Qua cách lập sơ đồ tìm đường lối giải cho bài toán, học sinh sẽ được rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, so sánh và hệ thống hóa kiến thức từ đó khắc sâu kiến thức môn học, phát triển tư duy thuật toán và tư duy logic nhằm nâng cao chất lượng dạy học bộ môn góp phần đạt được mục tiêu giáo dục toàn diện.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ
TRƯỜNG THPT TRI U S N 4Ệ Ơ
TÊN Đ TÀI Ề :
H ƯỚ NG D N H C SINH L P 11 DÙNG S Đ SUY LU N Ẫ Ọ Ớ Ơ Ồ Ậ
NG ƯỢ C TÌM L I GI I CHO BÀI TOÁN CH NG MIN Ờ Ả Ứ
VUÔNGÓC TRONG KHÔNG GIAN
Người th c hi n: Lê Th Liênự ệ ị
Ch c v : Giáo viênứ ụ
SKKN môn: Toán
Trang 2THANH HOÁ NĂM 2015
Trang 3M C L CỤ Ụ
2.1 C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ 2 2.2. Thực trạng của vấn đề dạy học tìm lời giải cho bài toán
ch ng minh quan h vuông góc trong không gian trứ ệ ước khi áp d ngụ
SKKN
2
2.3.1. Trong các bài toán ch ng minh hai đứ ường th ng vuông góc ẳ 4 2.3.2. Trong các bài toán ch ng minh đứ ường th ng vuông góc v i ẳ ớ
2.3.3. Trong các bài toán ch ng hai m t ph ng vuông gócứ ặ ẳ 12 2.4.Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m .ệ ả ủ ế ệ 14
Trang 4
LÍ DO CH N Đ TÀI:Ọ Ề
Hình học không gian là m t môn h c t ng đ i khó đ i v i h c sinhộ ọ ươ ố ố ớ ọ THPT nói chung và h c sinh l p 11 nói riêng, nh t là đ i v i các h c sinh cóọ ớ ấ ố ớ ọ
h c l c trung bình khá tr xu ng. ọ ự ở ố Đây là nội dung chiếm phần lớn chương trình hình học lớp 11, cũng là nền tảng để học sinh học chương trình hình h cọ
l p 12: Th tích kh i đa di n; Phớ ể ố ệ ương pháp t a đ trong không gian. ọ ộ
Trong những năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT, tôi th y đa sấ ố
h c sinh r t y u ph n hình h c không gian, mà đ c bi t là chọ ấ ế ầ ọ ặ ệ ương III: Quan
h vuông góc trong không gian, trong đó ệ ch ng minh quan h vuông góc ứ ệ là
các bài toán đ u tiên và c b n ầ ơ ả Do đó m t h l y kéo theo là các em s r tộ ệ ụ ẽ ấ khó khăn trong các bài toán v “Góc”, “Kho ng cách”, “Th tích kh i đaề ả ể ố
di n” và “Phệ ương pháp t a đ trong không gian” nên thọ ộ ường không l y đấ ượ c
tr n v n 2,0 đi m nh ng n i dung này trong đ thi THPTQG.ọ ẹ ể ở ữ ộ ề
Gi i m t bài toán hình h c không gian l p 11 nói chung và bài toánả ộ ọ ớ
“ch ng minh quan h vuông góc trong không gian” nói riêng, theo tôi, thứ ệ ườ ng
có ba ph n: ầ V hình, tìm h ẽ ướ ng gi i ả và trình bày l i gi i ờ ả Vi c hệ ướng d nẫ
h c sinh v hình ph i đọ ẽ ả ược th c hi n xuyên su t trong quá trình d y h c bự ệ ố ạ ọ ộ môn. Tuy v y, h c sinh ậ ọ v hình t t ẽ ố m i ch là đi u ki n c n đ gi i đớ ỉ ề ệ ầ ể ả ược bài toán (trong các đ thi thề ường có câu: hình v sai c b n không ch m, ẽ ơ ả ấ nh ngư
l i không có thang đi m cho hình v ). V y khâu quan tr ng nh t đó là ạ ể ẽ ậ ọ ấ tìm
h ướ ng gi i ả (hay đường l i gi i), sau đó là ố ả trình bày l i gi i ờ ả Tuy nhiên, rèn
luy n ệ kĩ năng tìm h ướ ng gi i cho m t bài toán m i là khâu có tính ch t quy t ả ộ ớ ấ ế
đ nh ị đ n toàn b quá trình rèn luy n gi i toán và kh năng t duy cho ngế ộ ệ ả ả ư ườ i
gi i toán.ả
Trong môn Đ i s khi hạ ố ướng d n h c sinh gi i b t phẫ ọ ả ấ ương trình b cậ
nh t, b c hai m t n, b t phấ ậ ộ ẩ ấ ương trình tích hay b t phấ ương trình có n ẩ ở
m u ta thẫ ường hướng d nẫ h c sinh l p b ng xét d u ho c l p tr c xét d uọ ậ ả ấ ặ ậ ụ ấ
bi u th c v trái t o nên m t “quy t c” gi i r t đ n gi n. Thi t nghĩ trongể ứ ở ế ạ ộ ắ ả ấ ơ ả ế hình h c chúng ta có th tìm nh ng “quy t c” tọ ể ữ ắ ương t cho các d ng bài t pự ạ ậ
thường g p đặ ược hay không?
Trong các năm h c 20142015 và năm h c 20152016 tôi đã nghiên c u vàọ ọ ứ
đ a vào áp d ng thí đi m đ tài v đ i m i phư ụ ể ề ề ổ ớ ương pháp d y h c đó là:ạ ọ
“Rèn luy n kĩ năng gi i bài toán ch ng minh quan h vuông góc trong ệ ả ứ ệ không gian cho h c sinh l p 11 nh s đ t duy ng ọ ớ ờ ơ ồ ư ượ v i ý t c” ớ ưởng:
Thông qua vi c l p s đ t duy ng ệ ậ ơ ồ ư ượ c đ tìm đ ể ườ ng l i gi i và cũng ố ả
d a vào s đ đó đ trình bày l i gi i ự ơ ồ ể ờ ả cho các bài toán ch ng minh quan hứ ệ vuông góc trong không gian. Qua th c t tôi th y phự ế ấ ương pháp này đã góp
ph n t o đầ ạ ược h ng thú h c t p cho h c sinh và bứ ọ ậ ọ ước đ u thu đầ ược k t quế ả cao. Qua cách l p s đ tìm đậ ơ ồ ường l i gi i cho bài toán, h c sinh s đố ả ọ ẽ ược rèn
Trang 5luy n kĩ năng phân tích, t ng h p, so sánh và h th ng hóa ki n th c t đóệ ổ ợ ệ ố ế ứ ừ
kh c sâu ki n th c môn h c, phát tri n t duy thu t toán và t duy logicắ ế ứ ọ ể ư ậ ư
nh m nâng cao ch t lằ ấ ượng d y h c b môn góp ph n đ t đạ ọ ộ ầ ạ ược m c tiêu giáoụ
d c toàn di n. ụ ệ
Hiện t i tôi ch a th y tài li u nào nghiên c u sâu v v n đ này. ạ ư ấ ệ ứ ề ấ ề
Vì t t c nh ng lí do trên tôi th y vi c nghiên c u và hoàn thi n đ tàiấ ả ữ ấ ệ ứ ệ ề SKKK này là c p thi t.ấ ế
M C ĐÍCH NGHIÊN C U:Ụ Ứ
Nâng cao chất lượng dạy học Hình học không gian, từ đó nâng cao chất
lượng d y h c b môn toán trạ ọ ộ ở ường THPT
Đ I TỐ ƯỢNG NGHIÊN C U:Ứ
Các bài toán ch ng minh quan h vuông góc trong không gian.ứ ệ
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U:Ứ
Phương pháp sử dụng chủ yếu là phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ
s lý thuy t k t h p v i phở ế ế ợ ớ ương pháp th c nghi m s ph m.ự ệ ư ạ
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Nội dung, chương trình hình h c không gian l p 11; Các đ nh nghĩa, cácọ ớ ị tính ch t,… trong chấ ương III: Quan h vuông góc trong không gian, sách giáoệ khoa hình h c 11.ọ
M t s tài li u tham kh o v phộ ố ệ ả ề ương pháp d y h c toán nh : “Gi i bàiạ ọ ư ả toán nh th nào” c a Polia; “Rèn luy n kĩ năng tìm l i gi i cho m t bài toán”ư ế ủ ệ ờ ả ộ
c a Nguy n Văn Hòe,…ủ ễ
2.2 Thực trạng của vấn đề dạy học tìm lời giải cho bài toán ch ng ứ minh quan h vuông góc trong không gian trệ ước khi áp d ng SKKNụ
H c sinh l p 11 thọ ớ ường r t y u v phân môn “hình h c không gian”,ấ ế ề ọ
đ c bi t là h c sinh không l p mũi nh n. Chặ ệ ọ ở ớ ọ ương III: Quan h vuông gócệ trong không gian có th nói là n i dung quan tr ng nh t trong chể ộ ọ ấ ương trình mà
d ng toán ch ng minh quan h vuông góc là d ng toán c b n c a chạ ứ ệ ạ ơ ả ủ ương, từ
đó xây d ng các khái ni m v góc và kho ng cách. V i m t vài h c sinh ch aự ệ ề ả ớ ộ ọ ư
bi t v hình ho c v hình không t t, v hình không tr c quan, sai quy t c thìế ẽ ặ ẽ ố ẽ ự ắ
l t t y u là không tìm đẽ ấ ế ượ ờc l i gi i. Nh ng v i đa s h c sinh đã bi t vả ư ớ ố ọ ế ẽ hình t t, tr c quan v n r t khó khăn trong vi c t mình tìm ra hố ự ẫ ấ ệ ự ướng gi i choả các bài toán ch ng minh quan h vuông góc. Nhi u h c sinh khi giáo viên trìnhứ ệ ề ọ bày l i gi i thì các em hi u bài nh ng thờ ả ể ư ường có m t th c m c “T i sao côộ ắ ắ ạ (th y) l i nghĩ ra đầ ạ ược hướng làm này?”. Nhi u h c sinh t mình tìm đề ọ ự ượ c
hướng gi i bài toán nh ng theo ki u “mò m m” m t r t nhi u th i gian.ả ư ể ẫ ấ ấ ề ờ Nhi u h c sinh có hề ọ ướng gi i r i nh ng trình bày l i gi i l i không rõ ràng,ả ồ ư ờ ả ạ không lôgic th m chí “dài dòng” ho c “quanh co” không đ t yêu c u. ậ ặ ạ ầ
T th c tr ng trên, h c sinh thừ ự ạ ọ ường có tâm lý “ng i”, “né tránh”, “khôngạ
có h ng thú” v i các bài toán ch ng minh quan h vuông góc trong khôngứ ớ ứ ệ
Trang 6gian. Và do đó giáo viên thường g p r t nhi u khó khăn khi gi ng d y n iặ ấ ề ả ạ ộ dung này
Năm h c 20132014 tôi đã cho 11A4 làm đ ki m tra 45 phút chọ ề ể ương III,
k t quế ả đi m c a l p 11A4 nh sau: ể ủ ớ ư
L pớ Số
HS
Xu t phát t th c tr ng trên, tôi đã m nh d n ti n hành đ i m i phấ ừ ự ạ ạ ạ ế ổ ớ ươ ng pháp v ề “Rèn luy n kĩ năng gi i bài toán ch ng minh quan h vuông góc ệ ả ứ ệ trong không gian cho h c sinh l p 11 nh s đ t duy ng ọ ớ ờ ơ ồ ư ượ cho hai l p c” ớ 11C3 và 11D4, trong đó 11C3 có ch t lấ ượng tương đương 11A4, 11D4 có ch tấ
lượng th p h n, b n thân nh n th y cách làm này có hi u qu rõ r t.ấ ơ ả ậ ấ ệ ả ệ
2.3. Các giải pháp thực hiện
Tôi th c hi n d y chự ệ ạ ương III: Quan h vuông góc trong không gian màệ
d ng toán c b n là ch ng minh quan h vuông góc t i ba l p: L p 11A4 vàạ ơ ả ứ ệ ạ ớ ớ 11C3 là hai l p c b n A có ch t lớ ơ ả ấ ượng tương đương; L p 11D4 có ch tớ ấ
lượng đ u vào th p h n l p 11A4.ầ ấ ơ ớ
Năm h c 2013 – 2014, t i l p 11A4, th c hi n theo phọ ạ ớ ự ệ ương pháp truy nề
th ng: Phân d ng và đ a phố ạ ư ương pháp gi i tả ương ng cho các d ng bài t pứ ạ ậ
ch ng minh quan h vuông góc trong không gian, nh ng trong khi hứ ệ ư ướng d nẫ
gi i các ví d và bài t p, giáo viên ch yêu c u m t vài h c sinh nêu đả ụ ậ ỉ ầ ộ ọ ường l iố
gi i (ho c giáo viên g i ý đả ặ ợ ường l i gi i) r i sau đó trình bày l i gi i.ố ả ồ ờ ả
Năm h c 20142015 t i l p 11C3 và năm h c 20152016 t i l p 11D4 làọ ạ ớ ọ ạ ớ
l p c b n có ch t lớ ơ ả ấ ượng th p h n tôi cũng d y nh ng n i dung này và hấ ơ ạ ữ ộ ệ
th ng bài t p tố ậ ương ng nh ng ứ ư v i m i ví d ho c bài t p ớ ỗ ụ ặ ậ , sau khi hướ ng
d n h c sinh v hình, giáo viên dùng h th ng câu h i và g i ý đ hẫ ọ ẽ ệ ố ỏ ợ ể ướng d nẫ
h c sinh ti n hành gi i quy t bài toán theo hai bọ ế ả ế ước:
Bước 1: L p s đ t duy ng ậ ơ ồ ư ượ c đ ể tìm h ướ ng gi i ả (Ch làm vào b ngỉ ả nháp)
Bước 2: D a vào s đ đó đ ự ơ ồ ể trình bày l i gi i. ờ ả
Khi h ướ ng d n h c sinh tìm h ẫ ọ ướ ng gi i ả cho m i bài toán, có th dùngỗ ể các câu h i nh là: “ Đ ch ng minh…(m nh đ A v quan h vuông gócỏ ư ể ứ ệ ề ề ệ
Đi u c n ch ng minh) ta ph i ch ng minh đi u gì?”, hay “t i sao…(đề ầ ứ ả ứ ề ạ ườ ng
th ng a, mp (P)) vuông góc v i…( đẳ ớ ường th ng b, mp (Q))”. Gi s câu trẳ ả ử ả
l i c a câu h i trên là: “ Đ ch ng minh m nh đ A (là đúng), ta ph i ch ngờ ủ ỏ ể ứ ệ ề ả ứ minh m nh đ B (B là gi thi t ho c k t qu phán đoán mà ta cho là đúng)”,ệ ề ả ế ặ ế ả
c l p đi l p l i các câu h i ki u nh v y cho đ n khi B là gi thi t c a bàiứ ặ ặ ạ ỏ ể ư ậ ế ả ế ủ toán thì hoàn thành vi c tìm hệ ướng gi i. B ng cách v n đáp tr c ti p và ghiả ằ ấ ự ế tóm t t l i quá trình trên thành m t “s đ ” t m g i là “s đ t duy ngắ ạ ộ ơ ồ ạ ọ ơ ồ ư ượ c”
Trang 7ki u nh :ể ư
theo đó, t m nh đ ừ ệ ề A là k t lu n c a bài toán (m nh đ c nế ậ ủ ệ ề ầ
ch ng minh), ta l n tìm ra B, r i t B l i l n tìm ra C, r i D,… và cu i cùngứ ầ ồ ừ ạ ầ ồ ố
đ n ế F, F chính là gi thi t c a bài toán. Và c n l u ý r ng ả ế ủ ầ ư ằ s đ này ch l p ơ ồ ỉ ậ trong b ng nháp ả , không đ a vào l i gi i.ư ờ ả
Khi trình bày l i gi i ờ ả , ta ch vi c trình bày theo chi u ngỉ ệ ề ượ ạ ủ ơ c l i c a s
đ T c là trình bày theo ki u:ồ ứ ể
Trong ph m vi đ tài SKKN này tôi xin đạ ề ược trình bày hai khâu này qua các ví d c th trong t ng d ng toán thụ ụ ể ừ ạ ường g p v ch ng minh quan hặ ề ứ ệ vuông góc trong không gian sau đây:
2.3.1. Trong các bài toán ch ng minh hai đứ ường th ng vuông gócẳ
Các ph ươ ng pháp (PP) th ườ ng dùng:
+ PP1: Ch ng minh hai véc t ch phứ ơ ỉ ương c a a và b là vuông gócủ
+ PP2: : Đây là phương pháp hay dùng
(M t trong hai độ ường th ng vuông góc v i m t ph ng ch a đẳ ớ ặ ẳ ứ ường còn l i)ạ + PP3: S d ng đ nh lí ba đử ụ ị ường vuông góc
+ PP4:
+ PP5: Khi a và b cùng n m trong m t m t ph ng, có th s d ng các phằ ộ ặ ẳ ể ử ụ ươ ng pháp ch ng minh hai đứ ường th ng vuông góc trong hình h c ph ng…ẳ ọ ẳ
Ví d 1ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, . M t m tạ ộ ặ
ph ng qua ẳ A và vuông góc v i ớ SC c t ắ SC, SB, SD theo th t t i ứ ự ạ K, H, E.
Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) b)
Trong ví d 1, m i ý a,b đ u có th h ụ ỗ ề ể ướ ng d n h c sinh gi i theo PP2 ẫ ọ ả
ho c PP3 nêu trên. Sau đây tôi s trình bày cách gi i ví d 1.a theo PP3, ví d ặ ẽ ả ụ ụ 1.b theo PP2.
Bước 1: L p s đ tìm hậ ơ ồ ướng gi iả
*Có th hể ướng d n h c sinh l p s đ tìm hẫ ọ ậ ơ ồ ướng gi i cho ví d 1.a) nh sau:ả ụ ư Giáo viên đ a câu h i g i ýư ỏ ợ H c sinh tr l i (mong mu n)ọ ả ờ ố
?1: Đ ch ng minh ề ứ b ng cách sằ ử
d ng đ nh lí ba đụ ị ường vuông góc
(PP3) ph i ch ng minh đi u gì?ả ứ ề
?2: T i sao có ? ạ
T giác ứ ABCD là hình vuông.
V n đáp tr c ti p và ghi l i quá trình đó thành “s đ ” t m g i là s đ tấ ự ế ạ ơ ồ ạ ọ ơ ồ ư duy ngược (th c hi n trong b ng nháp) nh sau: ự ệ ả ư
* Có th hể ướng d n h c sinh l p s đ tìm hẫ ọ ậ ơ ồ ướng gi i cho ví d 1.b) ả ụ ch ngứ minh nh sau:ư
Trang 8Giáo viên đ a câu h i g i ýư ỏ ợ H c sinh tr l i (mong mu n)ọ ả ờ ố
?1: S d ng PP2, đ ch ng minh taử ụ ể ứ
ph i ch ng minh đi u gì? ả ứ ề
?2: T i sao ? ạ
?3: T i sao ạ
?4: T i sao ?ạ
?5: T i sao ?ạ
?6: T i sao ?ạ
vì
H c sinh s có đọ ẽ ượ ơ ồc s đ tìm hướng gi i câu b)ả ch ng minh ứ nh sau:ư
* Ch ng minh cho h c sinh làm hoàn toàn tứ ọ ương t ta đự ượ ơ ồc s đ :
Bước 2: Trình bày l i gi i:ờ ả
Ví d 1.a)ụ T giácứ là hình vuông nên
ta có
M t khác:ặ
nên AC
là hình chi u c a ế ủ SC lên (ABCD) (2)
T (1) và (2) suy ra ừ
Ví d 1.b)ụ
Ch ng minhứ
C D
S
E
H K
+ Ta có mà ,
l i có nên (1)ạ
M t khác (2)ặ
T (1) và (2) suy ra mà nênừ
+ Ta có , mà nên ,
l i có suy ra (1).ạ
M t khác (2)ặ
T (1) và (2) suy ra mà nên .ừ
Ví d 2. ụ (Bài t p 6 SGK hình h c 11, trang 98 ậ ọ ) Trong không gian cho hai hình vuông là có chung c nh ạ AB và n m trong hai m t ph ng khác nhau, l nằ ặ ẳ ầ
lượt có tâm Ch ng minh r ng:ứ ằ
Trang 9b) T giác là hình ch nh t.ứ ữ ậ
Trong ví d 2, tôi s trình bày cách gi i câu a) theo PP1 và câu b) ụ ẽ ả theoPP4
(có th h ể ướ ng d n h c sinh ch n PP khác trong các PP đã nêu) ẫ ọ ọ
Khi s d ng PP1 ử ụ , m t kĩ thu t hay dùng đ ch ng minh các đ ng th c ộ ậ ể ứ ẳ ứ liên quan đ n véc t là phân tích các véc t liên quan theo các véc t chung ế ơ ơ ơ
g c ố
Bước 1: L p s đ tìm hậ ơ ồ ướng gi iả
B ng cách đ a ra h thông câu h i v n đáp tằ ư ệ ỏ ấ ương t nh ví d 1, taự ư ở ụ
hướng d n h c sinh l p đẫ ọ ậ ượ ơ ồc s đ tìm hướng gi i nh sau:ả ư
Ví d 2.a)ụ
Ví d 2.b)ụ
T giác là hình ch nh t.ứ ữ ậ
Bước 2: Trình bày l i gi i:ờ ả
O'
O
C' D'
M t khác ặ nên t giác ứ là hình bình hành (2)
T (1) và (2) suy ra t giác là hình ch nh t.ừ ứ ữ ậ
Ví d 3ụ : Cho lăng tr tam giác đ u có t t c các c nh b ng a.ụ ề ấ ả ạ ằ
M là trung đi m c nh ể ạ BC.
a) Ch ng minh .ứ
b) N là trung đi m c a c nh . Ch ng minh ;ể ủ ạ ứ
c) P là đi m trên c nh sao cho và ể ạ Q là trung đi m c nh. Ch ng minh:ể ạ ứ
Bước 1: L p s đ tìm hậ ơ ồ ướng gi iả
B ng cách đ a ra h thông câu h i v n đáp tằ ư ệ ỏ ấ ương t nh ví d 1, taự ư ở ụ
hướng d n h c sinh l p đẫ ọ ậ ượ ơ ồc s đ tìm hướng gi i nh sau:ả ư
Ví d 3.a)ụ (Theo PP2)
Ví d 3.b)ụ (Theo PP2)
Ví d 3.c)ụ (Theo PP5)
Trang 10Khi tính đ ượ c đ dài các c nh c a tam giác thì th ộ ạ ủ ườ ng dùng đ nh lí ị Pitago đ o đ ch ng minh tam giác vuông ả ể ứ
Bước 2: Trình bày l i gi i:ờ ả
3.a) Ta có:
suy ra
3.b) Ta có:
(1)
L i có: (Câu 3.a) (2).ạ
B
B'
M
N
Q P
T (1) và (2) suy ra m t khácnênừ ặ
3.c)Ta có:
Nên (1).
Tương t : (2).ự
T (1) và (2) suy ra ừ
Ví d 4ụ :Trong m t ph ng ặ ẳ (P) cho tam giác nh n ọ ABC. Trên đường th ng dẳ vuông góc v i ớ (P) t i ạ A ta l y m t đi m ấ ộ ể M khác A. G i ọ BH, BK theo th t làứ ự các đường cao k t đ nh ẻ ừ ỉ B c a ủ ABC, MBC; HK c t ắ AM t i ạ N.
Ch ng minh r ng: a. ; b. ; ứ ằ c.
ví d 4, t t c các ý đ u có th gi i theo PP2 ho c PP3. V i h c sinh Ở ụ ấ ả ề ể ả ặ ớ ọ
y u th ế ườ ng các em hay s d ng PP2, nên trong ví d này tôi s gi i theo PP2 ử ụ ụ ẽ ả
Bước 1: L p s đ tìm hậ ơ ồ ướng gi i.ả
4.a)
4.b)
4.c)
Bước 2: Trình bày l i gi i:ờ ả
4.a) Ta có
mà nên
(1).
M t khác (2)ặ
T (1) và (2) suy ra ừ
4.b) Theo câu 3.a) ta có
mà
nên
4.c) Ta có: (3)
H S
N
C
B A
K