Thay tọa độ các điểm của đáp án vào phương trình đường thẳng d.. ) Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là.. A. )[r]
Trang 1Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020
Trang 2I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x y z0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương
( 1; 2; 3)
0 2
0 3
= +
= +
trong đó t là tham số
Chú ý: Nếu a ; 1 a ; 2 a 3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của ∆ dưới dạng chính tắc:
0 0 0
1 2 3
+ Cho A x( A; y A; z A), B x( B; y B; z B) ta có : AB=(x B −x A;y B −y z A; B −z A)
+ Hình chiếu của M a b c( ; ; ) trên Ox là M1(a; 0; 0), trên Oy là M2(0; ; 0b ), trên Oz là M3(0; 0;c)
+ Hình chiếu của M a b c( ; ; ) trên (Oxy) là M1(a b; ; 0), trên (Oyz) là M2(0; ;b c), trên (Oxz) là
( )
3 ; 0;
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Phương trình đường thẳng( Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng đã cho)
Tìm VTCP, các vấn đề về lý thuyết
PT hình chiếu vuông góc của d lên (P)
Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK
BÀI T ẬP MẪU
:
− Điểm nào dưới đây thuộc d ?
A P(1; 2; 1− ) B M(− −1; 2;1) C N(2;3; 1− ) D Q(− −2; 3;1)
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Xác định điểm thuộc đường thẳng cho trước
………
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
DẠNG TOÁN 25: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG)
Trang 3Phương trình tham số của đường thẳng d :
Cho đường thẳng d qua điểm M x y z( 0; 0; 0) có vectơ chỉ phương ( ) 2 2 2
phương trình tham số của đường thẳng d :
0 0 0
= +
= +
(t∈ )
+ Nếu a b c ≠ thì đường thẳng d có phương trình chính tắc: 0 x x0 y y0 z z0
………
3 HƯỚNG GIẢI:
Thay tọa độ các điểm của đáp án vào phương trình đường thẳng d
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải Chọn A
Thay tọa độ điểm P(1; 2; 1− ) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 1 2 2 1 1 0
− = − =− + =
−
Ta suy ra được P d∈
Bài t ập tương tự và phát triển:
M ức độ 1
Câu 1 Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :
1 2 2 2
= −
= − +
= − −
đi qua điểm nào dưới đây ?
A M(2; 1; 2− ) B N(1; 2; 2− − ) C P(1; 2;3) D Q(−2;1; 1− )
Lời giải Chọn B
Ta thấy N(1; 2; 2− − ∈) d
Câu 2 Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : 1 4
− − đi qua điểm nào dưới đây ?
A M(2; 1; 2− ) B N(1; 4; 0− ) C P(1; 4; 2− − ) D Q(−2;1; 1− )
Lời giải Chọn B
Thay tọa độ điểm N(1; 4; 0− ) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 1 4 4 0 0
Trang 4(1; 4; 0)
Câu 3 Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 1 2 3
− đi qua điểm nào sau đây?
A Q(2; 1; 2− ) B M(− − −1; 2; 3) C P(1; 2;3) D N(−2;1; 2− )
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ điểm P(1; 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 1 2 2 3 3 0
−
(1; 2;3)
Câu 4 Cho đường : 1 2 3
− Điểm nào sau đây không thuộc d ?
A N(4; 0; 1 − ) B M(1; 2;3 − ) C P(7; 2;1 ) D Q(− −2; 4; 7 )
L ời giải
Ch ọn D
Thay tọa độ P(7; 2;1) vào phương trình đường thẳng d không thỏa mãn nên P∉ d
Câu 5 Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thằng : 2 1 2
?
A P(1;1; 2) B N(2; 1; 2− ) C Q(−2;1; 2− ) D M(− −2; 2;1)
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng d ta thấy điểm Q(−2;1; 2− ∈) d
Câu 6 Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 1 2 3
− không đi qua điểm nào dưới đây?
A Q(1; 2; 3)− B M(2; 1; 2)− C P(0; 2; 8)− D N(0;5; 8)−
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy: 0 1 2 2 8 3
−
Trang 5Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng( )d có phương trình
− Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng ( )d ?
