Tai lieu chuyen de phuong trinh duong thang trong khong gian

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG o Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M o có vectơ chỉ phương u : o Khoảng cách giữa hai

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng

2 Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

(2)

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1 Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình cơ bản:

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của và

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì

, ngược lại thì không)

• TH2: và chéo nhau

Điều kiện 1: và không cùng phương

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: (*) vô nghiệm

• TH3: song song với

Điều kiện 1: và cùng phương Điều kiện 2: Chọn điểm Cần chỉ rõ

• TH4: và trùng nhau

Điều kiện 1: và trùng nhau

Điều kiện 2: Chọn điểm Cần chỉ rõ

2 Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình nâng cao bằng sơ đồ sau:

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương

- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG

CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

o Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M o có vectơ chỉ phương u :

o Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng

này đến đường thẳng kia

o Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương u  ' là:

o Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc

đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng

V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Tìm để giao tuyến của

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

( )P x y: − −2z+ =5 0( )Q : − − −x y 2 1 0z+ =

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

II

1) tham số của đường thẳng 2) chính tắc của đường thẳng

trình của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

trường hợp sau:

2:

21:

5) là giao tuyến của hai mặt phẳng

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ viết phương trình đường thẳng đi qua

với (P) và cắt đường thẳng d

III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

;

/ / /

1 2

/ / /

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng

Xác định a để:

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và song song với

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với và

c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng và

,

Oxyz

12

:

Chú ý: Nếu VTCP của cùng phương với VTPT của thì

55

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : và đường

đường thẳng

a) Chứng minh: và chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng nằm trên mp(P), đồng thời cắt và

V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Gọi là hình chiếu của lên

o Khi đó tìm tọa độ điểm thỏa

2 Ví dụ:

a)Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

VI HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG

1 Phương pháp

( )α 2x y− +3z− =4 0

31

M H



( )P

n d P

2 Ví dụ:

b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu vuông góc của

VII KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1 Kiến thức vận dụng

Ta có:

y x

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm hai đường thẳng:

và

a) Chứng minh 2 đường thẳng và chéo nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và c) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng , và mặt cầu có phương

VIII GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Kiến thức vận dụng

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng , và mặt phẳng có

IX XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương pháp

o Từ điều kiện ta tìm được

2 Ví dụ:

b) Tìm tọa độ điểm thộc đường thẳng sao cho

A B C

M ( ) : 2P x+2y z+ − =3 0 MA MB MC= =

HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A

+ Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là

Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và , , không song, không trùng với

Phương pháp:

+ Ta có:

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua A và không song song, không trùng

với

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A

+ Ta có:

Bài toán 6: Lập phương trình đường thẳng đi qua A và

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A

+ Ta có:

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là

Bài toán 7: Lập phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của trên mp

Phương pháp:

+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên

d d

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng

2 Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

(2)

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1 Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình cơ bản:

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của và

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì

, ngược lại thì không)

• TH2: và chéo nhau

Điều kiện 1: và không cùng phương

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình: (*) vô nghiệm

• TH3: song song với

Điều kiện 1: và cùng phương Điều kiện 2: Chọn điểm Cần chỉ rõ

• TH4: và trùng nhau

Điều kiện 1: và trùng nhau

Điều kiện 2: Chọn điểm Cần chỉ rõ

2 Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình nâng cao bằng sơ đồ sau:

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương

- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG

CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

o Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M o có vectơ chỉ phương u :

o Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng

này đến đường thẳng kia

o Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương u  ' là:

o Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc

đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng

V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Lời giải:

là 1 vectơ chỉ phương của

5) Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là Đường thẳng nên có 1 vectơ

Tìm để giao tuyến của

Vậy không tồn tại giá trị thỏa yêu cầu bài toán

( )P x y: − −2z+ =5 0( )Q : − − −x y 2 1 0z+ =

( )α nα =(1 3; ;k −1).( )β nβ =(k; ; −1 2)

u n

u n

α β

Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương trình tham số

hay phương trình chính tắc của đường thẳng đều được

trình của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

0 P

2:

5) Qua và vuông góc với 6) Qua và vuông góc với

3 7

y z

A − B(2 1 3; ;− ) C(1 2 2; ; ) ( 1 2 1; ; )

21:

1) Qua và vuông góc với các đường thẳng

Lời giải:

Gọi là 1 vectơ chỉ phương của Ta có:

5) Chọn điểm trên giao tuyến :

y z

 = −

 =

 ⇒A(−5 2 0; ; )∈d

Xác định vectơ chỉ phương của : Gọi là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có: chọn

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ viết phương trình đường thẳng đi qua

Lời giải:

Đường thẳng đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là nên có phương

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua và song song với mp(P):

Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),

Bước 2: Xác định giao điểm A của d2 và mp ( )α

Bước 3: Đường thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với mp

( )P Kiểm tra sự cắt nhau (Mối quan hệ giữa vectơ chỉ

III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

Lời giải:

Lời giải:

2 21

;

/ / /

1 2

/ / /

Oxyz

12

:

1) vuông góc với

Kiểm tra lại: Với thì và

5 1 2

0 2 4

2 2 2

t t t

Đường thẳng qua điểm và có 1 vectơ chỉ phương là

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và song song với

Lời giải:

b) Gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với và

c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng và

Lời giải:

b) Gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm

Ta có: và Xét Từ đó suy ra, và song song, tức là và cùng thuộc một mặt phẳng

2 221

55

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Phương pháp:

Chú ý: Nếu VTCP của cùng phương với VTPT của thì

a) Xét hệ phương trình: , ta thấy hệ vô nghiệm Suy ra

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng (P): và 2 đường thẳng

a) Chứng minh: và chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng nằm trên mp(P), đồng thời cắt và

Lời giải:

Bước 1: Xác đinh giao điểm A của d1 và mp ( )P

Bước 2: Xác định giao điểm B của d2 và mp ( )P

Kết luận: Đường thẳng ∆ cần tìm là đường thẳng AB

V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Gọi là hình chiếu của lên

o Khi đó tìm tọa độ điểm thỏa

2 Ví dụ:

a)Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Lời giải:

Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Ta có:

b) Ta có:

1

2 2

A

A A

A A A

x

x

z z

VI HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG

1 Phương pháp

2 Ví dụ:

Lời giải:

Vậy

b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn

Phân tích: Ta thấy là hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng



( )P

n d



( )P

n d P

Đường thẳng đi qua và nhận VTPT của là làm vectơ chỉ

Lời giải:

Phân tích: Ta thấy là hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng

Trình bày:

Bài toán 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu vuông góc của

y x

Đường thẳng qua và có 1 vectơ chỉ phương là , có phương trình:

Hoàn toàn tương tự, độc giả tự giải quyết yêu cầu đối với mp(Oxz), mp(Oyz)

(4)

123

(4)

1 2

2 33

1 5:

Nhận xét: Trong cách giải trên, chúng tôi lấy thêm giao điểm (trong trường hợp cắt nhau)

của d và cho nhanh gọn, còn nếu thông thường (và dễ hiểu) thì chọn 2 điểm và nếu như vậy thì bài giải tương đối dài dòng! Thuật toán như sau:

Ta có:

a) Chứng minh 2 đường thẳng và chéo nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và c) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Lời giải:

; ; Suy ra: và chéo nhau

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng , và mặt cầu có phương

Lời giải:

( )S

′

VIII GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Kiến thức vận dụng

Lời giải:

′,

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương

Ta có

IX XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương pháp

o Từ điều kiện ta tìm được

2 Ví dụ:

b) Tìm tọa độ điểm thộc đường thẳng sao cho

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm

Ta có là trung điểm của

làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình tham số:

Nhận xét: Câu b có thể làm như sau: M(x;y;z) thuộc (P) nên ; MA = MB =

MC ta được thêm 2 phương trình theo x, y, z Giải hệ 3 phương trình ta tìm được x, y, z Cách này dễ hiểu hơn Độc giả làm thử nhé

(0;1; 2 ,)

A B(2; 2;1 ,− ) (C −2;0;1), ,

C I

n

HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A

+ Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là

Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và , , không song, không trùng với

Phương pháp:

+ Ta có:

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A (giải hệ 2 phương trình

mp(P) và (Q) với )

+ Ta có:

Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua A và không song song, không trùng

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A

+ Ta có:

Bài toán 6: Lập phương trình đường thẳng đi qua A và

Phương pháp:

+ Đường thẳng đi qua A

+ Ta có:

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là

Bài toán 7: Lập phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của trên mp

Phương pháp:

+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên

+ Đường thẳng

d

1 2

d d

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐÊ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC

CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY

Câu 1: (MĐ 101-2022) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

Vectơ nào dưới đây

là một vectơ chỉ phương của d ?

Câu 5: (MĐ 101-2022) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; 1− ),B(3;0;1),C(2;2; 2− )

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC có phương trình là: )

Câu 6: (MĐ 102-2022) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; 1 , 3;0;1− ) (B ) và C(2;2; 2− )

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC có phương trình là:)

( )P : 2x−3y z− + =1 0 Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P có phương trình là

A

2 2

2 31

( )P : 2x−3y z− + =1 0 Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P có phương trình là:

A

2 2

2 31

Câu 9: (TK 2020-2021) Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của

đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M −(1; 2;1)?

Câu 13: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d

đi qua điểm M(1; 5 ; 2− có một véc tơ chỉ phương ) u(3 ; 6 ;1− )

Phương trình của d là

Câu 14: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 2)Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M −( 2;1;3)

và nhận vectơ u = − (1; 3;5) làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

Câu 18: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm M −( 1;3;2) và mặt phẳng

( )P x: −2y+4 1 0z+ = Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P có phương trình là

Câu 19: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1)Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 1− và mặt phẳng )

( )P x: −3y+2 1 0z+ = Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P có phương trình

Câu 20: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2; 1− và mặt phẳng )

( )P : 2x y+ − + = Đường thẳng đi qua 3 1 0z M và vuông góc với ( )P có phương trình là

Câu 21: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 2− và mặt phẳng )

( )P x:3 2+ y z− + = Đường thẳng đi qua 1 0 M và vuông góc với ( )P có phương trình là:

Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M(1;1; 1− ) và N(3;0;2) Đường thẳng MN có phương

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ?