MỘT số bài TOÁN về cực TRỊ của hàm số

Trong những năm gần đây, bài thi THPT môn Toán đã chuyển từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm. Với việc thay đổi hình thức thi đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản. Bên cạnh đó, khi đứng trước một bài toán, người học cũng cần có những cách giải nhanh nhất có thể. Đó là điều băn khoăn không chỉ của người học mà còn cả người dạy. Nó đòi hỏi người dạy luôn trau dồi, tìm tòi và khai thác các cách giải nhanh nhất nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu nhất có thể. Với mong muốn ấy, tôi không ngừng học hỏi, tìm tòi các phương án giải khác nhau để có thể tìm được cách giải tốt nhất khi đứng trước một bài toán. Cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong các kì thi THPT. Chuyên đề được viết với mong muốn có thể cung cấp cho các em một số bài toán cực trị thường gặp. Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT được tốt hơn, hiệu quả hơn. Chuyên đề được viết theo cấu trúc: + Phân loại theo chủ đề + Các ví dụ minh họa có lời giải + Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, bài thi THPT môn Toán đã chuyển từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm Với việc thay đổi hình thức thi đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản Bên cạnh đó, khi đứng trước một bài toán, người học cũng cần có những cách giải nhanh nhất có thể Đó là điều băn khoăn không chỉ của người học mà còn cả người dạy Nó đòi hỏi người dạy luôn trau dồi, tìm tòi và khai thác các cách giải nhanh nhất nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu nhất

có thể Với mong muốn ấy, tôi không ngừng học hỏi, tìm tòi các phương án giải khác nhau để có thể tìm được cách giải tốt nhất khi đứng trước một bài toán Cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong các kì thi THPT Chuyên đề được viết với mong muốn có thể cung cấp cho các em một số bài toán cực trị thường gặp.

Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang

bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT được tốt hơn, hiệu quả hơn.

Chuyên đề được viết theo cấu trúc:

+ Phân loại theo chủ đề

+ Các ví dụ minh họa có lời giải

+ Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.

Trân trọng!

 Giá trị cực đại (cực tiểu)

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0hoặc

hàm số không có đạo hàm Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0tại điểm

 Bước 3 Lập bảng biến thiên.

 Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1

x y

x

=



′ = ⇔  = ±Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Nhận xét: Hàm số y x= −4 2x2+1 là hàm trùng phương có a b<0 nên có 3 điểm cực trị.

ê ë

=- Bảng biến thiên

Suy ra, hàm số đạt cực đại tại x0 = - 1.

Ví dụ 3. Hàm số

1 22

x y

Ta có: ( )2

3

02

Ví dụ 5. Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A y x= −3 1. B y x= +3 3x2+1. C y x= −3 x D y x= 4+3x2+2.

Lời giải

+Hàm số y x= −3 1 có tập xác định D=¡ ,Có: y' 3= x2 ≥0, x∀ ∈¡ nên hàm số đồng biến trên ¡

Do đó hàm số y x= −3 1 không có cực trị Vậy đáp án A đúng.

+ Hàm số y x= +3 3x2+1 có tập xác định D=¡ Có: y' 3= x2+6x ;

33

Vậy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; 1− ) .

( ; )

B - 1 6

Giá trịcủa P a b c d

A Hàm số đã cho có hai điểm cực trị

B Hàm số đã cho không có giá trị cực đại

C Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

D Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu

Câu 16. Cho hàm số

( )

y= f x

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x 0=

B Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x 2=

A Có một điểm B Có hai điểm C Có ba điểm D Có bốn điểm

Câu 19 Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây Phát biểu nào sau đây là đúng ?

B Giá trị cực đại của hàm số là -3

C Giá trị cực tiểu của hàm số là -2

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A x=2

B

1

x= C x= −1

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A x=3

B

2

x= C. x= −2

bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

C Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 D Hàm số có hai điểm cực tiểu

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng

Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số có 3 điểm cực tiểu trên khoảng

(a b; )

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên đoạn [ ]0; 4

có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x=4 B Hàm số đạt cực đại tại x=2

C Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 D Hàm số đạt cực tiểu tại x=0

Câu 2: Cho hàm số

( )

y= f x

liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên

Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

O x y

 Bước 1: Tìm các giá trị của x là nghiệm của phương trình f x′( ) =0

Kết luận nào sau đây đúng

A Hàm số có 4 điểm cực trị B Hàm số có 2 điểm cực đại

C Hàm số có 2 điểm cực trị D Hàm số có 2 điểm cực tiểu

Mệnh đề nào sau đây sai?

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Ví dụ 5 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x'( )=x x2( +1) (22 x−1) Khi đó số điểm cực trị của

hàm số đã cho là bao nhiêu?

