chuyen de phuong trinh vo ty

Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình như sau Phân tích và lời giải Phương trình trên có dạng cơ bản nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa.. Khi nâng lên lũy

LêI NãI §ÇU Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán

ở trường THCS cũng như THPT Trong những năm gần đầy các bài toán về phương trình thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, các lớp 10 năng khiếu toán và trong các kì thi học sinh giỏi các cấp với độ khó ngày càng cao

Với mong muốn tạo ra một tài liệu thể hiện được các phương pháp giải phương trình cùng với các hướng tiếp cận, đưa ra phương pháp tư duy

và các phép suy luận để tìm ra được lời giải một cách tối ưu Cũng như chia

sẻ một số kình nghiệm khi giải một hệ phương trình Vì vậy chúng tôi đã soạn ra cuốn tài liệu ”Một số chủ đề về phương trình vô tỷ toán THCS”

Nội dung chính của cuốn tài liệu gông 3 chương

+ Chương I Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

+ Chương II Một số bài toán về phương trình vô tỷ

Trong chương I, chúng tôi trình bày theo các chủ đề tương ứng các dạng phương trình điển hình và được viết theo từng phần

1 Nội dung phương pháp chung: Trình bày phương pháp chung để giải một

số dạng phương trình điển hình

2 Một số bài tập mẫu: Trình bày một số bài toán từ mức dễ đến khó với các bước phân tích tìm lời giải cũng như trình bày lời giải một cách chính xác khoa học

3 Các bài tập tự luyện: Trình bày hệ thống các bài tập tự giải cho mỗi chủ

đề với hy vong giúp bạn đọc củng cố lại vấn đề đã tiếp cận

Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ phân tích bài toán một cách tự nhiên nhưng vẫn đảm bảo tính khoa học, hy vọng cuốn tài liệu sẽ thức sự có ích cho bạn đọc trên con được chinh phục các bài toán

về phương trình vô tỷ

Mặc dù chúng tôi đã thực sự cố gắng và dành nhiều tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách với hiệu quả cao nhất, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện cuốn sách tốt hơn

Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các đồng nghiệp đã cung cấp một số tài liệu cũng như các lời giải hay để cuốn sách thêm phần phong phú Xin chân thành cảm ơn

Nhóm tác giả

Mục Lục

Trang

Kĩ năng 2: Sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử 37

Kĩ năng 3: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai 53 Phương pháp 3 Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp 63

2 Một số kĩ năng sử dụng đại lượng liên hợp 64

Kĩ năng 1: Nhân thêm lượng liên hợp 64

Kĩ năng 2: Tách biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp 74

Kĩ năng 3: Một số kĩ thuật sử lý sau khi nhân liên hợp 80 Phương pháp 4 Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ 95

Kĩ năng 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn 95

Kĩ năng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích 109

Kĩ năng 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 126

Kĩ năng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình 130

Kĩ năng 5: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình giải được 161 Phương pháp 5 Phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ 167

2 Một số kĩ năng đánh giá trong giải phương trình vô tỷ 167

Kĩ năng 1: Làm chặt miền nghiệm để giải phương trình vô tỷ 167

Kĩ năng 2: Sử dụng hằng đẳng thức đưa phương trình về tổng các lũy thừa bậc chẵn 175

Kĩ năng 3: Kĩ năng sử dụng bất đẳng thức cổ điển 179

BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP

1 Bài tập rèn luyện phương pháp nâng lên lũy thừa 191 Hướng giải bài tập phương pháp nâng lên lũy thừa 193

2 Bài tập rèn luyện phương pháp phân tích thành phương trình tích 207 Hướng dẫn giải bài tập phương pháp phân tích thành phương trình tích 210

3 Bài tập rèn luyện phương pháp phân sử dụng đại lượng liên hợp 234 Hướng dẫn giải bài tập phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp 237

4 Bài tập rèn luyện phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ 266 Hướng dẫn giải bài tập phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ 271

5 Bài tập rèn luyện phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ 311 Hướng dẫn giải bài tập phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ 314

Phương pháp 1 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA

Trong bài toán phương trình vô tỷ thì phép nâng lên lũy thừa là một biến đổi tự nhiên và có vẻ đẹp riêng Có lúc phương pháp này được sử dụng trực tiếp hoặc gián tiếp nhưng mục đích chính vẫn là đi tìm nghiệm của phương trình vô tỷ Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là những phương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là

ta thu được phương trình tương đương hay phương trình hệ quả Để có thể biến đổi chính các phương trình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay không, khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tương đương hay phương trình hệ quả