A. P(7; 2;1) B M(1; 2;3− ) C N(4; 0; 1− ) D Q(− −2; 4; 7)
L ời giải
Ch ọn A
Thế tọa độ điểm P(7; 2;1) vào đường thẳng ( )d ta có: 2 2 1
2
−
= ≠ nên P(7; 2;1)không thuộc đường thẳng ( )d
Câu 8 Trong không gian Oxyz, đường thẳng
2
3
= −
= +
= +
có một vectơ chỉ phương là
A u3 =(2;1;3) B u4 = −( 1; 2;1) C u2 =(2;1;1) D u1 = −( 1; 2;3)
Lời giải Chọn B
Câu 9 Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : 2 1 3
− có một vectơ chỉ phương là
A u=(2;1; 3 − ) B u=(2; 3; 2 − ) C u=(1; 2;3 ) D u = −( 2;1; 3 − )
Lời giải Chọn B
Câu 10 Trong không gian Oxyz , đường thẳng d :
3 2
2 3 2
= −
= − +
= +
có một vectơ chỉ phương là
A u=(3; 2; 2 − ) B u=(2; 3; 2 − ) C u= −( 3; 2; 2 ) D u= −( 2;3;1 )
Lời giải Chọn D
Câu 11 Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 3 1 5
− có một vectơ chỉ phương là
A u1 =(3; 1;5− ) B u4 =(1; 1; 2− ) C u2 = −( 3;1;5) D u3 =(1; 1; 2− − )
Lời giải Chọn B
Trang 6Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 12 3 ; ( )
5
x
=
= −
Véctơ nào
dưới đây là véctơ chỉ phương của d ?
A u1 =(0;3; 1− ) B u2 =(1;3; 1− ) C u3 =(1; 3; 1− − ) D u4 =(1; 2;5)
Lời giải Chọn A
M ức độ 2
Câu 1 Cho d qua A(3; 0;1 ,) B(−1; 2;3 ) Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là
A u= −( 1; 2;1 ) B u=(2;1; 0 ) C u=(2; 1; 1 − − ) D u = −( 1; 2; 0 )
L ời giải
Ch ọn C
Véctơ chỉ phương là véctơ có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng d Do đó:
( 4; 2; 2) 2 2; 1; 1( )
d
Câu 2 Cho hai điểm A(5; 3; 6− ), B(5; 1; 5− − ) Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng AB
A u=(5; 2;1 − ) B u=(10; 4;1 − ) C u=(0; 2; 11 − ) D u=(0; 2;11 )
L ời giải Chọn C
Véctơ chỉ phương là u=AB=(0; 2; 11 − )
Câu 3 Cho điểm M(1; 2; 3) Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox ,
A u2 =(1; 2; 0 ) B u3 =(1; 0; 0 ) C u4 = −( 1; 2; 0 ) D u1 =(0; 2; 0 )
Lời giải
Ch ọn C
1
2
1 2 1; 2; 0
Câu 4 Cho điểm M(3; 1; 5− ) Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox
A u2 =(3; 1; 5 − ) B.
u3=(1; 0; 0 ) C u4 = − −( 3; 1; 0 ) D u1 =(0; 2; 0 )
Trang 7L ời giải
Ch ọn C
1
2
1 2 3; 1; 0
M M = − −
Câu 5 Cho điểm M(−2; 3; 4) Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt
A u2 =(2; 3; 0 ) B u3 =(1; 0; 2 ) C u4 =(0; 3; 4 − ) D u1 = −( 2; 0; 4 )
Lời giải
Ch ọn B
1
2
1 2 2 ; 0 ; 4
nên u3 =(1 ; 0 ; 2) là một vectơ chỉ phương của
1 2
M M
Câu 6 Cho điểm M(−2;5;1) Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt
A u2 = −( 2;5;1 ) B u3 =(0; 5; -1 ) C u4 =(0; 5; 0 ) D u1= −( 4;5;1 )
L ời giải
Ch ọn B
1
2
1 2 0; 5;1
nên u3 =(0; 5;1− ) là một vectơ chỉ phương của
1 2
M M
Câu 7 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4 P x− + = Tìm một véctơ chỉ phương z 3 0
của đường thẳng d
A.u=(4;1;3) B u=(4; 0; 1).− C.u=(4;1; 1).− D.u=(4; 1;3).−
L ời giải
Ch ọn B
Vì d ⊥( )P nên ud =n( )P =(4; 0; 1).−
Câu 8 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 P − + − + = Tìm một véctơ chỉ x y z 1 0
phương của đường thẳng d
A.u= − − −( 2; 1; 1) B u=(2; 1;1).− C.u= −( 2;1;1). D.u= − −( 2; 1;1).
