Biến phức định lý và áp dụng P8

Nếu một nghiệm {x n}n là tuần hoàn thì tập hợp giới hạn ωx gồm hữu hạn điểm.. Ngược lại, nếu tập hợp giới hạn ωx gồm hữu hạn điểm, thì bản thân nó là một nghiệm tuần hoàn xem [?].. Vì vậ

điều này trái với (4.48) Định lý được chứng minh.

Định nghĩa 6.13 Với một nghiệm giới nội ngặt {x n}n của (4.43) ta gọi tập tất cả các điểm tụ của dãy các véc tơ {v n = (x n−m , x n−m+1 , · · · , x n)}n là tập giới hạn ô mê ga của {x n}n và kí hiệu là ω(x).

Nhận xét 6.6 Tập giới hạn ω(x) compact và bất biến đối với ánh xạ

T : R m+1+ −→Rm+1+

xác định bởi T v n = v n+1 Nếu một nghiệm {x n}n là tuần hoàn thì tập hợp giới hạn ω(x) gồm hữu hạn điểm Ngược lại, nếu tập hợp giới hạn ω(x) gồm hữu

hạn điểm, thì bản thân nó là một nghiệm tuần hoàn (xem [?]) Hơn nữa, ánh

xạ T : ω(x) −→ ω(x) là toàn ánh Vì vậy, tồn tại hai nghiệm có nguồn gốc

{P n}n∈Z và {Q n}n∈Z (giá trị ban đầu được chọn trong tập giới hạn ω(x)) của phương trình (4.43) với mọi n sao cho

tụ tới trạng thái cân bằng duy nhất x với tất cả các chậm.

Định lý 6.41 Giả sử F là hàm đơn điệu tăng và

Khi đó mọi nghiệm {x n}n của (4.43) hội tụ đến x.

Chứng minh: Với mỗi x ∈ [0, ∞) đặt H(x, y) = F (x), ∀y ∈ [0, ∞), thế thì điều

kiện (4.47) và (4.48) là thỏa mãn và định lý 6.40 được áp dụng Điều này cónghĩa rằng mọi nghiệm của (4.43) là giới nội ngặt Vì vậy, với mỗi nghiệm

{x n}n của (4.43), tồn tại hai nghiệm có nguồn gốc {P n}n∈Z và {Q n}n∈Z của(4.43) sao cho

đó, hai trường hợp sau có thể xảy ra: Hoặc là trong (0, Q0] và [P0, ∞) có hai

điểm K0, K00 khác nhau sao cho ξ(K0) = ξ(K00) = 0, hoặc P0 = Q0 = x Theo

giả thiết thì trường hợp thứ hai xảy ra Định lý được chứng minh

Định lý 6.42 Giả sử F là hàm đơn điệu giảm Đặt

kiện (4.47) và (4.48) là thỏa mãn và định lý 6.40 được áp dụng Do vậy, với

mỗi nghiệm {x n}n của (4.43), tồn tại hai nghiệm có nguồn gốc {P n}n∈Z và

{Q n}n∈Z của (4.43) sao cho

Thế thì cả P0 và Q0 cùng thuộc vào đoạn [a n , b n ] với mọi n ∈ N Dãy {a n}n

là đơn điệu tăng và dãy {b n}n là đơn điệu giảm Vì vậy tồn tại hai giới hạn

tương ứng là α và β Hơn nữa, các giới hạn này thỏa mãn hệ

và F là hàm đơn điệu tăng trong [0, y0], đơn điệu giảm trong (y0, ∞) Trong

trường hợp này F được gọi là hàm hình chuông Đặt

f (x) = F (x)

1 − λ . Giả thiết thêm rằng {x n}n là một nghiệm giới nội ngặt của (4.43) Gọi {P n}n∈Z

và {Q n}n∈Z là hai nghiệm có nguồn gốc của phương trình (4.43) sao cho

Định lý 6.43 Giả sử rằng f (y0) 6 y0 và (4.50) cũng được giả thiết là đúng Giả sử {x n}n là một nghiệm giới nội ngặt của (4.43) Thế thì {x n}n hội tụ đến x.