+ Bước 3 Giải phương trình cơ bản F x G x  và kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình để kết luận

II Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 2

3x 69x 27  x 96x 2

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 3x269x 27 0; x  296x 2 0  Phương

trình được cho ở trên có dạng cơ bản là f x  g x , do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý rằng với điều kiện xác định tìm được ta biến đổi phương trình như sau

+ Thực tế thì ta không cần phải viết cùng lúc hai điều kiện 3x269x 27 0; x  296x 2 0 

cùng một lúc như trong phép biến đổi trên, mà chỉ cần viết một trong hai điều kiện là được, chẳng hạn như

Phương trình trong vì dụ có dạng cơ bản nên ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Chú ý rằng trong hai điều kiện x3x2 3 0; 3x 1 0  thì điều kiện 3x 1 0  đơn giản hơn Lại nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được x 2 là một nghiệm Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình như sau

Phân tích và lời giải

Phương trình trên có dạng cơ bản nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy nhiên nhận thấy

x 0 là một nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân tích được phương trình bậc 3

Ta trình bày lời giải như sau

 Trong hai điều kiện  2 2

x x 1 0,x 7x 0 thì việc chọn điều kiện x27x 0 trong phép nâng lên lũy thừa là hoàn toàn hợp lí

 Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên

+ Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện

 2 2  2

Để thực hiện tách được x27x x x 7 thì cần có điều kiện x 0 Muốn vậy ta ta tìm

điều kiện xác định của phương trình trước  2

Ta biết rằng với biểu thức dạng 2

A.B thì khi khai căn phải lấy dấu giá trị tuyệt đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn A.B2  B A

Với điều kiện x 0 ta chưa xác định được x 1  mang dấu gì nên khi khai căn ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối  2

x x 1  x x 1

Ví dụ 4 Giải phương trình 2x 1 3x 1  

Phân tích và lời giải

Phương trình cho trong ví dụ là phương trình dạng f x   g x nên ta sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải Ta thấy vế trái của luôn không âm, do đó nếu vế phải của phương trình âm thì phương trình vô nghiệm Do đó ta ch có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện 3x 1 0  Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương

 Trong qua trình nâng lên lũy thừa ta chỉ cần đặt điều kiện 3x 1 0  là được mà không cần phải

có thêm điều kiện 2x 1 0  , bởi vì khi nâng lên lũy thừa  2

2x 1  3x 1 thì đã đảm bảo cho điều kiện 2x 1 0 

 Nếu trong qua trình biến đổi ta không đặt điều kiện 3x 1 0  thì khi tìm x 0 và x 4

9

  ta

cần thử lại vào phương trình ban đầu để xác định nghiệm

Ví dụ 5 Giải phương trình x 1 5 2 3x 2   

Phân tích và lời giải

Việc đầu tiên khi giải phương trình trên là tìm điều kiện xác định của phương trình

Vì chưa biết chắc chắn vế phải âm hay dương nên trước khi biến đổi nâng lên lũy thừa ta cần có thêm điều kiện 5 2 3x 2  0 Tuy nhiên để ý một tí ta nhận thấy khi chuyển vế đại lượng 2 3x 2 sang vế trái thì hai vế của phương trình đều dương và đến đây ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế mà không cần đến điều kiện 5 2 3x 2  0 Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 0 x 1

 Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên theo phương pháp đánh giá như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 0 x 1

Phân tích và lời giải

Phương trình trong ví dụ có dạng cơ bản f x   g x nên ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa, Sau phép nâng lên lũy thừa ta được một phương trình bậc hai Chú ý đặt điều kiện cho ẩn để phép nâng lũy thừa thực hiện được Ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Nhận xét Phương trình được viết lại thành 1  3

   

2 2

2 2

2 2

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm S4 6

 Nhận xét Để ý đến biểu thức 4 2x 1 2.2 2x 1   ta viết phương trình về dạng A2 B2 Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản và biểu thức trong căn là các đa thức bậc nhất

Do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu được một phương trình bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta được tập nghiệm S 1; 5

