MỘT số bài TOÁN cực TRỊ LIÊN QUAN đến tập hợp

Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học... Với vai tròn quan trong toán học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán rất khó, là những bài tập phân loại học sinh rất tốt. Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng. Nhìn chung để giải một bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách thức tiếp cận bài toán. Do đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một cách cụ thể để học sinh hiểu được ý tưởng cũng như mục đích của bài toán. Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề sử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp.

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP

Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao Tổ hợp có

vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học

Với vai tròn quan trong toán học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán rất khó, là những bài tập phân loại học sinh rất tốt

Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng Nhìn chung để giải một bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách thức tiếp cận bài toán Do

đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một cách cụ thể để học sinh hiểu được ý tưởng cũng như mục đích của bài toán Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp

Trong chuyên đề này, một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên giữa các trường đại học trên thế giới những năm gần đây

Chuyên đề được chia làm hai phần chính:

I Phần bài tập minh họa

II Phần bài tập tương tự

Những bài toán tổ hợp xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây thường là các bài tập hay và khó, có độ phân hóa cao giữa các đối tượng học sinh Với thời gian ngắn thì học

sinh thường rất khó để giải quyết được các bài toán dạng này và đây cũng là vấn đề rất nan giải trong công tác ôn luyện học sinh giỏi của đa số giáo viên Số lượng cũng như số dạng bài toán tổ hợp là rất nhiều (có thể nói là vô hạn) nên giáo viên không thể dạy hết tất cả được, mà cần phải có phương pháp hiệu quả nhất để trang bị cho học sinh cách tiếp cận cũng như các kiến thức cơ sở trong việc giải quyết các bài toán tổ hợp Chuyên đề được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình cả về nội dụng và hình thức của các thầy, cô giáo trong tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên XYZ Do thời gian và trình độ có hạn nên trong bài viết chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ của dạng toán tổ hợp, rất mong nhận được góp ý và các phương pháp hiệu quả để việc giảng dạy phân môn này có hiệu quả hơn

I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1 Cho tập hợp và M là tập hợp con của tập X có tính chất T nếu: tích của 3 phần tử phân biệt bất kì trong M đều không là số chính phương Tìm số phần tử lớn nhất của M

Lời giải Xét 4 tập hợp rời nhau có 3 phần tử và tích của 3 phần tử đều là số chính phương:

1, 4,9 , 2,7,14 , 5,12,15 , 3,6,8      

Nếu tập hợp M có tính chất T thì có ít nhất một phần tử trong mỗi tập trên không thuộc M suy ra

11

M  Giả sử M 11: DoM có tính chất T nên mỗi tập trong 4 tập hợp

1, 4,9 , 2,7,14 , 5,12,15 , 3,6,8       phải có đúng hai phần tử thuộc M và các phần tử

10,11,13 M Khi đó với tập hợp 5,12,15 ta xét các trường hợp sau:

+) 5,12M  2M  7,14M  8M  3,6M Do 3.12 6 2 nên M không được chứa

một phần tử nào của 1, 4,9 vô lí.

+) 5,15M  3M  6,8M  2M  7,14M Do 7.14.8 28 2 vô lí

+) 12,15M  6M  3,8 M Do 3.12 6 2 nên M không được chứa một phần tử nào của

1, 4,9 vô lí Vậy M 10 Mặt khác nếu ta lấy M 1, 4,5,6, 7,10,11,12,13,14

Vậy số phần tử lớn nhất của tập hợp M là 10

Bài 2 Cho tập hợp X 1, 2,3, ,16 và M là tập hợp con của tập X có tính chất T nếu: M không chứa ba phần tử nào đôi một nguyên tố cùng nhau Tìm số phần tử lớn nhất của M

Lời giải Xét tập hợp số A 1, 2,3,5,7,11,13 , ta thấy nếu tập hợp M thỏa mãn tính chất T thì

M chỉ chứa nhiều nhất 2 phần tử của A M 11 Mặt khác tập hợp gồm 11 phần tử sau thỏa

mãn tính chất T: 2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,16 Vậy số phần tử lớn nhất của M là 11.

Bài 3(VMO 2004) Cho tập hợp A 1, 2,3, ,16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho

trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt ,a b thỏa mãn a2b2 là một

số nguyên tố

Lời giải Xét tập hợp B 2, 4,6,8,10,12,14,16 , ta thấy a b B,   a2b2 là một số chẵn lớn hơn

2 nên k thỏa mãn yêu cầu bài toán thì k  Ta sẽ chứng minh 9 k  sẽ là số nhỏ nhất thỏa mãn 9

yêu cầu bài toán Thật vậy, ta chia tập hợp A thành 8 cặp hai phần tử a b,  sao cho 2 2

a b là một

số nguyên tố:

1, 4 , 2,3 , 5,8 , 6,11 , 7,10 , 9,16 , 12,13 , 14,15              

Do đó theo nguyên tắc Dirichlet thì trong 9 phần tử phân biệt của tập hợp A phải tồn tại hai số

thuộc cùng một cặp Vậy k nhỏ nhất bằng 9.

Bài 4 Cho tập hợp M 1, 2, ,n n , 2 Hãy tìm số m nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con chứa m phần tử của M đều tồn tại ít nhất hai số ,a b mà số này là bội của số kia.

Lời giải Xét tập con 1

, 1, ,

M        n

2

n

n



 



 

  nên trong M không 1

có hai số mà số này chia hết cho số kia Do đó 1 1

2

n

m   

  , ta sẽ chứng minh 1 1

2

n

m   

  là

số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, xét tập con 1 2 1

1 2

, , , n



 

 

của M Ta xét hai

trường hợp n chẵn và n lẻ

TH1 Nếu n2k, ta viết 2b i

a  c , trong đó c là số lẻ, i i1, 2, ,k1 Do chỉ có đúng k số lẻ nên

tồn tại ij sao cho c i c j một trong hai số ,a a có một số chia hết cho số kia i j

TH2 Nếu n2k1, ta viết 2b i

a  c , trong đó c là số lẻ, i i1, 2, ,k2 Do chỉ có nhiều nhất

k+1 số lẻ nên tồn tại ij sao cho c i c j  một trong hai số ,a a có một số chia hết cho số kia i j

Vậy số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là 1 1

2

n

m  

 

Bài 5 Cho X là một tập con của tập 1, 2,3, ,10000 , sao cho nếu ,a b nằm trong X thì ab không nằm trong X Tìm số phần tử lớn nhất của tập X

Lời giải Xét tập hợp con M 101,102, ,10000 của 1, 2,3, ,10000 , do 2

101 10000 nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu bài toán, tập hợp M có 9900 phần tử Ta sẽ chứng minh 9900 là số lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, xét tập con A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A

không thỏa mãn yêu cầu bài toán Xét 100 bộ số sau : 100 i,100i, 100  i 100i ,0 i 99

Dễ thấy nếu cả 3 số của mỗi bộ trên thuộc A thì vô lý suy ra phải có ít nhất một số trong mỗi bộ đó

không thuộc A A 10000 100 9900  , vô lí Vậy số phần tử lớn nhất của X bằng 9900

Bài 6 Cho A là một tập con của tập hợp 1;2;3; ;100 , A có phần tử nhỏ nhất là 1 và phần tử lớn nhất là 100 Giả sử A có tính chất: Với mỗi phần tử x của A, x  thì x hoặc bằng tổng của 1 hai phần tử thuộc A hoặc bằng hai lần một phần tử thuộc A Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của tập hợp A

Lời giải Giả sử tập hợp A gồm n phần tử là 1x1x2  x n1x n 100 Với mỗi số 2 i n 

ta có:

1

2

x x x  x Do đó

2 2 1 2, 3 2 2 4, 4 2 3 8

x  x  x  x  x  x  , x5 2x4 16,x6 2x5 32,x7 2x6 64.Vì vậy n  8

Nếu n 8 x8 100, kết hợp với x6x7 64 32 96   x8 2x7  x7 50

Do x5x648 x7 2x6 x6 25 Mặt khác 4 5 6 5 5

25

2

x x   x  x  x  vô lý

Do đó n  , với 9 n  ta lấy tập hợp 9 A 1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy số phần tử nhỏ nhất của tập hơp A là 9.

Bài 7 Cho tập hợp X có n  phần tử Xét 2 k  tập con của 2 X thỏa mãn

, , , , 1, 2, ,

X X  i j X X  i j  k Tìm giá trị lớn nhất có thể có của k

Lời giải Xét k tập Y1X X Y\ 1, 2 X X\ 2, ,Y k X X\ k Do

, , , , 1, 2, ,

X X  i j X X  i j k nên Y i Y j, i j Y, iX j,i j, 1, 2, ,k Do đó ta

có 2k tập con đôi một phân biệt của tập X Mặt khác số tập con của tập hợp X là 2n Do đó

1

Với k 2n 1

 , ta xét phần tử a X và gọi 2n1 tập con của X \ a là A A1, 2, ,A2n 1 Khi đó

1 1 , 2 2 , , 2n 2n

X A  a X A  a X  A   a là 2n1 tập con của X thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy giá trị lớn nhất của k 2n 1

Bài 8 Cho là các số nguyên dương, Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho bất kì

một họ gồm tập hợp con của tập đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một

trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại

Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây:

Bổ đề 1 Cho là một số nguyên Khi đó luôn tồn tại một họ tập con của tập hợp

sao cho bất kì ba tập hợp phân biệt khác rỗng của họ này đều không thỏa mãn tính chất

một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng quy nạp như sau:

+) Khi đễ thấy thỏa mãn

+) Ta giả sử bổ đề này đúng đến , tức là từ tập hợp luôn tồn tại tập hợp

sao cho không có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó Ta xét tập

Thỏa mãn không có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó

Vậy bổ đề 1 được chứng minh

Bổ đề 2 Cho là một số nguyên Chứng minh rằng mọi họ gồm ít nhất tập hợp

con của tập hợp đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp

của hai tập hợp còn lại

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học

+) Khi đễ thấy bổ đề 2 là đúng

+) Giả sử bổ đề 2 đúng đến , tức là mọi họ tập con của tập hợp luôn tồn

tại ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại

Ta chứng minh trong bất kì tập con của tập hợp luôn tồn tại ba tập hợp

phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại

Thật vậy, số tập con chứa bằng Gọi là số tập con trong tập con của tập hợp

đã xét ở trên Khi đó ta xét các trường hơp:

TH1 Nếu thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

đã xét ở trên Giả sử ta xét tập dạng này là

i) Nếu thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

ii) Nếu tồn tại sao cho thì Trong tập đã chọn ở trên phải có một tập

con khác rỗng của giả sử nó là

Nếu thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm

Nếu thì ba tập thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy bổ đề 2 được chứng minh

Trở lại BÀI 3 thì dễ thấy nhỏ nhất bằng

Bài 9(Bài toán về khoảng cách Hamming) Cho và tập hợp có phần tử Gọi là

tập hợp chứa các xâu (mỗi kí tự là một phần tử của X hoặc phần tử 0) có độ dài bằng và khoảng

cách Hamming có độ dài không nhỏ hơn Kí hiệu là số phần tử lớn nhất của tập hợp

Khi đó

i) Nếu chẵn và thì

ii) Nếu lẻ và thì

iii) Nếu chẵn thì

iv) Nếu lẻ thì

Chứng minh Giả sử Ta đồng nhất mỗi phần tử của C với một xâu nhị

phân dạng , trong đó nếu ở vị trí thứ của xâu là và nếu vị trí thứ của

xâu là

i) Ta sẽ đánh giá

theo 2 cách khác nhau, ở đây kí hiệu là khoảng cách Hamming giữa hai xâu

+) Số cách chọn bộ có thứ tự là suy ra:

+) Xét ma trận , trong đó mỗi dòng là một phần tử của Gọi là số số 0 ở cột thứ và

tương ứng ở cột thứ đó có số 1 Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối xứng nên suy

Do đó từ hai cách đánh giá ở trên ta được:

ii) Lặp lại cách chứng minh tương tự như trên nhưng đối với tập

Một số bài toán áp dụng bài toán khoảng cách Hamming

Bài 10 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có 7 em học sinh được lập thành nhóm hoạt động ngoại khóa,

mỗi học sinh có thể tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết rằng với hai nhóm tùy ý thì có ít nhất 4 học

sinh chỉ tham gia vào một trong hai nhóm đó.Tìm giá trị lớn nhất có thể của

(Gợi ý: Giả sử 7 học sinh là và đặt Ta coi mỗi nhóm là một xâu dạng

, trong đó nếu nhóm đó chứa , nếu nhóm đó không chứa Khi đó theo giả

thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn Áp dụng kết quả phần 2.i ở trên với ta

được và trong đánh giá dễ dàng chỉ ra được dấu bằng)