Chứng minh: Từ (4.54) và (4.55) ta có P n 6 P0 6 y0, ∀n ∈ Z Nhưng F là hàm tăng trong [0, y0] nên ta thu được

Mặt khác, rõ ràng lim supx→∞ ξ(x) < 0 và từ (4.50) ta có lim inf x→0 ξ(x) > 0.

Do đó, hai trường hợp sau có thể xảy ra: Hoặc là trong (0, Q0] và [P0, ∞) có

hai điểm K0, K00 khác nhau sao cho ξ(K0) = ξ(K00) = 0, hoặc P0 = Q0 = x.

Do giả thiết của ta trường hợp thứ hai xảy ra Định lí được chứng minh

Xét trường hợp f (y0) > y0 Trước tiên, ta nhắc lại định lý sau của Ivanov

đã được trình bày trong [?]:

Định lý 6.44 [?] Giả sử tồn tại một đoạn I trong R là bất biến đối với ánh

xạ f ∈ C(R), tức là f (I) ⊂ I Giả thiết thêm rằng, có duy nhất một điểm

x ∈ intI là điểm hút toàn cục của f , tức là f (x) = x và lim n→∞ f n (x) = x

với mọi x ∈ intI Thế thì, mọi nghiệm {x n}n∈N−m, x i ∈ intI, i = −m, 0 của phương trình

x n+1= µ

µ + 1 x n+

1

µ + 1 f (x n−m ), µ > 0 hội tụ tới x.

Đặt I là đoạn [0, f (y0)] Rõ ràng hàm f đưa I vào chính nó Từ (4.55) ta

có x n ∈ I với tất cả n trừ một số hữu hạn chỉ số n Mặt khác, vì x là nghiệm dương duy nhất của phương trình x = λx + F (x) nên nó cũng là nghiệm dương duy nhất của phương trình f (x) = x Điều này có nghĩa x ∈ intI là điểm cố định duy nhất của f Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 6.4 Giả sử rằng lim n→∞ f n (x) = x với tất cả x ∈ I Thế thì mọi

nghiệm giới nội ngặt của (4.43) hội tụ tới x.

Chứng minh: Như đã đề cập ở trên với một nghiệm giới nội ngặt {x n}nta phải

có x n ∈ I với tất cả n trừ một số hữu hạn chỉ số n Vì vậy không mất tính tổng quát ta giả sử rằng x n ∈ I với mọi n Theo định lý 6.44 ta có điều phải



f00(x)

f0(x)

2

của f âm trong I \ {x} Thế thì lim n→∞ f n (x) = x với tất cả x ∈ I.

Phép chứng minh của bổ đề 6.5 có thể tìm thấy ở [?], [?] Bổ đề 6.4 và 6.5

Bây giờ chúng ta nghiên cứu hiệu suất của chậm m đối với sự hội tụ của nghiệm phương trình (4.43) tới trạng thái cân bằng dương x Ta giả thiết

f (y0) > y0 Điều này kéo theo x > y0

Mệnh đề 6.3 Với mỗi nghiệm giới nội ngặt {x n}n của (4.43) ta có

λ m+1 x < lim inf

n→∞ x n 6 x 6 lim sup

n→∞

x n 6 f (y0).

Chứng minh: Gọi {P n}n∈Z và {Q n}n∈Z là các nghiệm có nguồn gốc của phương

trình (4.43) với P0 = lim supn→∞ x n và Q0 = lim infn→∞ x n Ta có

Q0 = λQ−1 + F (Q −1−m ) > λQ0+ F (Q −1−m ),

do đó Q0 > f (Q −1−m ) Nhưng Q0 6 Q −1−m , vì vậy Q −1−m > f (Q −1−m) Mặt

khác, ta có y < f (y) với mọi y ∈ (0, x) Vì vậy, Q −1−m > x Từ đây suy ra

P0 > x Hơn nữa, từ công thức biến thiên hằng số ta có

Mặt khác, ta có y > f (y) với mọi y ∈ (x, ∞) Vì vậy, P −1−m 6 x Từ đây suy

ra Q0 6 x Mệnh đề được chứng minh.