L ời giải
Ch ọn B
Vì d ⊥( )P nên ud =n( )P = −( 2;1; 1).− Chọn u=(2; 1;1)−
Trang 8Câu 9 Cho hai mặt phẳng ( )P : 2x+ − − =y z 1 0,( )Q :x−2y+ − =z 5 0 Khi đó, giao tuyến của hai
mặt phẳng ( )P và ( )Q có một vectơ chỉ phương là
A u=(1; 2;1− )
B u =(2;1; 1− )
C u =(1;3;5)
D u = −( 1;3; 5− )
L ời giải
Ch ọn C
Gọi d =( ) ( )P ∩ Q Khi đó, chọn một vectơ chỉ phương của d là u=n n P; Q= − − −( 1; 3; 5)
Vậy u =(1;3;5)
cũng là một vectơ chỉ phương của d
Câu 10 Cho đường thẳng
1 2
2
= +
= − +
Biết A m m( ; +2;1)∈d Tìm m
A m= − 1 B m= − 3 C m= 7 D m= 5
L ời giải
Ch ọn C
( ; 2;1)
1 2
t
= +
= − +
m
Câu 11 Cho đường thẳng : 2 1
− đi qua điểm M(2; ;m n) Giá trị m n+ bằng
Lời giải
Ch ọn C
− đi qua điểm M(2; ;m n) khi và chỉ khi 2 2 1
−
2
−
1 6
m n
+ = −
⇔ − =
4 7
m n
= −
⇔ =
Suy ra m n+ = 3
M ức độ 3
Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu
của đường thẳng 1 2 3
trên mặt phẳng (Oxy ? )
A
1
2 3 0
z
= +
= −
=
1
2 3 0
z
= +
= − +
=
1
2 3 0
z
= +
= − −
=
1 2
2 3 0
z
= +
= − +
=
Trang 9
L ời giải Chọn D
= = qua M(1; 2;3− )và N(3;1; 4)
Phương trình hình chiếu cần tìm là:
1 2
0
z
= +
′ ′ = − +
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu
của đường thẳng 1 2 3
trên mặt phẳng (Oyz)?
A
0
2 3 3
x
=
= − −
= − +
0
2 3 3
x
=
= −
= − +
0
2 3 3
x
=
= +
= − +
0
2 3 3
x
=
= − +
Lời giải
Ch ọn D
= = qua M(1; 2;3− )và N(3;1; 4)
Phương trình hình chiếu cần tìm là:
0
3
x
=
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 12 9 1,
= = và mặt thẳng
( )P : 3x+5y− − =z 2 0 Gọi 'd là hình chiếu của d lên ( )P Phương trình tham số của 'd là
A.
62
2 61
= −
=
= −
B.
62
2 61
=
= −
= +
C.
