Phương pháp và bài tập mẫu:.. 1.[r]
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III – HÌNH 10 (CHUẨN)
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP: Kí hiệu: (E)
A Kiến thức cần nhớ:
1 Nếu M (E) thì F1M + F2M = 2a
2 Phương trình chính tắc (PTCT) của (E):
a b (a > b) a) a2 = b2 + c2 b) Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)
c) * Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0), A2(a; 0) * Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b), B2(0; b)
d) * Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a * Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
e) Tiêu cự: F1F2 = 2c
g) PT cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = a, y = b
B Phương pháp và bài tập mẫu:
1 Xác định các thành phần của elip khi biết PTCT của (E):
a b B1: Tìm a, b và c = a2 b2
B2: Liệt kê các thành phần của elip
Bài 1: Cho PTCT của (E):
25 16 Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E)
Giải: Ta có:
2 2
a 25
b 16
a 5
b 4
suy ra: c = a2 b2 25 16 9 3 a) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 2.5 = 10, Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 2.4 = 8
b) Tiêu điểm: F1(-3; 0), F2(3; 0)
c) Đỉnh trục lớn: A1(-5; 0), A2(5; 0), Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -4), B2(0; 4)
d) Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2.3 = 6
Bài 2: Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E)
Giải: Từ (E): 4x2 + 9y2 = 36
9 4 (chia 2 vế cho 36)
Ta có:
2
2
a 3
b 2
suy ra: c = a2 b2 9 4 5 a) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 2.3 = 6, Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 2.2 = 4
b) Tiêu điểm: F1(- 5 ; 0), F2( 5 ; 0)
c) Đỉnh trục lớn: A1(-3; 0), A2(3; 0), Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -2), B2(0; 2)
d) Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2 5
2 Lập PTCT của elip
B1: Tìm a và b (hoặc a2 và b2)
Vdct liên quan: c2 = a2 – b2
Chú ý: a > b > 0
B2: Thay a, b (hoặc a2 và b2) vào PTCT của (E):
a b
Bài 2: Lập PTCT của (E), biết:
Trang 2a) Độ dài 2 trục lớn và nhỏ lần lượt là 10 và 8
b) Độ dài trục lớn bằng 12 và tiêu cự bằng 6
c) Cĩ 1 tiêu điểm F1(- 2 ; 0) và đi qua điểm M( 2 ; 1)
d) Đi qua điểm A
5 (2; ) 3
và tỉ số
c
a bằng
2
3 e) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số
c
a bằng
5 13 f) Độ dài trục lớn bằng 12 và đi qua M( 2 5;2 )
Giải: a) Ta cĩ: 2a = 10 a = 5 và 2b = 8 b = 4
Vậy: PTCT của (E) là:
25 16 b) Ta cĩ: 2a = 12 a = 6 và 2c = 6 c = 3 Suy ra: b2 = a2 – c2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27
Vậy: PTCT của (E) là:
36 27
c) Từ tiêu điểm F1(- 2 ; 0) c = 2 Gọi PTCT của (E) cĩ dạng:
a b
Ta cĩ: M( 2 ; 1)(E), nên: 2 2
a b mà a2 = b2 + c2 = b2 + 2
Suy ra: 2 2
b 2 b 2b2 + b2 + 2 = b2(b2 + 2) b4 – b2 – 2 = 0
2 2
b 1(loại)
a2 = 2 + 2 = 4 Vậy: PTCT của (E) là:
4 2
d) Gọi PTCT của (E) cĩ dạng:
a b Ta cĩ: A
5 (2; ) 3
(E), nên: 2 2
25
a b
Từ tỉ số
c 2
a 3 c = 2 a
3 mà b2 = a2 – c2 = a2 –
2
4 a
9 =
2
5 a 9
Suy ra:
2
2
25
5
9
4
2
5 a
9 +
25
9 a2 = a2
2
5 a
9
4
5 a
9 – 5a2 = 0
2 2
a 0(loại)
b2 =
2
5 a
9 = 5.9 5
9 Vậy: PTCT của (E) là:
9 5
e) Ta cĩ: 2a = 26 a = 13 và tỉ số
a 13 c =
5 a 5 .13 5
Suy ra: b2 = a2 – c2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 Vậy: PTCT của (E) là:
169 144 f) Ta cĩ: 2a = 12 a = 6
Trang 3 20 4 12
36 b 20b2 + 144 = 36b2 16b2 = 144 b2 = 9
Vậy: PTCT của (E) là:
36 9
Bài 3: Lập PTCT của (E), biết:
a) Đi qua 2 điểm E(0; 1) và F
3 1;
2
b) Đi qua 2 điểm M
9 4;
5
và N
12 3;
5
Giải: a) Gọi PTCT của (E) có dạng:
a b
Ta có: E(0; 1) và F
3 1;
2
(E), ta có hệ:
3
2
2
1 1
1 1 b
2 2
b 1
Vậy: PTCT của (E) là:
4 1
b) Gọi PTCT của (E) có dạng:
a b
Ta có: M
9 4;
5
và N
12 3;
5
(E), ta có hệ:
81
16 25 1
144
2
2
2 2
a 25
Vậy: PTCT của (E) là:
25 9
Bài 4: Cho (E): 9x2 + 25y2 = 225 Tìm điểm M(E) sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc vuông
Giải: Ta có: 9x2 + 25y2 = 225
25 9
Suy ra:
2
2
a 25
a 5
b 3
c = a2 b2 25 9 16 4
M nhìn F1F2 dưới một góc vuông Mđường tròn (C) tâm O và bán kính bằng c = 4
PT đường (C) là: x2 + y2 = 16
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
9x 25y 225
2
2
175 x
16 81 y 16
5 7 x
4 9 y 4
Trang 4Vậy: 1,2
5 7 9
4 4
và 3,4
5 7 9
Bài 5: Viết PTCT của (E) đi qua điểm M
3 4;
5 5
và điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 gĩc vuơng
Giải: Điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 gĩc vuơng c = OM c2 = OM2
c2 =
Gọi PTCT của (E) cĩ dạng:
a b
Ta cĩ: M
3 4;
5 5
(E), nên: 2 2
9 16
a b mà a2 = b2 + c2 = b2 + 5
Suy ra: 2 2
b 5 b
9b 16(b 5) b (b 5)
9b 16b 16 b 5b
b4 – 16 = 0
2 2
b 4(loại)
suy ra: a2 = b2 + 5 = 4 + 5 = 9
Vậy: PTCT của (E) là:
9 4
C Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E),
biết:
a) (E):
144 4 b) (E):
100 36 c) (E): x2 + 5y2 = 5 d) 16x2 + 25y2 – 400 = 0
Bài 2: Lập PTCT của (E), biết:
a) Độ dài 2 trục lớn và nhỏ lần lượt là 20 và 8
b) Độ dài trục lớn bằng 14 và tiêu cự bằng 10
c) Cĩ 1 tiêu điểm F1(-3; 0) và đi qua điểm M(-2; 2 )
d) Đi qua điểm A( 2;12) và tỉ số
c
a bằng
1
2 e) Tiêu cự bằng 6 và tỉ số
c
a bằng
3 5 f) Độ dài trục lớn bằng 4 5 và đi qua M( 15; 1 )
Bài 3: Lập PTCT của (E), biết:
a) Đi qua 2 điểm E(0; 3) và F
12 3;
5
b) Đi qua 2 điểm M4; 3 và N2 2;3
c) Đi qua 2 điểm A(2; 1) và B
1 5;
2
Trang 5d) Đi qua 2 điểm E(3; 0) và F 3 ;2
2
Bài 4: Cho (E):
9 5 Tìm điểm M(E) sao cho MF1 = 2MF2
Bài 5: Cho (E): 7x2 + 16y2 = 112 Tìm điểm M(E) sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc vuông
Bài 6: Viết PTCT của (E) đi qua điểm M
5 ; 12
và điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông