MỘT số bài TOÁN về hàm ẩn LIÊN QUAN đến DẠNG TOÁN xét TÍNH đơn điệu của hàm số

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi môn Toán thi trắc nghiệm) đã xuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn. Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng trong chuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán xét tính đồng biến nghịch biến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn. Vì vậy tôi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi môn Toán thi trắcnghiệm) đã xuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn Lớp bài toán hàm ẩn khá rộngnhưng trong chuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm

ẩn Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán xét tính đồngbiến nghịch biến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên

môn Vì vậy tôi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” với mục đích trao đổi,

học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càngđạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tôi viết chuyên đề này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệu phục vụ côngtác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêm một tài liệu thamkhảo Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thông dụng và có hiệu quảkhi giải bài toán tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn

3 ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG.

Chuyên đề áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Chương I của chương trình Giải Tích 12

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

5.1 Nghiên cứu lí luận.

Phân tích nội dung chương I phần Giải Tích 12 Nghiên cứu kỹ các dạng bài toánđồng biến, nghịch biến trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo và trong các đề thitrong những năm gần đây

7 THỜI LƯỢNG DỰ KIẾN Số tiết dự kiến dạy chuyên đề: 6 tiết

PHẦN II NỘI DUNG

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Tính đơn điệu của hàm số.

1.1.1 Định nghĩa: Gọi K là khoảng a;b hoặc đoạn a;b hoặc nửa khoảng a;b , a;b  

có hữu hạn nghiệm thuộc a;b

 Hàm số f x  nghịch biến trên a;b  f x   0, x a;b

(Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”)

 Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )

 Nếu hàm f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a; b và f x  liên tụctrên nửa đoạn a;b thì f x  sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn

1.2 Đạo hàm của hàm hợp

1.2.1 Hàm số hợp

Cho hàm số yf x( ) có tập xác định X , tập giá trị T và hàm số yg u( ) có tậpxác định Y chứa tập T Khi đó với mỗi giá trị xX ta có một giá trị xác định y chobởi g Khi đó yg u( )g f x( ( )) và ta nói y là một hàm số h theo biến số x với

yf x hoặc bảng xét dấu của hàm f x'( )

2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ yf x( ) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f x'( )

Phương pháp giải

Cho đồ thị f x'( ), hỏi tính đơn điệu của hàm yf x( )

 Tìm nghiệm của f x '( ) 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);

 Xét dấu f x'( ) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Oxmang dấu âm);

 Lập bảng biến thiên của hàm số y f x( ), suy ra kết quả tương ứng

Bài 2.1.1 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị của hàm

Lời giải

Từ đồ thị yf x  ta thấy

  0,  ; 2

f x     x

(Phần đồ thị ứng với x    ;2 nằm phía dưới Ox)

và f x  0, x 2; (Phần đồ thị ứng với x 2; nằm phía trên Ox)

Từ đó suy ra mệnh đề A, C, D đúng và B sai

Cách khác: Để thuận lợi cho một số bài tập phía sau tôi xin đưa ra môt cách giải khác

Dựa vào đồ thị có  

10

TRÁNH NHẦM LẪN

hoành ứng với f x '( ) 0 khi đó hàm y f x  đồng biến; phần đồ thị phía dưới trục hoành ứng với f x '( ) 0 khi đó hàm số y f x nghịch biến.

Bài 2.1.2 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hàm số f x  làđường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng1;1 

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 2;1 

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

 Lập bảng biến thiên của yf u( ), suy ra kết quả tương ứng.

(Có thể thay thế bước 2 bằng giải phương trình f u u x '( ) '( ) 0và dựa vào bảngbiến thiên hoặc đồ thị hàm f x'( ) đã cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y')

Bài 2.2.1 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu f x'( ) nhưhình bên dưới

Bước 1 Từ bảng biến thiên cho ta

Bước 2 Tính đạo hàm của hàm y' ( 2) '(3 2 )  f  x

Bước 3 Giải bất phương trình y' 0  ( 2) '(3 2 ) 0f  x   f '(3 2 ) 0 x 

Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án B ( 2;1)

Cách khác: Bạn đọc có thể xem thêm một cách giải khác khá thú vị sau

Bước 1 Dựa vào bảng biến thiên có

Bài 2.2.2 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x( ) trên  và đồ thị của hàm số

Bước 2 Ta có:g x'  (2x 2) '(f x2  2x 1)

Bước 3 Tìm x sao cho f x'( 2  2x1) 0  x2  2x 1 2  x2  2x 3 0

1 x 3

    Bước 4 Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D 1;0

Cách 2

Bước 1 Dựa vào đồ thị có  

10

13

x x

x x

Bình luận:

trục hoành tại điểm x 2 và tiếp xúc tại điểm x 1 nên ta chọn hàm

f x  x x Khi đó hàm số yg x'( )f x'( 2  2x1) là một hàm đa thức ta

có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức.

Bài 2.2.3 Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên dưới

ê = ë

như sau: Ví dụ xét trên khoảng (- - + 1; 1 2 2)

2

g¢ = f¢ <

vì dựa vào đồ thị f x¢( ) ta thấy tại x = 2Î ( )1;3 thì f ¢( )2 < 0.

Các nghiệm của phương

2

11

2 2

x x

x

x x

x x

(x  2 không phải là nghiệm kép của phương trình g x '( ) 0)

ta chọn x 2 thay g x'( )ta được g'(2) 2.2 '(2 ) 4 '(4) 0 f 2  f  , vì theo bảng xét dấu f '(4) 0 nên

'( ) 0, 2;

g x  x 

Ta thực hiện các khoảng còn lại tương tự.

2.3 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ yf x( ) h x( )DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f x'( )

Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm f x'( )

A Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng 1;2

B Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng 1;0

C Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng 0;1.

D Hàm số y g x   nghịch biến trên khoảng 2; 

Lời giải

Bước 1 Ta có:g x 3f x  3x26x 3

Bước 2 Giải phương trình g x  0 3f x  3x26x 3 0  f x  x2 2x1

Xét tương giao của hai đồ thị hàm số: yf x  và y x 2 2x1

Quan sát đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số yf x và đồ thị hàm số y x 2 2x1 cắt nhautại ba điểm phân biệt A B C, , có hoành độ lần lượt là x0;x1;x2

Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án C 0;1

Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến các điểm đặc biệt mà đồ thị ban đầu cho tọa độ

cụ thể

Bài 2.3.2 Cho f x  mà đồ thị hàm số yf x  như hình bên Hàm số

Bài 2.3.3 (ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x( )

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

'( )

Hàm số y3 (f x2) x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ; 1  B 1;0  C 0; 2  D 1;.Lời giải

Bước 1 Tính đạo hàm y' 3  f x'( 2) ( x2  1)

Bước 2 Ta có y' 0  3 'f x 2 3x2  3 0 f x' 2 x21.

Đặt t x 2, bất phương trình trở thành: f t'( ) ( t 2)2 1 f t'( ) ( t2  4t3.) 0Không thể giải trực tiếp bất phương trình:

Bước 2 Giải bất phương trình:

t t

3 3

f t t

trên đồ thị để xác định vị trí tương đối của các đường cong để suy ra dấu đạo hàm.

0

+

Hàm số yf(5 2 ) x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 3;4  B 1;3  C   ; 3  D 4;5 Bài 3.2 Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới

t   3 2 0 1 3

'( )

-Hàm số yf 1 2 x đồng biến trên khoảng

A

3 0;

12;

Bài 3.7 Cho hàm số yf x  liên tục trên  Biết rằng hàm số yf x  có đồ thị

như hình vẽ bên dưới:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm sốy2 (f x1) x2 đồng biến trên khoảng

biến trên khoảng nào trong các

khoảng sau đây ?

ê = ë

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x Î -( 2;2) thì đồ thị hàm số f x¢( ) nằmphía trên đường thẳng y x= nên g x¢( )>0) ¾¾ ® hàm số g x( ) đồng biến trên

( - 2;2 ) Chọn B

Bài 3.14 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm liên

ê = ë

Yêu cầu bài toán ( )

3 0

khoảng sau ?

A (- 3;1 ) B.(- 2;0 )

C

3 1; 2

KẾT LUẬN

Đề tài này, tôi đã trình bày được một số vấn đề sau:

1 Phân loại và cách giải của một số bài toán xét tính đồng biến nghịch biến củahàm ẩn

2 Các ví dụ minh họa phương pháp giải của dạng toán và đặc biệt là các kĩ thuậttrong quá trình tính toán, xét dấu biểu thức đạo hàm dựa vào bảng biến thiên

3 Đưa ra hệ thống bài tập tham khảo về tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩndựa vào đồ thị đạo hàm

Đề tài này nhằm cung cấp cho giáo viên và các em học sinh một tài liệu thamkhảo về chủ đề tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn Đề tài sẽ giúp học sinh có cáinhìn sâu sắc hơn về chủ đề này, giúp cho việc học chủ đề hình học giải tích trong mặtphẳng, vốn là một chủ đề khó trở nên dễ dàng

Đối với trường trung học phổ thông Tam Đảo 2, đề tài đã, đang và sẽ góp phầnnâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi và chấtlượng thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

KIẾN NGHỊ

Đối với giáo viên: Không ngừng đầu tư vào chuyên môn, nghiệp vụ sư phạmKhông ngừng nghiên cứu đổi mới và nâng cao chất lượng giảng dạy Cần có sự quantâm chú ý đến khả năng nhận thức của các đối tượng học sinh để đưa ra các phươngpháp dạy học phù hợp với từng đối tượng đó Giúp học sinh có hứng thú trong học tập

bộ môn Toán nói riêng và các môn học trong nhà trường nói chung

Đối với nhà trường và tổ chuyên môn: Trong các buổi họp tổ nên tổ chức giaolưu các chuyên đề giữa các giáo viên trong tổ, giúp giải quyết các bài toán khó, các vấn

đề nảy sinh trong quá trình giảng dạy Xa hơn nữa, có thể tổ chức các buổi giao lưuchuyên đề với một số trường có chất lượng giảng dạy tốt trong tỉnh cũng như các tỉnhbạn giúp cho các giáo viên trong tổ có cơ hội học hỏi các kinh nghiệm của các đồngnghiệp, giúp nâng cao chất lượng dạy và học của trường trung học phổ thông Tam Đảo2

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đã đúc kết được trong quá trìnhgiảng dạy, chắc chắn vần còn mang tính chủ quan của bản thân và không thể tránh khỏicác sai sót Các vấn đề tôi đưa ra rất mong được sự góp ý nhiệt tình của các quý thầy cô,đặc biệt là của các em học sinh để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và áp dụngthiết thực hơn nữa vào quá trình dạy học