12

x=

Vậy hàm sô có 1 điểm cực trị là

12

f x

là:

Câu 4.Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ với bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y=f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A Hàm số đã cho có đúng một cực trị B Hàm số đã cho không có cực trị.

C Hàm số đã cho có hai cực trị D Hàm số đã cho có ba cực trị

Câu 14. (THPTQG –Mã 101 năm 2019) Cho hàm số

nằm phía dưới trục Ox

 Bước 3: Kết luận về cực trị của hàm số y= f x( )

Ta có bảng biến thiên trên

(−∞; 2)

:

y= f x

Đồ thị của hàm số

( )'

y= f x

nhưhình dưới đây Khẳng định nào sau đây là đúng?

y= f x

trên Knhư hình vẽ.Tìm số cực trị của hàm số

y= f x

trên Knhư hình vẽbên Tìm số cực trị của hàm số

như hình vẽ Khi đó trên

,

K

hàm số( 2018)

y=g x = f x + x

có bao nhiêu điểm cực trị?

DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM

0

x = x

Phương pháp

 Bước 1: Sử dụng định lí 1 để tìm các giá trị của m.

 Bước 2: Với mỗi m tìm được, ta sử dụng định lí 2 để kiểm tra.

Trường hợp định lí 2 không sử dụng được, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm để xác định.

Nhận xét: Đối với hàm đa thức bậc ba, ta có thể sử dụng quy tắc 2

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y x= −3 2mx2+mx−3 đạt cực tiểu tại điểm x=1.

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

x m x

• Nếu m≥0, ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Suy ra m≥0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Nếu m<0.

00

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x=0.

Suy ra m<0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0 khi m≥0.

Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=1

Suy ra hàm số không có cực trị nên m=3

không thỏa mãn đề bài

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=1

Dựa vào BBT x=0

không là điểm cực tiểu của hàm số Vậy m= −3

không thỏa ycbt.+) TH2:

x m

+ +

=+

B.

32

 Điều kiện để hàm số có điểm cực trị , các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu:

 Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 3= ax2 +2bx c+ =0 có hai

nghiệm phân biệt

⇔ − >

 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y' 3= ax2+2bx c+ =0

có hai nghiệm trái dấu ⇔ac<0.

 Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình

b ac c

b ac c

x x

a b

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y' 3= ax2+2bx c+ =0

có hai nghiệm âm phân biệt

b ac c

x x

a b

 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thỏa mãn

có cực trị

m m

3

y′ = ⇔ = −x

Phương trình

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số msao cho hàm số

y x= + x +mx−không có cực trị

( ) 3 3 2 1

y= f x = +x x +mx−

TXĐ: D= ¡

.2

y′ = x + x m+

, ∆ = −′ 9 3m

.Hàm số

( )

y= f x

không có cực trị ⇔ ∆ ≤′ 0⇔ ≥m 3

.Vậy m≥3

thỏa yêu cầu bài

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số

là

12, đạt khi m=0

Câu 8. Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số

là giá trị của tham số a đểhàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm

m=

B

34

m=

C

12

m= −

D

14

m=

Câu 11. Tìm các giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số y=2x3+3(m−3)x2+ −11 3mcó hai

điểm cực trị Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số

m m

m m

m m

m m

m∈ 

D

1.2

m= ±

B.

0.1

m m

3.2

m=

B.

1.2

m= −

C.m = 1.

D

1.2

A m=1

B.

1.62

m m

m m

m m

m= ±

B.

1.2

có hai điểm cực trị là A và B sao cho

hai điểm này cùng với điểm

A.

1.2

,

A B

mà diện tích tam giác IAB lớn nhất

B.

2.2

m= −

C.m = 0

hoặc

22

m=

D.

2.2

điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần

khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

Câu 26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m= −

D.m=1

hoặc17

11

m= −

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x= − +3 3x m có giá trị cực đại và

giá trị cực tiểu trái dấu

và tam giác ABCluôn là tam

giác cân tại A

và

1

.2

S∆ = y −y x −x

Các điều kiện về cực trị của hàm số

 Hàm số có đúng một cực trị

0, 0 0 2

b a

a b a b

a b a b

a b

>



⇔  <



 Hàm số có một cực tiểu, hai cực đại

0 0

a b

<



⇔  >



 Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác ABC

thỏa mãn dữ kiện

2

a b

b S

a

= −

5 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2−8ac=0

6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC =r0

2

b r

b a

16a n − +b 8ab= 0

9 Tam giác ABC có cực trị B C, Î Ox

11 Tam giác ABC có trọng tâm là gốc O b2−6ac=0

12 Tam giác ABC có trực tâm là gốcO

14 Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi b2- 2ac=0

15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3−8a−4abc=0

16 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

2

x y

x

=



′ = ⇔  = ± . Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Không mất tính tổng quát, giả sử ba điểm cựctrị là: A(0;10) , B(2; 6− ) , C(− −2; 6)

14

Hàm số chỉ có 1 cực trị và điểm đó là điểm cực đại

và m∈ −[ 2018; 2019 ,] m≠0 ⇒ ∈ −m { 2018; 2017; ; 2; 1− − − }

.Vậy có 2018 giá trị mthỏa mãn

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

0

*2

x y

Gọi H là trung điểm BC ⇒H(0;−m2− ⇒1) AH =m2

Theo bài ra:

2

m ab

m= ±

C m= ± 2

22

Ta có , nên bốn điểm , , , là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần

và đủ là và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất?

Do đó, diện tích tam giác lớn nhất lớn nhất

Ví dụ 8. Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số

có ba điểm cực trị, đồng thời đường tròn đi qua ba điểm đó có bán kính

1

x y

é =ê

Đồ thị hàm số đối xứng qua trục nên

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng nên

Kết hợp điều kiện được và

Câu 2. Cho hàm số Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực

đại mà không có điểm cực tiểu là:

Câu 7. Cho hàm số Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 17. Cho hàm số y x= 4−2(m+2)x2+3(m+1)2 Đồ thị của hàm số trên có ba cực trị tạo thành

tam giác đều Tìm mệnh đề đúng

< −



 < <



Câu 23. Cho hàm số y= f x( )=x4−2(m−1)x2 +1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ

thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn

Câu 25. Cho hàm số có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị

A, B, C và ABDC là hình thoi, trong đó thuộc trục tung Khi đó m thuộc khoảng

nào?

Câu 26. Biết rằng đồ thị hàm số: có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác

vuông cân Tính giá trị của biểu thức

Câu 27. Cho hàm số f x( ) =mx4 −(m+1)x2 +(m+1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của

tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là

A

11;

Câu 29. Cho hàm số Số các giá trị nguyên của m để hàm số có

một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là:

A B C D

Câu 30. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

A B C D Không tồn tại

Câu 31. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa

độ tạo thành một tứ giác nội tiếp

Câu 32. Tìm số thực để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam

giác nhận điểm làm trọng tâm?

cực trị sao cho bốn điểm O, B, A, C là bốn đỉnh của một hình thoi:

♦ Đối với hàm số

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của qua và bỏ đi phần

đồ thị phía dưới trục hoành của

Do đó dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy hàm số có điểm cực

2

m m

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải

Ví dụ 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau :

x x

có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục

22

m m m

Xét hàm số y=g x( ) = f x( −4)+20182019

Tập xác định: D=R.

− ′

−( )

x x x x

Xét hàm số , tập xác định

Bảng biến thiên:

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị luôn có

cực trị

Mà

có điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục

nghiệm phân biệt

Phương trình có nghiệm phân biệt khi phương trình có nghiệm phân biệt khác

m m m

Câu 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

không âm của để hàm số đã cho có điểm cực trị là:

Câu 12. Cho hàm số với là tham số thực Gọi

là giá trị nguyên nhỏ nhất của để hàm số đã cho có điểm cực trị, khi đó

Câu 13. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu số nguyên sao cho hàm số có ba điểm

cực trị?

Câu 14. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình dưới Gọi là tập hợp

các giá trị nguyên dương của để hàm số có điểm cực trị Tính

Câu 15. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình

dưới Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có

nhiềuđiểm cực trị nhất?

Câu 16. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới Số giá trị

nguyên thuộc đoạn của để hàm số có đúng điểm cực

trị là:

bên Tập tất cả các giá trị của tham số để hàm số có đúng ba điểm

Câu 18. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số Gọi là tập hợp các giá trị nguyên

dương của tham số để hàm số có điểm cực trị Tổng giá trị tất

cả các phần tử của bằng

Câu 19. Cho là hàm bậc có đồ thị như hình vẽ ở bên Tìm tập hợp các giá trị thực

của tham số để đồ thị hàm số có điểm cực trị

nguyên của tham số trong đoạn để số điểm cực trị của hàm số bằng ?

Câu 21. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số

có bao nhiêu điểm cực đại?

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số có một điểm cực đại

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị

Ví dụ 3. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đúng hai điểm cực trị

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Do hàm số có đúng hai điểm cực trị nên phương trình

có hai nghiệm bội lẻ phân biệt

x x

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số có 3 cực trị

Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị của hàm số như hình

vẽ

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực tiểu, điểm cực đại.

C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Vậy đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Dựa vào đồ thị của và đường thẳng ta có

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hàm số liên tục trên Biết hàm số có bảng xét dấu sau

Số điểm cực tiểu của hàm số là

t t t t

x x x x