Chuyên đề: Phương trình bậc nhất- Đại số 8- Chương 3 – Xuctu.com

- Kinh nghi ệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn c ủng cố cho học sinh một số kĩ năn[r]

Chuyên đề: Phương trình bậc nhất- Đại số 8- Chương 3 Kiến thức cơ bản

a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b > 0 (

hoặc ax + b < 0 : ax + b ≥ 0 ; ax + b ≤ 0) trong đó x là ẩn a , b là các số đã cho

a ≠ 0

b) Bất phương trình tương đương

Đ N : hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng một

tập hợp nghiệm

Các phép biến đổi tương đương

+ Định lí 1 : Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất

phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương

- Hệ quả 1 ; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương

trình thì được một bất phương trình tương đương

- Hệ quả 2 : Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó

thì được một bất phương trình tương đương

+ Định lí 2 :

- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì được một

bất phương trình tuơng đương

- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi chiều của

bất phương trình thì được một bất phương đương

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là : S = {x / x > 8 }

Bài 2 : Giaỉ các bất phương trình sau ;

bất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số ,

biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm các gía trị của x để x2 > 0 ta đưa về tìm x để x2 = 0 khi đó những giá trị còn lại

Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm :

Bước 1 : Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình

Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế , các hạng tử bằng số sang một vế rồi thu gọn bất phương trình

Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn

Bài 3 : Giải các bất phương trình sau :

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc điểm gì và

gợi ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; S = {x / x ≤ -115}

Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có

chứa mẫu :

Bước 1 : Quy đồng và khử mẫu

Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số sang một vế và thu gọn bất phương trình

Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn

Bài 4 : Giải bất phương trình :

mx + 1 ≥ m2 + x ( với m là tham số )

Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường

(m-phải khác không và quy tắc chia hai vế của bất phương trình cho một số âm

phải đổi chiều bất phương trình Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân chia trường hợp của m- 1 là ( m-1) > 0 ; (m – 1 ) <0 ; ( m- 1 ) = 0 và học sinh

có thể giải tiếp như sau :

+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1

+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1

+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giá

mẫu có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình

2 nghiệm đúng với mọi x

Bài 6 : Giải bất phương trình :

2 5 8 11

x+ + x+ > x+ + x+

Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc

đó là quy đồng , rút gọn rồi mới giải bất phương trình , làm như vậy thì các em

Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về

mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng dẫn học sinh tạo ra các phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng thêm vào mỗi phân thức với 1 khi đó ta có :

Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì còn

những bài toán mà để giải được nó thì phải đưa về bài toán giải bất phương trình Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic , phân tích chặt chẽ

Bài 7 : Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình

Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai

bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm

phần chung trong tập nghiệm của chúng

Vì x € Z nên x = 12

Nhận xét : Khi cho bài tập thì giáo viên có thể cho những bài tập tương tự nhau nhưng tập sau phải đòi hỏi cao hơn bài tập trước để tạo cho các em vừa

biết lợi dụng các bài tập đã biết để làm tương tự nhưng lại phải tư duy thêm để

trả lời được câu hỏi của bài như vậy sẽ tạo cho các em sự hứng thú và say mê

x

⇔ <

Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26

Bài 10: Với giá trị nào của x thì

Vậy giá trị của phân thức 5 2−6 x

lớn hơn giá trị phân thức 5x3−2

5

5,

Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức 1, 5

Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm của bất

phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo yêu cầu của bài

Bài 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau dương

Là bài toán về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử dụng đến

bất phương trình

Vậy với x < 1

2 và x ≠ -1 thì A > 0 Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế giá trị

của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa : các mẫu thức khác 0 ; phân thức chia khác 0 Sau khi tìm được các giá trị của

biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết luận

Bài 13 : Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0

Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất đẳng thức sau

Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên : Phần nguyên

của a kí hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a

3 5

3 5

77

x

x x

Bài 16 : Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 Người ta xóa đi một số thì

trung bình cộng của các số còn lại bằng 35 7

17 Tìm số bị xóa

Giải

Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n :

- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là 35 7 .69

17 ∉N loại

Nếu n = 69 thì tổng của 69 số còn lại là 35 7.68 2408

17 = số bị xóa là ( 1 + 2 + 3 + … + 69 ) – 2408 = 7

Dạng 2 : Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ

Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối Ta nhớ lại rằng : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó

nếu biểu thức không âm , bằng số đối của nó nếu biểu thức âm

│A│= A nếu A≥ 0

-A nếu A < 0

Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức

âm hay không âm Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức

+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x > 2 : x < 4

3

−b) │3-2x│ < x + 1

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : 2 4

x− + − > ⇔ 1 5 x 8 0x> 2 không xảy ra với mọi x do đó bất

phương trình vô nghiệm trong khoảng đang xét

* Xét khoảng x ≥ 5 , ( 2) có dạng

x − + − > ⇔ > ⇔ > 1 x 5 8 2 x 14 x 7 nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1 ; x > 7