Định lý 6.46 Giả sử tồn tại các hằng số dương L1, L2 sao cho hàm f thoả mãn điều kiện

0 6 f (x) − x 6 L (x − x) với mọi x ∈ [λ m+1 x, x],

Chứng minh: Gọi {P n}n∈Z và {Q n}n∈Zlà các nghiệm có nguồn gốc của phương

trình (4.43) với P0 = lim supn→∞ x n và Q0 = lim infn→∞ x n Từ mệnh đề 6.3

nên P0 = Q0 = x Định lý được chứng minh.

Mệnh đề 6.4 Giả sử các giả thiết của định lý 6.46 được thoả mãn Cho

m0> 0 là một số nguyên sao cho m0 < m và

λ m0 +1

> 1 − √ 1

L1L2

Thế thì mỗi nghiệm (khác hằng) {x n}n của (4.43) không tuần hoàn với chu kì

m − m0.

Chứng minh: Giả sử trái lại, tức tồn tại {x n}nlà một nghiệm tuần hoàn (khác

hằng) với chu kì m − m0 Thế thì {x n}n là nghiệm của phương trình

cân bằng dương x Bây giờ ta sẽ nghiên cứu tính tuần hoàn của nghiệm trong trường hợp chậm m đủ lớn Với giả thiết f (x) > x khi x < x và f (x) < x khi

x > x, ta đã chứng minh rằng tất cả các nghiệm giới nội ngặt {x n}n của (4.43)thỏa mãn

Hệ quả là, nếu một nghiệm giới nội ngặt không dao động xung quanh trạng

thái cân bằng dương x, thì nó phải hội tụ đến x Cũng vậy, rõ ràng rằng mỗi nghiệm tuần hoàn khác hằng số phải dao động xung quanh x Cho nên, trong

mục này ta chỉ quan tâm nghiệm dao động xung quanh trạng thái cân bằng

dương x.

Ta giả sử tồn tại một đoạn compact I = [a, b] 3 x sao cho f (I) ⊆ I,

f (x) > x với x ∈ (a, x) và f (x) < x với x ∈ (x, b] Kí hiệu K là khối [x, b] m+1

Rõ ràng, K là tập lồi compact của Rm+1 Ta nghiên cứu nghiệm dao động của(4.43) xuất phát từ K

Mệnh đề 6.5 Giả sử {x n}n là một nghiệm của (4.43) xuất phát từ K Thế thì x n ∈ I với tất cả n ∈ N.

Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử x k ∈ I = [a, b] với tất cả

k 6 n Thế thì

x n+1 = λx n + (1 − λ)f (x n−m ) > λa + (1 − λ)a = a, bởi vì f ánh xạ đoạn I vào chính nó Tương tự, x n+1 6 b, và do đó, x n+1 ∈ I.

Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 6.6 Tồn tại một nghiệm dao động của (4.43) xuất phát từ K.

Chứng minh: Giả sử trái lại rằng mỗi nghiệm xuất phát từ K là không dao

động Thế thì từ (4.59) ta suy ra tất cả các nghiệm đều hội tụ đến trạng thái

cân bằng x Mặt khác, xét ánh xạ

K : K −→ K

(x −m , x −m+1 , · · · , x0) 7→ (x m , x m+1 , · · · , x 2m ).

Rõ ràng K là một ánh xạ liên tục Đỉnh (¯ x, ¯ x, · · · , ¯ x) là một điểm bất động

cực biên của ánh xạ K Theo định lý điểm bất động (không cực biên) Browder

(xem [?]), K có một điểm bất động khác ở bên trong K Gọi {y n}n là một

nghiệm của (4.43) xuất phát từ điểm bất động này Thế thì {y n}n là mộtnghiệm tuần hoàn khác hằng của (4.43) Điều này mâu thuẫn với giả thiếtrằng mỗi nghiệm xuất phát từ K hội tụ tới trạng thái cân bằng dương Mệnh

x n2k, x n2k+1, · · · , x n2k+m > x,

x n2k−1, x n2k−1+1, · · · , x n2k−1+m < x với tất cả các số nguyên dương k.

