Các dạng bài tập vận dụng cao lôgarit

Lôgarit của một lũy thừa Bài tập:... Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện.. Hướng dẫn giải Chọn C... Tính giá trị của biểu thức log log log A.. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 1

BÀI 3 LÔGARIT

A KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Khái niệm lôgarit

Cho hai số dương ,a b với a Số 1  thỏa mãn

đẳng thức a b được gọi là lôgarit cơ số a của

b, và ký hiệu là loga b

2 Tính chất

Cho ,a b0,a Ta có: 1

 

log

a

b

a

Nhận xét: loga b  a b a b , 0,a1

2

log 8 3 2  8

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0

3 Quy tắc tính lôgarit

a Lôgarit của một tích

Cho a b b, ,1 2 với 0 a , ta có: 1

log (a b b )log b log b a  a

Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n

số dương:

loga b b n loga b   loga n b

trong đó a b b, , , ,1 2 b n 0,a1

Bài tập:

log 1 log 2 log 1.2 log 1 0;

        

 log31 log32 log33 log37 log38

3

1 2 3 7 8 log

2 3 4 8 9

3

1

9

b Lôgarit của một thương

Cho a b b  với , ,1 2 0 a  ta có: 1,

1

2

loga b loga b loga b

b

Đặc biệt: log 1 log

b  a0,b0 

Bài tập:

• log5125 log 125 log 25 3 2 1;5 5

• log7 1 log 497 2.

49   

c Lôgarit của một lũy thừa Bài tập:

Trang 2

Cho hai số dươnga b, ,a  Với mọi 1 , ta có:

loga b loga b

Đặc biệt:

1 log n log

n



• log 82 3 3log 8 3.3 9;2  

• log 82 4 1log 82 1.3 3.

4 Đổi cơ số

Cho a b c, , 0;a1;c ta có: 1,

log log

logc

a

c

b b

a



Đặc biệt: log 1 1 ; 

log

a

b

a

1 loga b loga b 0 



Bài tập:

8

2

log 16 4

log 8 3

• 3

27

1

log 3

log 2 log 2 log 2

5 Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên

a Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 Với

10

0, log

b b thường được viết là log b hoặc

lg b

b Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Với

0, loge

b b được viết là ln b

Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP

Dạng 1 Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện Rút gọn biểu thức

1 Phương pháp giải

Để tính loga b ta có thể biến đổi theo một trong các cách

sau:

• b a , từ đó suy ra loga bloga a ;

• a b , từ đó suy ra log b log 1;



• a c , b c , từ đó ta suy ra

loga b logc c 



 Để tính bloga c, ta biến đổi b a , từ đó suy ra

loga c loga c

b a c

Bài tập:

7

7 log 128 log 2 ;

5

• 32log 9 2 25log 9 2 9 5

Trang 4

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho a,b,c,d 0 Rút gọn biểu thức S lna lnb lnc lnd

C S ln a b c d

b c d a

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: S lna lnb lnc lnd ln a b c d ln1 0

Bài tập 2: Cho a b  và ,, 0 a b  , biểu thức 1 Plog a b3.logb a4 bằng

2

a

b

Bài tập 3: Cho a b là các số thực dương thỏa mãn , a  a1,  b và loga b  3 Biến đổi biểu

thức P log b

a

b a

A. P   5 3 3 B. P   1 3

C. P   1 3 D. P   5 3 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

1

a

a a

b

b a

P

a

Trang 5

Bài tập 4 : Biến đổi biểu thức 2  3

loga log a a log b

b



  (với 0 a 1, 0  ) b 1

ta được

A. P 2 B.P 1 C.P  3 D.P  2

Hướng dẫn giải Chọn B.

Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:

loga log a a log b

b



 

1 10 2log 2 1 1log 6 1.

