất (UCLN) của các số nguyên a, b là một ướcchung d của chúng, sao cho d chia hết tất cả các ước chung của a, b

Kí hiệu: U CLN (a, b) hoặc (a, b)

Nhận xét

Ta định nghĩa tương tự như trong miền nguyên Vì vành số nguyên

Z là vành sắp thứ tự nên trong tập các ước chung của a, b có số lớnnhất Ta quy ước gọi số lớn nhất trong tập các ước chung của a, b là

UCLN mà ta vẫn dùng trong chương trình phổ thông Với quy ướcnày, UCLN của hai số nguyên là duy nhất.

Định lý 2.1 Giả sử a1, a2 là những số nguyên đã cho không đồngthời bằng không Khi đó UCLN của chúng tồn tại

Chứng minhXét tập hợp I = {y = a1x1 + a2x2, xi ∈ Z}

Vì không phải tất cả các ai bằng 0, nên trong I sẽ có những số

y 6= 0 Ta gọi d là số nhỏ nhất về giá trị tuyệt đối trong các số y 6= 0

Ta sẽ chứng minh d là một UCLN của a1, a2

Trước tiên, ta phải chứng minh d|ai (i = 1, 2) Giả sử ta có:

Thật vậy, nếu c|ai tức là ai = bic thì ∀y ∈ I

y = a1x1 + a2x2 = b1cx1 + b2cx2 = c(b1x1 + b2x2)

Do đó c|y Và vì d ∈ I nên ta có c|d

• Nhận xét

Do Z là vành chính, vành Euclide nên luôn tồn tại UCLN của haiphần tử và ta cũng có thuật toán Euclide để tìm UCLN của hai phầntử.

Để tìm UCLN trong vành số nguyên ta dựa vào thuật toán Euclide

a, Bổ đề

Bổ đề 1: Giả sử X là vành Euclide, khi đó X là vành chính vàUCLN của hai phần tử tồn tại Nếu a,b,q,r là các phần tử của X thỏamãn đẳng thức a = bq + r, thì UCLN của a và b là ước chung lớnnhất của b và r Thật vậy, nếu c là ước chung (UC) của b và r ( tức

Theo bổ đề trên thì (a, b) = (b, r0)

Nếu r0 6= 0, ta lại chia b cho r0:

b = r0q1 + r1 với 0 < r1 < r0 nếu r1 6= 0

và lúc đó (b, r0) = (r0, r1)