Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 153được gọi là tỉ số phi điều hòa của bốn điểm z, z1, z2 và z3.. Từ sự bất biến của tính đối xứng giữa các điểm suy ra rằng trong trường hợp
Trang 1152 Chương 3 Một số ứng dụng của số phức trong đại số cấu đó được xác định theo công thức
Đa thức bậc hai ở vế trái chỉ có thể có ba nghiệm khác nhau (z1 6= x2 6= z3)
khi mọi hệ số của nó đều bằng 0, tức là a = d, b = c = 0 và ζ2[w1(z)] ≡ z hay
là w1(z) ≡ w2(z).
2 Sự tồn tại Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí
được xác định theo công thức (3.50) Thật vậy, giải phương trình (3.50) đối với
w ta thu được hàm phân tuyến tính Ngoài ra khi thế cặp z = z1 và w = w1
vào eq3.50 thì cả hai vế của (3.50) đều bằng 0 Thế cặp z = z3 và w = w3
vào (3.50) ta thu được cả hai vế đều bằng 1 và cuối cùng, thế cặp z = z2 và
w = w2 ta thu được cả hai vế đều bằng ∞
Trang 23.3 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 153
được gọi là tỉ số phi điều hòa của bốn điểm z, z1, z2 và z3
Nếu bốn điểm z1, z2, z, z3 nằm trên một đường tròn (hoặc đường thẳng) thìtỉ
số phi điều hòa là một số thực Thật vậy
a) Nếu các điểm z1, z2, z, z3 nằm trên đường thẳng
b) Nếu các điểm z, z1, z2, z3 nằm trên đường tròn ζ = ζ0 + re it , r > 0,
0 6 t 6 2π, ta có z1 = ζ0+ re iϕ1, z2 = ζ0+ re iϕ2, z3 = ζ0+ re iϕ3 và từ đó ta có
2:
sinϕ0− ϕ1
2sinϕ3− ϕ2
Trang 3154 Chương 3 Một số ứng dụng của số phức trong đại số
2 Mọi điểm trên đường tròn Γ được xem là đối xứng với chính nó qua Γ
Từ định nghĩa 3.2 suy ra rằng các điểm đối xứng qua đường tròn Γ liên hệ vớinhau bởi hệ thức
w = z0+ R
2
z − z0
·Thật vậy, từ biểu thức vừa viết suy ra
|w − z0| |z − z0| = R2
và
arg(w − z0) = arg(z − z0).
Trong hình học sơ cấp ta biết rằng hai điểm z và z∗ đối xứng với nhau qua
đường tròn Γ khi và chỉ khi mọi đường tròn γ ⊂ C đi qua z và z∗ đều trựcgiao với Γ Ta có định lí sau
Định lý 3.12 Tính đối xứng tương hỗ giữa các điểm là một bất biến của
nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính.
Chứng minh Kết luận của định lí được suy từ định lí 3.7 và 3.9.
Từ sự bất biến của tính đối xứng giữa các điểm suy ra rằng trong trường hợpkhi đường tròn biến thành đường thẳng, tính đối xứng trùng với khái niệm đốixứng thông thường
Ta minh họa việc áp dụng tính bất biến của các điểm đối xứng qua đẳng cấuphân tuyến tính bằng các định lí sau đây
Định lý 3.13 Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến nửa mặt phẳng trên lên
hình tròn đơn vị đều có dạng
w = e iλ z − α
z − α , Im α > 0, (3.51)trong đó λ ∈ R là số thực tùy ý.
Trang 43.3 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 155
Chứng minh Giả sử đẳng cấu phân tuyến tính w = w(z) ánh xạ nửa mặt
phẳng trên Im z > 0 lên hình tròn {|w| < 1} sao cho w(α) = 0 (Im α > 0).
Ta nhận xét rằng điểm w = 0 và w = ∞ sẽ tương ứng với các giá trị liên hợp của z, do đó c 6= 0 (vì nếu c = 0 thì điểm ∞ sẽ tương ứng với điểm ∞) Các điểm w = 0, w = ∞ sẽ tương ứng với các điểm − b
a c x − α x − α
=
a c
... tỏ tập số phức dạng a + bi có nhiều tính
chất tập Z làm số học số phức Và? ?iều quan trọng nhờ giải tốn tập
Z mà đứng Z ta tìm lời giải
Định nghĩa 4.1 Số phức có dạng... 4
Số phức toán số
học tổ hợp
4.1 Giải phương trình Diophant
Vành số phức nguyên Z[i] nói chung vành số nguyên đại... ứng dụng số phức đại số
biến miền cho D thành góc mặt phẳng z1 với đỉnh z1 = Vì
góc hai cung tròn δ1 và δ2