 Nhận xét Ta cũng có thể thực hiện phép nâng lên lũy thừa theo cách khác

Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình có dạng cơ bản f x  g x  h x  nên ta sẽ sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa, tuy nhiên trước khi biến đổi ta cần đặt điều kiện cho phương trình và chuyển vế hạng tử 1 x sang vế phải sao cho phương trình thu được có hai vế không

Nhận xét

 phương trình trên ta chuyển 1 x qua vế phải r i mới bình phương Mục đích của việc làm

này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương

 Sai lầm thường gặp khi bình phương hai vế phương trình đã cho là biến đổi phương trình thành

nên sau pháp bình phương hai vế ta thu được phương trình

3x 1 2x 1     x 1 4x 1    Sử dụng tiếp một lần nữa phép nâng lên lũy thừa thì thu được phương trình bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 Phương trình đã cho tương đương với

 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm x 5

Do đó ta có thể giả sử hai vế của phương trình 3x 1  4x 3  6x 4  x 2 cùng dấu để phép có biến đổi tương đương Ngoài ta ta có thể biến đổi hệ quả là

Điều kiện xác định của phương trình là 1 x 1

7  Giả sử hai vế của phương trình đã cho cùng dấu

Khi đó phương trình tương đương với

 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình dã cho có tập nghiệm S 1

Phân tích và lời giải

Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là x 3

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

3 x sang vế kia thì ta được phương trình có hai vế cùng dương Lúc này bình phương hai vế ta được

Nhận xét Có thể sử dụng phương pháp phân tích nhâ tử để giải quyết nhanh gọn phương trình

Với điều kiện x 2 ta có 2x 3 0  và x 1 0  Do đó phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là 0 x 1  Để giải phương trình này thì r ràng ta phải loại bỏ căn thức Điều đầu tiên là ta nghĩ đến bình phương hai vế Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình phương hai vế ta thu được phương trình tương đương

 Nhận xét ua lời giải trên, ta thấy được x x 2 biểu diễn được qua x 1 x nhờ vào đẳng thức  2

Việc thay thế biểu thức x 1 x bằng một ẩn mới là t ẩn phụ là một suy nghĩ hoàn

toàn tự nhiên Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta phải tìm được mối liên hệ gi a các đối tượng tham gia trong phương trình, trong trường hợp này đó là đẳng thức

Ví dụ 24 Giải phương trình 2 x2 2 12 4 x 1

xx

  nên phương trình trên

không có nghiệm Do đó ta xét phương trình khi x 0

Từ đó ta có 1  2

x

Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1 là nghiệm duy nhất

 Nhận xét Bài toán này ta có thể giải bằng phương pháp đánh giá như sau

Với điều kiện xác định như trên thì phương trình đã cho tương đương với

      Do đó kết hợp với phương trình ta được

Điều kiện xác định của phương trình là x 5 Với điều kiện đó ta biến đổi phương trình

đã cho như sau

Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm là S 5 61; 8; 7

Vậy phương trình có tập nghiệm là S  4; 0;1

 Nhận xét Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát 3f x   g x Để giải phương trình dạng này ta lũy thừa bậc ba hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình đa thức

Ví dụ 28 Giải phương trình 3 x 34 3 x 3 1 

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản 3 f x 3g x 3 h x  Do đó ta sử dụng phép nân lên lũy thừa để giải Chú ý rằng sau phép nâng lên lũy thừa thì phương trình xuất hiện biểu thức căn bậc ba dạng 3 f x 3g x , khi đó ta thay thế bằng 3h x 

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x Phương trình đã cho tương đương với

a b a b 3ab a b khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa Trong bài toán phép biến đổi

thay 3 f x 3g x  bằng 3 h x  là một phép biến đổi hệ quả, do đó ta cần phải thay các giá trị tìm được vào phương trình đã cho r i mới kết luận tập nghiệm

Phân tích và lời giải

Phương trình có dạng cơ bản 3 f x 3g x  3h x  nên ta nghĩ đến phép nâng lên lũy thừa để xử lý phương trình Quan sát phương trình ta nhận