Nhận xét : Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng khoảng giá trị của biến Trong một số trường hợp , có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau :

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 1 1

3│2x - 1│ < 2x + 1 3(2 1) (2 1)

3(2 1) 2 1

− > − +



⇔ 

− < +



6 3 2 1 8 2 6 3 2 1 4 4 1 1 1 4 4 1 x x x x x x x x x − > − − >   ⇔  ⇔  − < + <    >  ⇔  ⇔ < <  <  b) │5x - 3│ < 3x + 2 5 3 (3 2) 5 3 3 2 x x x x − < − +  ⇔ − > + 

1 8 1 8 2 5 5 2 x x x x  <  <  ⇔ ⇔  >   >  Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1 8 hoặc x > 5 2 Dạng 3 : Bất phương trình tích , bất phương trình thương Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần chú ý : - Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương - Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm Bài 1 : Tìm x sao cho a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0 b) 2 5 x x + − < 0 Giải a) Cách 1 : lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5 x 2 5

x – 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

(x – 2) ( x – 5 ) + 0 - 0 +

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5

Cách 2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương

( x – 2 ) ( x – 5 ) > 0

2

x

  − >   >

− > >  >

  − <   <  <

− < <

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là : x > 5 ; x < 2

c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức

x -2 5

x + 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

2 5 x x + − + 0 - ║ +

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < -2 ; x > 5 Bài 2 : Giải các bất phương trình sau a) x2 - 2x + 1 < 9 b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0 Giải a) Cách 1 : a) x2 - 2x + 1 < 9 ⇔ −(x 1)2 < ⇔ − <9 x 1 9 ⇔ − < − < ⇔ − < < 3 x 1 3 2 x 4 Cách 2 : Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích ( )( )

2 2 2 1 9 2 8 0 2 4 0 x x x x x x − + < ⇔ − − < ⇔ + − < Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ) , ( x – 4 ) x -2 4

x + 2 - 0 + │ +

x – 4 - │ - 0 +

(x + 2) ( x – 4 ) + 0 - 0 + Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4

b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 9 1 1 3 1 0 3 1 3 0 3 1 0 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + + − + − + ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ − − + ≥ =  ⇔ = −  Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3 , x = - 1 Bài 3 : Giải bất phương trình sau a) 3 2 3 2 4 5 20 0 10 8 x x x x x x − + − > − − − b) 2 2 2 2 4 5 1 1 2 x x x x x x + + > + + − + + Giải a) 3 2 2 3 2 4 5 20 ( 4) 5( 4) 0 0 10 8 ( 2)( 1)( 4) x x x x x x x x x x x x − + − > ⇔ − + − > − − − + + − (1)

ĐK ; x ≠ -1 ; x ≠ -2 ; x ≠ 4 (1)

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 4 5 5 0 0 1 2 4 1 2 ( 1)( 2) 0 x x x x x x x x x x − + + ⇔ > ⇔ > + + − + + ⇔ + + > x -2 -1

x + 2 - 0 + │ +

x + 1 - │ - 0 +

(x + 2) ( x + 1 ) + ║ - ║ +

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x < -2 ; - 1 < x < 4 ; x > 4 b) 2 2 2 2 4 5 1 1 2 x x x x x x + + > + + − + + (2)

ĐK : x ≠ -1 ; x ≠ -2 (2)

Kết luận : Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x > -1 , x < - 2

Bài 4: Tìm điều kiện của x , y để biểu thức A có giá trị lớn hơn 1

y

xy x

Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0

Qua việc tham khảo một số loại sách và đồng nghiệp tôi thấy hầu hết các

loại sách được trình bày theo lối :

- Đưa ra nội dung kiến thức cơ bản

- Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng toán này

- Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này

- Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo Đó

chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên

không thể bồi dưỡng được Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để

cho học sinh từ yếu , kém , trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm đuộc

cái can bản của chi thức

- Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không

những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn

củng cố cho học sinh một số kĩ năng , cách giải các bài toán , cách phân tích

các bài toán để có thể giải một số bài toán khó nhưng được quy về một số dạng

nào đó mà học sinh đã có dịp bồi dưỡng , đặc biệt là rèn luyện cho các em cách

tư duy các bài toán , từ dễ đến khó , từ đơn giản đến phức tạp , một số kĩ xảo

để giải các bài toán có liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Rèn cho các em có tinh thần học tập , khả năng tự học tự đọc và tìm lời

giải hay , phong phú , tạo hứng thú học tập bộ môn toán mà nhiều người cho là

khô khan

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605

Đặt mua tại: https://xuctu.com/

FB: facebook.com/xuctu.book/

Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online tại biểu mẫu:

https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89

Đọc trước những quyển sách này tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/