Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian toán 11 ctst

Tài liệu gồm 140 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình SGK Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (viết tắt: Toán 11 CTST), có đáp án và lời giải chi tiết. BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng 1. Xác định góc giữa hai đường thẳng. + Dạng 2. Hai đường thẳng vuông góc. BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. + Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. + Dạng 3. Thiết diện. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết. + Dạng 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. + Dạng 3. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng. + Dạng 4. Xác định thiết diện. BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định nghĩa. + Dạng 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng dựa trên giao tuyến. + Dạng 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định lý hình chiếu. + Dạng 4. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. + Dạng 5. Dùng mối quan hệ vuông góc giải bài toán thiết diện. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết. + Dạng 2. Xác định quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng, mặt phẳng và đường thẳng. + Dạng 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng. + Dạng 4. Dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước. Thiết diện, diện tích thiết diện. BÀI 4. KHOẢNG CÁCH. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. + Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. + Dạng 3. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. + Dạng 4. Thể tích khối chóp có hình chiếu của đỉnh là các điểm đặc biệt trên mặt đáy (không trùng với các đỉnh của đa giác đáy). + Dạng 5. Thể tích khối chóp đều. + Dạng 6. Thể tích khối lăng trụ đứng – đều. + Dạng 7. Thể tích khối lăng trụ xiên. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN. I. LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. + Dạng. Góc của đường thẳng với mặt phẳng.

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1 GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a b trong không gian, kí hiệu , ( )a b , là góc giữa hai đường thẳng a′ ,

và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường

thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại

b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: 0° ≤( )a b, ≤ °90

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN:

Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a b⊥ , nếu góc giữa chúng bằng 90°

TRONG KHÔNG GIAN

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng ( )d và 1 ( )d ta có thể thực hiện tính thông qua góc 2giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Bước 2 Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân,

, 120

AB AC a BAC= = = ° và cạnh bên AA a′ = 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và B C.

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Tính góc giữa 2 đường thẳng

a) AB và B C′ ′

b) AC và B C′ ′

c) A C ′ ′ và B C′

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng

a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo của góc (MN SC bằng: , )

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy

và SA a= 3 Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh B C Gọi α là góc giữa hai

đường thẳng AB và DM, khi đó cosα bằng

Câu 6: Cho hình hộp thoi ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng a và    60 ABC B BA B BC= ′ = ′ = °

Chứng minh tứ giác A B CD′ ′ là hình vuông

Câu 7: Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA A AB, ′ ′,

đều bằng 60° Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA CD′, Gọi α là góc tạo bởi hai đường

thẳng MN và B C′ , tính giá trị của cosα

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC Tính góc giữa hai đường thẳng

Câu 11: Cho hình chóp S ABC có BC =a 2, các cạnh còn lại đều bằng a Góc giữa hai đường thẳng

SB và AC bằng:

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên cũng

bằng a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC Góc giữa MN và SC bằng

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′, gọi Ilà trung điểm của cạnh AB Tính côsin của góc

giữa hai đường thẳng A D′ và B I′được kết quả là

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB CD a= = Gọi M , N lần lượt là trung điểm ADvà BC Xác định độ

dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng ABvà MN bằng 30°

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB AD a= = và  BAC BAD= = °60 ,CAD= °90 Gọi M là trung điểm của

cạnh CD Tính độ dài cạnh AC để côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 1

3

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1 GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a b trong không gian, kí hiệu , ( )a b , là góc giữa hai đường thẳng a′ ,

và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường

thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại

b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: 0° ≤( )a b, ≤ °90

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN:

Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a b⊥ , nếu góc giữa chúng bằng 90°

TRONG KHÔNG GIAN

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng ( )d và 1 ( )d ta có thể thực hiện tính thông qua góc 2giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Bước 2 Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân,

, 120

AB AC a BAC= = = ° và cạnh bên AA a′ = 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và B C.

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng

a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo của góc (MN SC bằng: , )

Lời giải

Ta có: MN SA/ / ⇒(MN SC, ) (= SA SC, )

Ta lại có: AC a= 2 Xét ∆SAC, nhận thấy: AC2 =SA2+SC2

Theo định lí Pitago đảo, ∆SAC vuông tại S Suy ra: ∠ASC=900 hay

(MN SC, ) (= SA SC, )=900

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy

và SA a= 3 Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng

Lời giải

Gọi I là trung điểm của SD

cos

4

a OH HOI

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh B C Gọi α là góc giữa hai

đường thẳng AB và DM, khi đó cosα bằng

Lời giải :

Gọi N là trung điểm của AC

MN

⇒ là đường trung bình của ∆ABC

/ /12

Câu 6: Cho hình hộp thoi ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng a và    60 ABC B BA B BC= ′ = ′ = °

Chứng minh tứ giác A B CD′ ′ là hình vuông

Lời giải

Câu 7: Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA A AB, ′ ′,

đều bằng 60° Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA CD′, Gọi α là góc tạo bởi hai đường

thẳng MN và B C′ , tính giá trị của cosα

Gọi N là trung điểm AC thì MN AB / /

Suy ra (AB DM, )=(MN DM, )

Ta có cos 2 2 2

2

MN DM DN DMN

EF = AB Tính góc giữa CD và AB

Lời giải

Gọi G là trung điểm của B C.