62
2 61
=
= −
= − +
D
62
2 61
=
= −
= +
L ời giải
Ch ọn C
Cách 1:
Gọi A= ∩d ( )P
( ) ( )
12 4 ;9 3 ;1
3 0; 0; 2
Trang 10d đi qua điểm B(12;9;1)
Gọi H là hình chiếu của B lên ( )P
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )
BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương a BH =n P =(3;5; 1− )
( )
12 3
1
12 3 ;9 5 ;1
186 15 183
AH
= +
= −
'
d đi qua A(0; 0; 2− ) và có vectơ chỉ phương ad' =(62; 25; 61− )
Vậy phương trình tham số của 'd là
62 25
2 61
=
= −
= − +
Cách 2:
Gọi ( )Q qua d và vuông góc với ( )P
d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương ad =(4;3;1)
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )
( )Q qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =a n d, P= −( 8; 7;11)
( )Q : 8x−7y−11z−22=0
'
Tìm một điểm thuộc 'd , bằng cách cho y= 0
'
d đi qua điểm M(0; 0; 2− )và có vectơ chỉ phương ad =n n P; Q=(62; 25; 61− )
Vậy phương trình tham số của 'd là
62 25
2 61
=
= −
= − +
Trang 11Câu 4 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 3 0 và đường thẳng
:
− Hình chiếu vuông góc của d trên ( )P có phương trình là
L ời giải Chọn C
Gọi M là giao điểm của d với ( )P
Tọa độ của M là nghiệm của hệ:
+ + − =
(1;1;1)
M
Lấy điểm N(0; 1; 2− )∈d
Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là: n=(1;1;1)
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và nhận n =(1;1;1)
làm vec tơ chỉ phương
Phương trình đường thẳng : 1 2
Gọi N′ là giao điểm của ∆ với ( )P
Tọa độ của N′ là nghiệm của hệ:
2 3 3
1 1
3 2
8 3
x
z
=
+ + =
+ + − =
=
( )
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M(1;1;1) và nhận u =(1; 4; 5− )
làm vec tơ chỉ phương nên
có phương trình 1 1 1
−
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 5 3
− Phương trình
nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng x+ = ? 3 0
Trang 12A
3 5
3 4
x
= −
= − −
= − +
B
3 5
3 4
x
= −
= − +
= +
C
3
5 2 3
x
= −
= − +
= −
D
3 6
x
= −
= − −
= +
L ời giải
Ch ọn D
Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M0(1; 5;3)− và có VTCP ud =(2; 1; 4− )
Gọi ( )Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( )P :x+ =3 0
Suy ra mặt phẳng ( )Q đi qua điểm M0(1; 5;3)− và có VTPT là [n u P; d] (= 0; 4;1)
( )Q : 4y z 17 0
Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng ( )P là
3 0
x
+ =
3 6
x
= −
= − −
= +
Cách 2: Ta có M∈ ⇒d M(1 2 ; 5+ t − −t;3 4+ t) Gọi M ′ là hình chiếu của M trên
( )P :x+ =3 0 Suy ra M′ − − −( 3; 5 t;3 4+ t) Suy ra
3
3 4
x
= −
= +
So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng
Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 3 0 và đường thẳng
:
− Hình chiếu vuông góc của d trên ( )P có phương trình là
L ời giải
Ch ọn C
Gọi M là giao điểm của d với ( )P
Tọa độ của M là nghiệm của hệ:
+ + − =
(1;1;1)
M
Lấy điểm N(0; 1; 2− )∈d
Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là: n=(1;1;1)
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và nhận n =(1;1;1)
làm vec tơ chỉ phương
Phương trình đường thẳng : 1 2
Trang 13Gọi N′ là giao điểm của ∆ với ( )P
Tọa độ của N′ là nghiệm của hệ:
2 3 3
1 1
3 2
8 3
x
z
=
+ + =
+ + − =
=
( )
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M(1;1;1) và nhận u =(1; 4; 5− )
làm vec tơ chỉ phương nên
có phương trinh 1 1 1
−
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z 1 0 và đường thẳng
:
− Viết phương trình đường thẳng d′ là hình chiếu vuông góc của d
trên ( )P
:
L ời giải
Ch ọn B
+) Phương trình tham số của
2 2
1
= − +
= −
= − +
, t∈ Gọi R M = − +( 2 2 ; 4 2 ; 1t − t − +t) là giao
điểm của d và ( )P ⇒ − +( 2 2t) (+ 4 2− t) (− − + − =1 t) 1 0 ⇔ = t 2 ⇒M =(2; 0;1)
+) Mặt phẳng ( )P có 1 vectơ pháp tuyến là nP =(1;1; 1− )
Điểm N =(0; 2; 0) ∈ d
d' d
P
M
N
M'
Trang 14Gọi ∆ là đường thẳng qua N(0; 2; 0) và vuông góc với mặt phẳng ( )P ⇒ ∆ nhận vectơ (1;1; 1)
P
làm vectơ chỉ phương Suy ra phương trình của ∆ là:
( ) 0 2 0 ( )
=
− = − , c∈ Gọi M′ =(c; 2+ −c; c) là giao điểm của
3
3 3 3
+) 7 5; ; 2
, đường thẳng d′ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng ( )P
u= − MM ′= −
làm vector chỉ phương nên phương trình của d′ là:
:
M ức độ 4