Một số bài toán về khoảng cách trong không gian

Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG trong những năm gần đây. Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một số bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn đề tài: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian”. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp.

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không giangiữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đạihọc, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG trongnhững năm gần đây Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâusắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà,đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên

Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một sốbài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn đề

tài: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian” Hi vọng đề tài sẽ

cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốtcho bạn bè, đồng nghiệp

PHẦN 2 NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của M trên ∆ Khi đó

độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆.

với mọi điểm A Î D

* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta có thể

Việc dựng hình chiếu của một điểm trên đường thẳng trong không gian, ta có thểlàm theo 2 cách sau:

+ Dựng mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho Rồi trên mặtphẳng đó qua điểm đã cho dựng đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng

+ Dựng một mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đườngthẳng, lúc đó giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng chính là hìnhchiếu của điểm trên đường thẳng Tính toán: Sau khi đã xác định được khoảngcách cần tính, ta dùng các hệ thức lượng trong tam giác, đa giác, đường tròn, …

để tính toán

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M và mặt phẳng (α) Gọi H là hình chiếu của M trên (α) Khi

đó độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

(α) Kí hiệu ( ,( ))d M a

N H

+ Hình chóp có 2 mặt vuông góc với đáy thì đường cao chính là giaotuyến của hai mặt này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những gócbằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chânđường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Cách 2 Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp

.3

( α )

M N I ()

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi M ', ta quy việc tính ( ,( ))d M a về việc tính

( ',( ))

d M a Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì

( ,( )) ( ,( ))

d M a =d N a

( α )

N' M'

N M

Kết quả 2 Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N

không trùng với I) thì

( ,( ))( ,( ))

_C

_B _A

_O

- Nếu bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm M không phải là điểm A

(chân đường cao từ S) thi ta có thể sử dụng Kết quả 2 để quy về tính khoảng

cách từ điểm A

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại

O ( OA ^OB OB, ^OC OC, ^OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

( , ')

, '

u u AA d

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt phẳng (α) Kí hiệu ( ,( ))d D a

α

H M

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểmbất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu (( ),( ))d a b

* Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về

việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng HK

gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu ( , ) d a b

H

b a

Đoạn HK xác định như trên được gọi là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

* Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như

- Nếu a^b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo

ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó

( , )

d a b =IH

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

* Cách dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

+ Cách 1: Giả sử a, b là hai đường thẳng chéo nhau và a^b.

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

+ Cách 2: Cho a và b chéo nhau.

M'

M

a B

A

b' b

- Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

+ Cách 3: Cho a và b chéo nhau.

O

a

B A

b' b

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại điểm B.

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ.

I Phương pháp tính trực tiếp.

Ví dụ 1 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O,

cạnh a, hình chiếu của C’ trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy Cạnh bên CC’hợp với mp(ABC) góc 60 Gọi I là trung điểm của AB Tính các khoảng cách:

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của cạnh

CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường

thẳng BE.

Hướng dẫn:

Vì SA^ ABCD, trong mặt phẳng (ABCD) nếu dựng AH^BE tại H thì SH^BE

(định lí 3 đường vuông góc) Tức là khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE bằng đoạn SH Ta có:

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,

SA^ (ABCD), SA = a Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB.Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM

OMC

2 2

2

2

2 54

Chân đường cao hình chóp là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC (Do SA = SC = SM) Góc AMC =· 120o

, nên H ở ngoài tam giác AMC và HAM là tam giác đều nên:

Ví dụ 5: (Đề minh họa thi THPTQG năm 2018) Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng

Ví dụ 6: (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là

tam giác vuông đỉnh B , AB = , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a a =

a

D.

63

a

Hướng dẫn:

Chọn D

đi qua S và cắt đường tròn đáy tại A và

B sao cho AB =2 3 a Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P)

A

32

a

d =

B d=a C

55

a

d =

D

22

a

d =

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón, I là trung điểm của đoạn thẳng AB,

H là hình chiếu vuông góc của O lên SI Ta có

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

trong đường tròn đường kính AD =2a và có cạnh SA vuông góc mp(ABCD)

,với SA =a 6 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Hướng dẫn:

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có

B A

Ta có 2 2 2 2

.'

SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng DM và SC theo a.

a AH

II Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.

Ví dụ 12 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là

tam giác vuông cân tại ,C BC = , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và a

SA = Khoảng cách từ A đến mặt phẳng a (SBC)

bằng

22

a

Ví dụ 13 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA ,

OB, OC đôi một vuông góc với nhau, và OA =OB = , a OC =2a Gọi M

là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng

a

C

23

a

D

23

a

Hướng dẫn:

Ví dụ 14 (Đề thi ĐH khối A – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác

vuông tại A, ABC =· 30o

, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm

C đến mặt phẳng (SAB).

(SAB) được tính thông qua thể tích V S ABC. được

tính ở phần trước và diện tích của tam giác

AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SI và CD.

S

Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH là đường cao của hình chóp S.ABCD Gọi M là trung điểm của AI khi đó SM ^AB mà

SH ^AB , từ đó suy ra MH ^AB Ta có:

32

AB ^ SMH Þ AB ^HK

, suy ra

Ví dụ 16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC

hay AMNP là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ

P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB).

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ⊥ (ABCD)

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên

( ) ( ).

Do OA, OB, OS đôi một vuông góc nên 2 2 2 2

d =OA +OB +OS

Ví dụ 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông

góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu

của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một

mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.

a AH

63

BD =SO = Þ = = Tam giác AHK cân tai A, G là trung

điểm của HK nên AG ⊥ HK và

a h

;

2

2 29

OAHK AHK

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ O’xyz sao cho O' ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2)

Tính SH, SK suy ra tọa độ của H

V = éêAH AK AOùú

uuur uuur uuur

Cách 4: SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC.

* AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC

III Phương pháp trượt đỉnh.

Ví dụ 18 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

là hình chữ nhật, AB = , a BC =2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA = Khoảng cách giữa hai đường thẳng a BD, SC bằng

A

306

a

B.

4 2121

a

C.

2 2121

a

D

3012

a

h =

Ví dụ 1 9 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD bằng)

.28

.14

.2

.7

a

Hướng dẫn:

Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB Þ SH ^AB Þ SH ^(ABCD).

Từ H kẻ HM ^BD, M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông.

Vậy:

( ;( ))

d C SBD

21.7

a

=

Ví dụ 20 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình

vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ D đến mặt

a

2114

a

2128

* Xét tam giác SIK vuông tại I ta có:

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2a và tam giác SAB là tam

giác cân tại đỉnh S Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450, góc

Hướng dẫn:

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra

3.2

a

SH =

Mà (SAB) vuông góc với (ABCD) theo giao

tuyến là AB, nên SH ^(ABCD)

3

Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu

SACD S ABCD

vàdiện tích tam giác

1.2

AS

Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB Góc giữa SC và (ABC) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Nhận xét: Do

23

AD =a Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng

với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD)

bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến

3

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

Ví dụ 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh

bằng a, SA =a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

D

C B

A S

b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

IV Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

1. Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một

đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc

vuông

2. Tính chất Giả sử OABC là tứ diện vuông tại

O ( OA ^OB OB, ^OC ,OC ^OA) và H

là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó đường cao OH được tính bằng công

A

B D H

Ví dụ 26 Cho lăng trụ đều ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi ' ' '

M, N lần lượt là trung điểm của AA và ' BB' Tính khoảng cách giữa B M' và

CN

Phân tích: Để tính khoảng cách giữa B M' và CN ta tìm một mặt phẳng chứa

CN và song song với B M' , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về

việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông

Hướng dẫn:

Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì

OACD là tứ diện vuông tại O AMB N là hình'

a h

h =OA +OC +OD = a Û = Vậy

3( ' , )

Gọi N là trung điểm của BB' thì 'A NCM là hình bình hành nên ' / / A N CM

Mặt phẳng ( 'A ND ) chứa ' A D và song song với CM nên

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình

học

Ví dụ 28 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện . O ABC có

, ,

OA OB OC

đôi một vuông góc với nhau,OA = và a OB =OC =2a Gọi M

là trung điểm của BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

a

D

22

a

Hướng dẫn:

O G

E

N M

B

B' A'

C'

D

C D'

A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó O(0;0;0)

Ta có:

O(0;0;0),

3

;0;0 ;2

AD SB AB d

Ví dụ 30 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Gọi M, N, P

lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’ Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD).

Hướng dẫn:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và

tia Oz chứa AA’ Khi đó:

N M

z

y

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Lại có A B =uuuuur' ' (1;0;0)

nên

( ' , ' ) ' , ' ' ' 1

6' , '

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ thích

hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên

việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng Với

phần b, ta quy việc tính diện tích thiết

diện về việc tính khoảng cách từ M đến

B A

Từ bảng biến thiên ta có min0;1 ( ) 3

A S

qua A vuông góc với SB Þ ( )a :y- 2z =0.

Vì H là hình chiếu của A lên ( ) 0;2 ; 2

Bài 1 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là

tam giác vuông đỉnh B , AB = , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và a

a

C

2 23

a

D

55

a

C

3012

a

D

306

Bài 4 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy là

tam giác vuông đỉnh B , AB = , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a a =

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

bằng

C 2

a

D a

Bài 5 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình

vuông cạnh a,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt

a

22

a

D

2128

a

.

Bài 6 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp

S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD =· 60o, SA = và SA vuông góc a

với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến (SCD)

bằng?

A

213

a

B

153

a

217

a

157

a

Bài 7 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

đáy ( minh họa như hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD bằng)

a

C

21.7

a

D

21.28

a

Bài 8 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = Khoảnga

a

C

53

a

D

32

a

Bài 9 (Đề thi ĐH khối D – 2013).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, BAD =· 120o

, M là trung điểm của cạnh BC và SMA =· 45.o

Tính theo

a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Bài 10 (Đề thi ĐH khối D – 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB =2 3a và