Mệnh đề 6.7 Mọi nghiệm dao động của (4.43) xuất phát từ K là dao động

chậm.

Chứng minh: Xét một nghiệm dao động {x n}nxuất phát từ K Từ định nghĩa

của K ta có x −m , x −m+1 , · · · , x0 > x Giả sử n1 là chỉ số nhỏ nhất sao cho

x n1 < x Thế thì x n1, x n1+1, · · · , x n1+m < x Thật vậy, giả sử trái lại, tức là có

k ∈ [0, m) sao cho x n1+k+1 > x và x n1+k < x Khi đó,

(1 − λ)f (x n +k−m ) = x n +k+1 − λx n +k > x − λx,

suy ra f (x n1+k−m ) > x Nhờ giả thiết trên hàm f , ta nhận được x n1+k−m < x.

Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của n1 Vì vậy,

x n1, x n1+1, · · · , x n1+m < x.

Bây giờ giả sử n2 > n1là chỉ số nhỏ nhất sao cho x n2 > x Rõ ràng, n2 > n1+m.

Ta sẽ chứng minh rằng x n2, x n2+1, · · · , x n2+m > x Thật vậy, giả sử trái lại, tồn tại k ∈ [0, m) thoả mãn x n2+k+1 < x và x n2+k > x Khi đó,

(1 − λ)f (x n2+k−m ) = x n2+k+1 − λx n2+k < x − λx,

kéo theo f (x n2+k−m ) < x Nhờ giả thiết của hàm f , ta nhận được x n2+k−m > x.

Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của n2 Vì vậy,

với tất cả các số nguyên dương k Mệnh đề được chứng minh.

Bây giờ ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn không tầm thường của

(4.43) khi chậm m đủ lớn Tuyến tính hoá (4.43) tại trạng thái cân bằng (đặt

x n = x + y n , với  > 0 là một số nhỏ tuỳ ý) ta được

y n+1 = λy n + F0(x)y n−m

Tìm nghiệm dưới dạng y n = z n, ta nhận được phương trình đặc trưng

z m+1 = λz m + F0(x).

Sự ổn định tuyến tính ở đây được xác định nhờ độ lớn của z Điều kiện ổn định là | z |< 1 và không ổn định khi | z |> 1 Trường hợp | z |= 1 thì hiện

tượng rẽ nhánh Hopf xảy ra Hệ số rẽ nhánh được xác định như sau: Chọn

Do đó, hệ số rẽ nhánh là

m∗ = arccos

1−λ2−D22λD

Định nghĩa 6.15 Một nghiệm {x n}n của mô hình quần thể (4.43) được gọi

là diệt vong nếu lim n→∞ x n = 0; được gọi là trường tồn nếu

0 < lim inf

n→∞ x n 6 lim sup

n→∞

x n < ∞

và được gọi là phát triển bền vững nếu tồn tại giới hạn lim n→∞ x n ∈ (0, ∞).

Ví dụ 6.51 (Mô hình quần thể chim cút ở bang Wisconsin)

