Các bài toán khó về quan hệ vuông góc

Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp,...để biến đổi vế này thành... C

CÁC BÀI TOÁN KHÓ

TƯ DUY MỞ

CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

LATEX bởi TƯ DUY MỞ

1 Phương pháp vector.

Đây là một phương pháp rất mạnh để xử lý các bài toán có yếu tố vuông góc ví dụ như hình hộp chữ nhật,hình lập phương, khối tứ diện đều Trước tiên ta cần phải tìm hiểu các kiến thức nền tảng của phương phápnày

1.1 Cơ sở của phương pháp vector.

Glà trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra

Phương pháp giải Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng

tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, để biến đổi vế này thành

2 Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và CD thỏa mãn điều kiện

−→

OI+23

1 Chứng minh giá của ba vector−→a,−→b, −→c cùng song song với một mặt phẳng.

2 Phân tích−→c = m−→a + n−→b trong đó−→a,−→b là hai vector không cùng phương.

Để chứng minh bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng ta có thể chứng minh ba vector −→

AB,−→

AC,−→

AD đồngphẳng Ngoài ra có thể sử dụng kết quả quen thuộc sau Điều kiện cần và đủ để điểm D ∈ (ABC) làvới mọi điểm O bất kì ta có−→

OD= x−→

OA+ y−→

OB+ z−→

OCtrong đó x + y + z = 1 Tính chất trên gọi là tâm

tỉ cự trong không gian

7 Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB, AC, AD lấy các điểm K, E, F

Các mặt phẳng (BCF) , (CDK) , (BDE) cắt nhau tại M Đường thẳng AM cắt (KEF) tại N và cắt mặtphẳng (BCD) tại P Chứng minh NP

Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau

1 Chọn ba vector không đồng phẳng−→a,−→b, −→c so cho độ dài của chúng có thể tính được và gócgiữa chúng có thể tính được

2 Phân tích−→

MN= m−→a + n−→b + p−→c Khi đó

MN=

−→MN

=q−−→

2+ p2|−→c |2+ 2∑mn |−→a |

... =a

√3

2 Tính góc hai đường thẳng AB CD.

2 Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M, N trung điểm AB CD.Tính góc gữa đường thẳng MN với đường thẳng AB,... trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh

• Tính góc hai đường thẳng AC BD

30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a Tam giác SAB vuông cân

A, M điểm... diện ABCD có góc tam diện vng A, AB = AC = AD = a Tìm điểm M khơng gian

để T =√

3MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất?

11 [Khó] Cho tứ diện ABCD cạnh a Các điểm P, Q