4

a OH HOI

Tập có AB2 +AC2 =a2 +a2 = 2a2 =BC2 Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Gọi H M N, , lần lượt là trung điểm của BC AB SA, ,

Lại có Hlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA SB SC a= = = nên SH⊥(ABC) Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên cũng

bằng a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC Góc giữa MN và SC bằng

C B

S

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′, gọi Ilà trung điểm của cạnh AB Tính côsin của góc

giữa hai đường thẳng A D′ và B I′được kết quả là

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB CD a= = Gọi M , N lần lượt là trung điểm ADvà BC Xác định độ

dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng ABvà MN bằng 30°

a

= ° ⇒ = − (loại)

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB AD a= = và  BAC BAD= = °60 ,CAD= °90 Gọi M là trung điểm của

cạnh CD Tính độ dài cạnh AC để côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 1

P

Gọi N là trung điểm của AD. Ta có (BM AC, )=(BM MN, )=α

Xét tam giác ABC ta có BC2 =a2 + 4x2 − 2ax

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau Gọi I và J lần lượt là trung điểm

của SC và BC Số đo của góc (IJ CD bằng: , )

TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

III

Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có ’ ’ ’ AB a AA a= ; ’= 3 Góc giữa hai đường thẳng

Câu 11: Cho lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng nhau

Góc giữa hai đường thẳng AB và C A′ ′ bằng

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác vuông cân

tại S Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A 60° B 90° C 30° D 45°

Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC Tính số đo góc

giữa hai đường thẳng MN và CD

A 30° B 60° C 45° D 90°

Câu 16: Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C Các điểm M N P Q, , , lần lượt

là trung điểm của AB AC, ,BC CD, Góc giữa MN và PQ bằng

A 450 B 600 C 300 D 00

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a= = = = = và BC a= 2 Góc

giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A

C A'

C'

B' B

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAD đều Góc giữa

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA=2a và vuông góc

với mặt phẳng đáy Gọi F là trung điểm cạnh AB và G là trung điểm của SF Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng CG và BD Tính cosα?

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và SBA  300 Mặt

phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của AB Tính cosin góc tạo

bởi hai đường thẳng SM BD, 

Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông tại A, BA=2AC=2a, cạnh bên

Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C Tam giác SABvuông cân tại

S và  60BSC = ° Gọi M là trung điểm cạnh SB,ϕ là góc giữa đường thẳng ABvà CM Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 27: Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA′, , A AB′

đều bằng 60° Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA CD′, Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C′ , giá trị của cosα bằng:

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD), SA a= và M

là trung điểm cạnh SD Cô-sin góc giữa đường thẳng AC và đường thẳng BM bằng

Câu 29: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng

đáy, Gọi là trung điểm của Góc giữa và bằng

DẠNG 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Câu 31: Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc

với đường thẳng d?

A 3 B vô số C 1 D 2

Câu 32: Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại

B Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

C Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại

D Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau

Câu 33: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

B Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

C Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

D Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau

Câu 34: Trong hình hộp ABCD A B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau Trong các mệnh đề sau, mệnh ′ ′ ′ ′

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA SC= , SB SD= Trong các mệnh đề

sau mệnh đề nào sai?

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng

A 60 B 90 C 45 D 30

Lời giải

Ta có AB CD nên BA CD, BA AB, 

Vì ABB A  là hình vuông nên BA AB, ABA45

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Góc giữa hai đường thẳng AB và A C′ ′ bằng

TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

III

A 60° B 45° C 90° D 30°

Lời giải

Vì AB A B// ′ ′ nên (AB A C, ′ ′)=(A B A C′ ′ ′ ′, )=B A C′ ′ ′

Tam giác A B C ′ ′ ′ vuông cân tại B′ nên  45 B A C′ ′ ′ = °

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAD đều Góc giữa BCvà

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau Gọi I và J lần lượt là trung điểm

của SC và BC Số đo của góc (IJ CD bằng: , )

A 90° B 45° C 60° D 30°

D'

C' B'

C

A'

D

B A

D B′

D′

A′

C′

Ta có A B D C/ / / / , nên góc giữa hai đường thẳng A B và / AD bằng góc giữa hai đường thẳng / /