Khảo sát sự diệt vong, trường tồn, phát triển bền vững và tuần hoàn của

mô hình quần thể chim cút ở bang Wisconsin hợp chủng quốc Hoa Kỳ

x n+1 = λx n+ µx n−m

1 + x k n−m

Rõ ràng, H là hàm đồng biến trên [0, +∞) đối với x và nghịch biến trên

[0, +∞) đối với y; hơn nữa H liên tục và F (x) = H(x, x) Ta có

Do đó nếu k 6 1 thì F0(x) > 0 và F là hàm đồng biến Hơn nữa các điều kiện

(4.49) và (4.50) của định lý 6.41 được thỏa mãn Tức là

Xét phương trình F (x) = (1 − λ)x, x > 0 ta có 1+x µxk = (1 − λ)x từ đó ta

thu được x = k

q

λ+µ−1 1−λ duy nhất (vì x > 0) Theo định lý 6.41 ta có

Ta sẽ chứng minh rằng với k > 2 đạo hàm Schwarzian Sf là âm trên đoạn

[0, f (y0)] Ta có

Sf (x) = − k(k − 1)x

k {(k − 1)(k − 2)x k + 2(k + 1)}

2x2{(k − 1)x k − 1}2 .

Vì vậy Sf (x) < 0 với mọi x > 0 nếu k > 2.

Trong trường hợp 1 < k < 2 ta phải giả thiết thêm rằng

φ(y) = µ

1 − λ [1 + (1 − k)y]

(1 + y)2 , với y = x k

Vì φ(y) luôn âm nên ta xét

ϕ(y) =| φ(y) |= µ

1 − λ

(k − 1)y − 1 (1 + y)2 , y > y k0.

lim

n→∞ x n = x

với mỗi nghiệm {x n}n của (4.43).

Tổng hợp lại các kết quả ở trên ta được:

Nếu λ + µ 6 1 thì mọi nghiệm diệt vong.

Nếu λ + µ > 1 thì mọi nghiệm trường tồn Với điều kiện này thì trạng thái cân bằng dương duy nhất của mô hình là

x = k

r

λ + µ − 1

1 − λ .

Khi đó mọi nghiệm phát triển bền vững (lim n→∞ x n = x) nếu một trong hai

điều kiện sau đây thoả mãn:

µ và m+11−λm+1(m+1)k 6 λ+µ−1 1−λ

Nhận xét 6.7 Kết quả này là mới và có ý nghĩa, bởi vì trước đây (xem [?],

[?], [?]), các tác giả đã chứng minh sự ổn định toàn cục với tất cả các chậm,

tuy nhiên sử dụng thêm giả thiết khác.

Trong [?] các tác giả đã chứng minh rằng nếu

k < 2

1 − λ ·

µ

λ + µ − 1 thì trạng thái cân bằng dương x là ổn định tiệm cận địa phương Kết quả của

ta là ổn định tiệm cận toàn cục nên đòi hỏi phải thêm điều kiện về các tham số.

Bây giờ ta nghiên cứu tính chất tuần hoàn của nghiệm Giả sử

k > 2µ

λ + µ − 1 và y0=

k

r1

k − 1 . Thế thì

F (y0) = (k − 1)µ

k y0 = maxx>0 F (x), và

F0(x) = 1 − λ

µ [µ − k(λ + µ − 1)] < 0.

Rõ ràng, f (y0) > y0 và f đơn điệu tăng trong đoạn [y0, f (y0)] Tồn tại một

đoạn đóng I = [a, b] ⊆ [y0, f (y0)] sao cho f ánh xạ đoạn này vào chính nó.

Khi đó, với chậm m đủ lớn tồn tại một nghiệm tuần hoàn khác hằng số xuất phát từ khối [x, b] m+1 Chú ý rằng, để nhận được (4.60) đòi hỏi phải có

k < 2µ

λ + µ − 1·

1

1 − λ .

Ví dụ 6.52 (Mô hình quần thể ruồi xanh Nicholson).

Khảo sát sự diệt vong, trường tồn, phát triển bền vững và tuần hoàn của

mô hình quần thể ruồi xanh Nicholson

x = λx + px e −qxn−m, λ ∈ (0, 1), p, q ∈ (0, ∞).

Phương trình này thuộc dạng (4.43) với

F (x) = pxe −qx , f (x) = F (x)

1 − λ .

Rõ ràng, hàm phát triển trong mô hình này là hàm hình chuông với bất kì

p, q ∈ (0, ∞); trong khi đó, với 0 < k 6 1 thì hàm phát triển trong mô hình quần thể chim cút là hàm đơn điệu tăng trên [0, ∞).