Trong đó f x       g x h x r x Lập phương hai vế ta quy phương trình về dạng

 Mục đích của phép nâng lên lũy thừa chính là làm triệt tiêu các căn thức và đưa phương

trình vô tỷ về dạng phương trình hữu tỷ

 Do phép biến đổi nâng lên lũy thừa thường làm cho lũy thừa của ẩn tăng lên Vì thế để làm triệt tiêu các biểu thức chứa x mũ cao ta cần khéo léo lựa chọn sử dụng biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả Trong một số ví dụ được nếu trên có nhiều bài toán được kết hợp giữa phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả một cách hoàn hảo

 Trong một số trường hợp ta cần kết hợp phép nâng lên lũy thừa với các phương pháp khác như đặt ẩn phụ, phân tích thành tích, đánh giá,…

 Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phép nâng lên lũy thừa

+ Sử dụng dấu “” và dấu “” một cách tùy tiện

A.B A B; A A khi chưa xác định được dấu của các biểu thức A và B

+ Không phân biệt được biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả

Phương pháp 2 – PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH THÀNH TÍCH

I Cơ sở của phương pháp

Với một phương trình vô tỷ có chứa nhiều căn thức thì việc việc sử dụng phép nâng lên lũy thừa không phải là một phương án tối ưu vì khi đó phương trình thu được chưa hẳn triệt tiêu hết các căn thức mà số mũ của ẩn lại cao Khi đó một trong các phương

án xử lý phương trình đó là viết phương trình về dạng f x g x h x     0 Khi đó ta đi giải các phương trình hệ quả để tìm nghiệm cho phương trình

Để phân tích một phương trình thành tích ta thường sử dụng các kỹ thuật

+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

+ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

II Một số kỹ năng phân tích phương trình thành tích

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có chứa ẩn ở mẫu và để đơn giản ta đặt điều kiện cho ẩn rồi viết phương trình về dạng 2x x2   x 2 2 13x 7x 2 Ta để ý đến biểu thức

đó có biệt thức delta là số chính phương

Phương trình đã cho được viết lại thành  2

       , không thể viết dưới dạng chính phương

Như vậy cách viết lại phương trình như trên không đem lại hiệu quả

Ta viết lại phương trình thành  2

đó phương trình có hai nghiệm là x2  x 2 4x 2 và x2    x 2 2 2x hay phương trình

đã cho viết được dưới dạng tích  2  2 

Phân tích và lời giải

Trước hết ta viết lại phương trình thành 4x212x 4 1 x 1   Khi đó tích 4 1 x có thể viết thành 2.2 1 x , điều này làm ta nghĩ đến các hằng đẳng thức

  2 2

2 1 x 1 ;  1 x 2  , thử lần lượt các trường hợp ta thấy khi viết thành  2

2 x 1 1 

thì vế còn lại có dạng  2

2x 2 , đến đây ta có lời giải cho phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 Phương trình đã cho tương đương với

 

   

2 2

bày trong “Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp”

Điều kiện xác định của phương trình là   12 x 4 Phương trình đã cho tương đương với

 , thay vào phương trình

đã cho ta thấy x 2 7 2  không thỏa mãn

Phân tích và lời giải

Trước hết ta viết lại phương trình thành   2

x 3  x 8x 48 28 x Từ phương trình ta chú ý đến tích x 3   x2 8x 48 có dạng ab , do đó để viết thành hằng đẳng

Ta thấy rằng vế phải của phương trình trên không viết được dưới dạng số chính phương

Điều kiện xác định của phương trình là 12 x 4

Từ đó ta được

2 2

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta thấy có tích   2

2 x 1 2x 3x 1 nên ta sẽ thêm bớt vào

Đến đây ta có lời giải cho phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là 2x23x 1 0  Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 6 Giải phương trình 2   2

4x  8x 4 x 1 3x 2 2x   5x 3

Phân tích và lời giải

Phương trình có chứa hai căn thức bậc hai, tuy nhiên trong trường hợp này phép nâng lên lũy thừa là một ý tưởng tốt Để ý ta thấy 2   

2 2x 5x 3 2 2x 1 x 3  có dạng 2ab nên ta nghĩ đến hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng  2

ta có lời giải cho phương trình

Điều kiện xác định của phương trình x 1

Nhận xét Thực chất phương trình chính là khai triển của hằng đẳng thức a2 b2 0 trong đó

a 2x 1 2 x; b    2x 1  x 3

Hoàn toàn tương tự nếu ta chọn a x  x 3; b  1 x 3  thì ta có phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho được viết lại thành  3

