Khi đó, theo Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai thì β − ak bk Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy... Chứng minh rằng với mọi bộ số u k ; v k ; p k, ta luôn có đẳng thứcsau
Trang 1Khi đó, theo Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai thì
β − ak bk
Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy
Định lý 2.1 Giả sử ta có bộ n cặp số dương (a k ; b k ) sao cho
b2k
!1 2
Trang 2Ví dụ 2.25 Chứng minh rằng với mọi bộ ba số (x; y; z), ta luôn có đẳng thức
sau
(2x + 2y − z)2+ (2y + 2z − x)2+ (2z + 2x − y)2 = 9(x2+ y2+ z2).
Hãy tổng quát hoá?
Ví dụ 2.26 Chứng minh rằng với mọi bộ bốn số (x; y; z; t), ta luôn có đẳng
thức sau
(x+y+z−t)2+(y+z+t−x)2+(z+t+x−y)2+(t+x+y−z)2 = 4(x2+y2+z2+t2).
Hãy tổng quát hoá?
Ví dụ 2.27 Chứng minh rằng với mọi bộ số (u k ; v k ; p k), ta luôn có đẳng thứcsau
k=1 vkpk
Tiếp theo, ta xét một số mở rộng khác (dạng phức) của bất đẳng thức Cauchy
Định lý 2.2 (N.G.de Bruijn) Với bộ số thực a1, , an và bộ số phức (hoặc thực) z1, , zn, ta đều có
Trang 3
Chứng minh Bằng cách thực hiện đồng thời phép quay quanh gốc toạ độ
đối với các z k cùng một góc, ta thu được
n
X
k=1 akzk
,
... phân thứclượng giác, người ta thường sử dụng số tính chất đa thức, đặc biệt làcông thức nội suy Lagrange
Dưới số định lí áp dụng
Định lý 2.3 (Cơng thức nội suy Lagrange) Nếu... nghiệm phức số phức liên hợp x 1,2= −b ± i
√
−∆
Khi hệ số phương trình bậc hai f (x) = số phức ta sử
dụng phép biến đổi... a)(x − b) (c − a)(c − b) = x
2
.
Định lý 2.4 Nếu f (x) đa thức bậc không vượt m−2 x1, x2,