Bài 11 (PTNK TPHCM 2012) Cho tập hợp Hai tập con và của được gọi là

mà mỗi phần tử là một tập con của gồm phần tử đôi một không giống nhau.

a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng

(Gợi ý: ta coi mỗi tập là một xâu dạng , trong đó trong đó nếu chứa ,

nếu không chứa Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn Áp dụng kết

trong đánh giá dễ dàng chỉ ra được dấu bằng)

Nhận xét Như vậy với mỗi cách tạo ra khoảng cách Hamming của hai đối tương nào đó ta được một

dạng bài tập tương đối khó Trong tất cả các dạng bài tập liên quan đến khoảng cách Hamming thì ví

dụ 2 thật tinh tế và sâu sắc

II BÀI TẬP

Bài 12 Cho A A1, , ,2 A là các tập hợp có hữu hạn phần tử sao cho n A1 A2  A n và

1

n i i





Giả sử có số nguyên dương 1 k n  thỏa mãn hợp của bất kì k tập hợp của họ trên bằng S, hợp của nhiều nhất k  tập của họ đã cho là một tập con thực sự của S Tìm số phần tử nhỏ nhất của S.1

Bài 13 Cho X i1 i k là một họ các tập con có h phần tử của tập hợp X Chứng minh rằng

1

min

k i i

X





bằng số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho h

m

k C

Bài 14 Cho n là một số nguyên dương cho trước và A A i 1 i 3n,B B i 1 i 3n,C  C i 1 i 3n là ba phân hoạch của tập hợp hữu hạn X Giả sử ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi , ,i j k 1, 2, ,3n:

3

A B  A C  B C  n Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể có của tập hợp X

Bài 15(Định lí Sperner) Cho X là một tập hợp có n phần tử, và G A A1, 2, ,A p là một họ các tập

con của X thỏa mãn tính chất A i A j,i j, 1, 2, , ,p ij Chứng minh rằng max 2

n n

p C

 

 

Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X là một tập hợp có n phần tử, và G A A1, 2, ,A p là một

họ các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau:

a) , 1, 2, ,

2

i

n

A  r  i p

b) A iA j  , i j, 1, 2, ,p

1

max r

n

p C 





Bài 17 Cho X là một tập hợp có n phần tử, và Y là một tập con có k phần tử của X Chứng minh rằng

số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau của tập X, mỗi tập có đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì

thì không chứa nhau bằng 2

n k r

C C



 

 

 

Bài 18(Balkan MO 2005) Cho n  là một số nguyên và S là một tập con của tập hợp 2 1, 2, , n

sao cho S hoặc chứa hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia, hoặc chứa hai phần tử nguyên

tố cùng nhau Tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp S

Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử và S  A A1, 2, ,A k là một họ các tập hợp con của tập hợp A Nếu với hai phần tử bất kì ,x y A có một tập con A iS chứa đúng một phần tử

trong hai phần tử x y, Chứng minh rằng n  2k

Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập X 1, 2, , 219961 , chứng minh rằng tồn tại tập con A của X thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

b) Với mọi phần tử khác 1 của A đều viết thành tổng của hai (có thể bằng nhau) phần tử thuộc A;

c) Số phần tử lớn nhất của tập A là 2012

Bài 21(Balkan MO 1989) Cho F là một họ các tập con của tập hợp 1, 2, , n và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) Nếu A thuộc F, khi đó A có 3 phần tử;

b) Nếu A và B là hai phần tử khác nhau của S, khi đó A và B có nhiều nhất một phần tử chung

Kí hiệu f n  là số phần tử lớn nhất có thể có của F Chứng minh rằng  

4

f n

Bài 22 Cho S là một tập con của tập hợp 1, 2, ,1989 và S thỏa mãn tính chất trong S không có hai phần tử mà hiệu của chúng bằng 4 hoặc 7 Tìm số phần tử lớn nhất của S?

Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F  A A1, 2, ,A p là một họ các tập con của tập 1, 2,3, , n thỏa mãn

tính chất: nếu A i A j thì A i A j 3 Tìm số lớn nhất có thể có của p

Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn nhất các cặp phân biệt x y i, i sao cho x y  i, i 1, 2, , 2013 ,

2013, ,

x y   i j x y x y

Bài 25 (China 1996) Cho 11 tập hợp M M1, 2, ,M , mỗi tập có 5 phần tử và thỏa mãn11