Ta dễ dàng nhận được các điều kiện sau cho sự diệt vong, trường tồn, phát triển bền vững và tuần hoàn của quần thể ruồi xanh Nicholson:

Nếu p 6 1 − λ thì mọi nghiệm diệt vong.

Nếu p > 1 − λ thì mọi nghiệm trường tồn.

Nếu p > 1 − λ thì trạng thái cân bằng dương duy nhất là

1 Chứng minh định lý sau: "Giả sử hàm f đơn điệu giảm theo biến x với

mỗi y > 0 và đơn điệu tăng theo biến y với mỗi x > 0 Giả thiết thêm rằng,

M := sup x,y>0 f (x, y) < ∞ và hệ phương trình

2 Giả sử γ > α/A Chứng minh rằng, nếu một trong các điều kiện sau thoả

mãn thì mọi nghiệm của phương trình sai phân

trong đó x−1, x0 là các số thực dương cho trước Chứng minh rằng

a) Nếu α > 1 thì dãy (x n)∞n=−1 hội tụ

b) Nếu 0 6 α < 1 và x−1, x0 thỏa 0 6 x−1 < 1, x0 ≥ 1

1−α thì

lim x 2n = ∞,

6 Cho dãy (x n)∞n=−k xác định theo công thức

7 Cho dãy (x n)∞n=−k xác định theo công thức

trong đó x −k , · · ·, x0 là các số thực dương cho trước, λ1, λ2, · · ·, λ k là các số

thực dương, sao cho λ1 + λ2+ · · · + λ k = 1 Chứng minh rằng, dãy (x n)∞n=−khội tụ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

a) α > 0, t > 0 và tα ≥ 3.

b) α > 0 và 2tα ≥ 3 +

√

5.

8 Cho dãy (x n)∞n=−k xác định theo công thức

trong đó x −k , · · ·, x0 là các số thực dương cho trước, α > 1, θ > 0, λ i > 0, i =

1, 2, · · · k Chứng minh rằng, dãy (x n)∞n=−k hội tụ nếu một trong các điều kiệnsau được thỏa mãn:

a) Nếu a2< A thì mọi nghiệm của phương trình bị chặn.

b) Nếu a1+ a2 < A thì mọi nghiệm của phương trình hội tụ đến điểm cân

trong đó x−4, x−3, x−2, x−1, x0 là các số thực dương cho trước Chứng minh

dãy (x n)∞n=−4 hội tụ về điểm 3

12 Cho dãy (x n)∞n=−k xác định theo công thức

x n+1 = A + a1x n + a2x n−1 + · · · + a k x n−k+1

trong đó x −k , x −k+1 , · · ·, x0, a1, a2, · · ·, a k là các số thực dương cho trước,

A > 1 Chứng minh rằng, nếu a1+ a2+ · · · + a k = 1 thì dãy (x n)∞n=−k hội tụ

về điểm cân bằng ¯x = A + 1.

Khảo sát các phương trình đại số

376

7.1 Nhắc lại các kiến thức cơ bản về số phức và hàm

phức

7.2 Số nghiệm của phương trình đa thức trên một khoảng

7.3 Đánh giá khoảng nghiệm

7.4 Giải gần đúng phương trình đa thức

Hàm sinh và áp dụng

Trước hết ta xét hai ví dụ sau

Ví dụ P.1 Với n ∈ N∗ ta kí hiệu l n là số cách phân tích n thành tổng của các

số tự nhiên lẻ, còn k n là số cách biểu diễn n thành tổng của các số tự nhiên đôi một khác nhau Chứng minh rằng l n = k n , ∀ n ∈ N∗.

Lời giải Với |x| < 1, xét các hàm số

Hệ số của x n trong khai triển p(x) trong (0) chính là l n vì nó bằng số cách

chọn các thừa số x t sao cho tổng các lũy thừa của x bằng n.

Hệ số của x n trong khai triển vế phải của q(x) chính là k n

517