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản nên ta nghĩ đến phép nâng lên lũy thừa trước tiên, khi đó phương trình đã cho tương đương với x3 3x2 x 30 Các lũy thừa trong vế trái của phương trình làm ta liên tương đến hằng đẳng thức

Điều kiện xác định của phương trình là 0 x  3 Phương trình đã cho tương đương với

b x 2 thì phương trình viết lại thành 2 2

2x 3ab 3a b 2 0  Đến đây ta cần biểu diễn

2x 2 3x   x 2 a b Như vậy khi đó phương trình

có dạng  3

a b 0 và ta trình bày lời giải như sau

Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Trước hết ta viết lại phương trình x33x26xx 1  x 2 4 x 2 6    Chú ý đến biểu thức x33x23x ta liên tương đến hằng đẳng thức  3

x 1 Như vậy để phân

tích được phương trình về dạng tích ta cần viết được x 1  x 2 4 x 2 3x 7     thành lũy thừa bậc ba Để ý tiếp ta lại thấy x 1  x 2 x 2  x 2  x 2 và

 2

3x 6 3  x 2 , từ đó ta có biến đổi

   3  2  3

x 1 x 2 4 x 2 3x 7      x 2 3 x 2 3 x 2 1   x 2 1 

Đến đây ta có lời giải cho phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là x 2 Phương trình đã cho tương đương với

Phân tích và lời giải

Phương trình có nhiều căn thức nên ta nghĩ đến phương pháp đặc biệt hơn khi giải

3x 10x 3  x 3 3x 1  Trước khi có nhưng phân tích tiếp theo ta biến đổi phương trình thành

a b c  Muốn vậy ta ch cần tính a2 b2c2 rồi so sánh

a b c  x 3  3x 1  x 5 x 6x 29 Như vậy ta có lời giải cho phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

  Kết hợp với điều kiện xác định ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x 1 Phương trình đã cho có chứa ba căn thức , do đó để quan sát phương trình một cách dễ hơn ta thực hiện phép đặt

a 2x 1; b  x 3; c  x 1 Ta cần biểu diễn các biểu thức còn lại theo a, b, c Ta có

Như vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1

Nhận xét Phương trình có được từ khai triển của hằng đẳng thức A3B3 0 trong đó

A 2x 1 2 x 3; B 3     x 1

2 Kỹ thuật sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1 Giải phương trình   2

x 3 2x 5 9 x  

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta thấy phương trình trên hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp nâng lên lũy thừa, ch cần chuyển vế số 9 rồi bình phương hai vế thì ta thu được một phương trình bậc 4 Tuy nhiên để ý một tí ta thấy 2   

Phân tích và lời giải

Với phương trình đã cho trong ví dụ thì tư duy theo hương nâng lên lũy thừa là tư duy không hề sáng suốt khi phương trình thu được sau phép nâng lên lũy thưa sẽ có bậc sáu Chú ý rằng bên vế phải của phương trình có nhân tử 2x 1 và nếu vế trái của phương trình cũng có nhân tử 2x 1 thì là có thể giải phương trình bằng phương pháp phân tích

thành tích Muốn kiểm tra điều này ta ch cần kiểm tra xem x 1

2

 có là nghiệm của đa

thức vế trái không R ràng x 1

2

 là một nghiệm của đa thức vế trái, do đó phương trình

đã cho có nhân tử chung là 2x 1 Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là 4x 5 0 x 5

2 2

Ví dụ 3 Giải phương trình 3 2  2 

2x 9x 8x 3  2x 3x 1 2x 1

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho không nhẩm được nghiệm đẹp, tuy nhiên vế phải của phương trình chứa nhân tử 2x2 3x 1 , ta cần kiểm tra xem đa thức vế trái khi phân tích thành tích

có chưa nhân tử 2x2 3x 1 hay không Muốn vậy ta chia đa thức 2x39x28x 3 cho nhân tử 2x23x 1 xem có phải là phép chia hết không và không quá khó khăn để ta phân tích được

2x 9x 8x 3  2x 3x 1 x 3 

Đến đây thì ta có thể giải bài toán bằng phương pháp phân tích thành tích như sau

Điều kiện xác định của phương trình là 2x 1 0  Phương trình đã cho tương đương với