D C và AD và là góc / AD C/ ⇒AD C/ =60o;

Mà tam giác ACD/ là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng A B và / AD bằng / 60 o

Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có ’ ’ ’ AB a AA a= ; ’= 3 Góc giữa hai đường thẳng

A'

Tam giác SAB đều cạnh a⇒SAB 60= ° Vậy (SA CD = °, ) 60

Câu 11: Cho lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng nhau

Góc giữa hai đường thẳng AB và C A′ ′ bằng

Lời giải Chọn B

Ta có tam giác ABC là tam giác đều suy ra  BAC = ° 60

Lại có CA C A// ′ ′⇒(AB C A, ′ ′)=( AB CA, )=BAC= °60

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và C A′ ′ bằng 60°

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều Góc giữa AB và CD là?

A 120° B 60° C 90° D 30°

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB

Vì ABC và ABD là các tam giác đều

C'

B' B

C

I A

B

D

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a 3 và cạnh bên bằng

Vậy góc giữa đường thẳng BB và ' AC' bằng 60°

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác vuông cân

tại S Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A 60° B 90° C 30° D 45°

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: CD AB // ⇒(SA CD; )=( SA AB; )=SAB= °45

Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC Tính số đo góc

giữa hai đường thẳng MN và CD

A 30° B 60° C 45° D 90°

Lời giải

Gọi P là trung điểm của BD

Ta có MN NP MP, , lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC BCD ABD, ,

2

NP= CD //

Câu 16: Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C Các điểm M N P Q, , , lần lượt

là trung điểm của AB AC, ,BC CD, Góc giữa MN và PQ bằng

A 450 B 600 C 300 D 00

Lời giải

Do MNsong song BCvà PQ song song BD nên góc giữa MN và PQ bằng góc giữa BCvà

BD và bằng góc  CBD =450

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a= = = = = và BC a= 2 Góc

giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

D S

Góc giữa hai đường thẳng B C′ ′ và AM bằng

MI MJ

Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB CD, bằng 600

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA=2a và vuông góc

với mặt phẳng đáy Gọi F là trung điểm cạnh AB và G là trung điểm của SF Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng CG và BD Tính cosα?

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và SBA  300 Mặt

phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của AB Tính cosin góc tạo

I

H G

F

D

C B

A S

bởi hai đường thẳng SM BD, 

SH  ABCD hay H là trung điểm của AM

Gọi K là trung điểm của AD , khi đó SM BD, SM MK,  và 1 2

Gọi E là trung điểm cạnh A C. Khi đó ta có EM  AB Suy ra cos(AB DM, )=cos(EM DM, )

Tứ diện ABCD đều, cạnh a E, M lần lượt là trung điểm của AC, B C. Suy ra 3

2

a

32

Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C Tam giác SABvuông cân tại

S và  60BSC = ° Gọi M là trung điểm cạnh SB,ϕ là góc giữa đường thẳng ABvà CM Khẳng định nào sau đây đúng?

Hay MNsong song với AB

Khi đó (AB CM, )=(MN CM, ) Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMNta có:

Câu 27: Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA′, , A AB′

đều bằng 60° Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA CD′, Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C′ , giá trị của cosα bằng:

Gọi P là trung điểm của DC′

ADA′

∆ có AD AA′= và ' 60DAA = ° nên ∆ADA′ là tam giác đều Suy ra A D a′ =

A AB′

∆ có AB AA′= và A AB′ = ° nên 60 ∆A AB′ là tam giác đều

Do đó ∆D DC′ cũng là tam giác đều Vậy 2 2 3 3

2

a

BAD

∆ có AD AB= và BAD = ° nên 60 ∆BAD là tam giác đều

Vì ∆BADlà tam giác đều nên ∆B A D′ ′ ′cũng là tam giác đều

Gọi A I′ là đường cao của∆B A D′ ′ ′ Khi đó 2 2 3 3

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD), SA a= và M

là trung điểm cạnh SD Cô-sin góc giữa đường thẳng AC và đường thẳng BM bằng

Câu 29: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng

đáy, Gọi là trung điểm của Góc giữa và bằng

Xét tam giác SABvuông tại A có: SB= SA AB2+ 2 =a 2

Gọi E là trung điểm của MC, ta có: OE AM ⇒(AM BD, )=(OE BD, ) và

Ta có BC2 =AB2+AC2⇒ ∆ABC vuông tại A ⇒ trung điểm M của cạnh huyền BC là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vì SA SB SC= = nên SM là đường cao của hình chóp S ABC

Gọi N , I lần lượt là trung điểm của AC , SB

DẠNG 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Câu 31: Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc

với đường thẳng d?

A 3 B vô số C 1 D 2

Lời giải