2 a b  2 a b

Bài tập 5 Rút gọn biểu thức Plog3b a2 logb2alogb a loga blogab blogb a với

0a b,  1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: Plog3b a2 log2b alogb a loga blogab blogb a

log

b

ab

log 1

b

a



 2 log log 1 1

log 1

b

a

 



logb a logb a 1 loga blogb a loga b 1 logb a

logb a logb a 1 loga b logb a

logb a 1 logb a 1

Bài tập 6 Cho a , 00 b thỏa mãn  2 2   

log a b 4a b  1 log ab 2a2b  Giá trị của 1 2 2

a b bằng:

Trang 6

A. 15

3

2

Ta có 4a2b2 4ab, với mọi ,a b Dấu ‘0 ’ xảy ra khi b2a  1

Khi đó

2 log a b 4a b  1 log ab 2a2b1

log a b 4ab 1 log ab 2a 2b 1

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có log2a 2b 14ab 1 log4ab12a2b  1 2 Dấu ‘’ xảy ra khi log2a 2b 14ab 1 14ab 1 2a2b 1  2

Từ  1 và  2 ta có 8a26a0 3

4

a

  Suy ra 3

2

b Vậy 2 15

4

a b

Bài tập 7 Cho alog 7 3 27, blog 11 7 49, clog 25 11  11 Tính

log 7 log 11 log 25

A. 33S  B. 469S  C. 489S  D. 3141S 

Ta có:

3

log 7 27

a  log 7 log 273  a log 7.log 7 log 27.log 73 3  a 3

 2

log 7 3log 3.log 7a

3

log 7 log 7a

3

7

11

log 7 log 11 log 25

S a b c 731125469

Bài tập 8 Đặt log 2 a7  , log 3 b7  , log71 log72 log72014 log72015

theo a , b

A.5a2b1 B. 5a2b1 C. 5a2b1 D.  5a 2b1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có log7 1 log7 2 log7 2014 log72015

log 1 log 27 7  log 2 log 37 7  log 2014 log 20157 7  log 2015 log 20167 7 

log 1 log 2016 log 2016

     log 32.9.77   log 32 log 9 log 77  7  7 

log 2 log 3 1

     5log 2 2 log 3 17  7    5a 2b 1

Bài tập 9 Cho hai số thực dương ,a b (a ) thỏa mãn các điều kiện log1

4

a

b

b và log2a 16

b



Tính tổng S a b 

Trang 7

A. S12 B. S10 C. S16 D. S18.

Ta có

2

log

4 16 log

a

b b

a b







4 16

2

b

b a a







 

 



16 4

16

2

b b

b

b a



 

  





 



16. 4 16

2 2

b b b

b a







 

 



16 2

b a





  

Vậy ta có S16 2 18 

Bài tập 10 Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 x220x 2 0 Tính giá trị của biểu thức

log( ) log log

A. 1

Ta có Plog(x1x2) log x1logx2logx1x2logx x1 2  1 2

1 2

log

x x



Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x220x  nên ta có 2 0 x1x220;

1 2 2

x x 

Vậy ta có log20 1

2

Bài tập 11 Cho = + + +

M

loga

M

loga

M

loga

M

3 loga

M

x

Ta có

loga log log

M

    logx alogx a2  logx a16

logx a logx a logx a

    logx a2 logx a  16 logx a

1 2 16 log x a

log



loga x

Bài tập12 Với x y z, , là các số nguyên dương thỏa mãn xlog15122ylog15123zlog15127 1 Tính giá trị của biểu thức Q  x y 3z

Trang 8

Ta có

x y z  log15122xlog15123ylog15127z log15121512

log 2 3 7x y z log 1512

  2 3 7x y z 15122 3 7x y z 2 3 73 3

3 3 1

x y z







 

 



Vậy Q  3 3 1.3 9

Bài tập 13 Giá trị biểu thức

log 2017! log 2017! log 2017!

P    log2017!2 log 2017!3 log  2017!2017

2017!

log 2.3 2017

Bài tập 14 Giả sử 0 ; cos 3

   Giá trị của biểu thức log sin x  log cos x  log tanx là

A. 3

10

3

Ta có sin2x 1 cos2x 1 9 1

10 10

  

Khi đó log sinxlog cosxlog tanxlog sin cos tan x x xlog sin2x log 1 1

10 

Bài tập 15 Cho log 12 x7  , log 24 y12  và log 16854 axy 1

bxy cx





 , trong đó a b c, , là các số nguyên Tính giá trị biểu thức 2S a  b3 c

54

7

log 24.7 log 168

log 54

7

log 24 1 log 54



7

log 12 log 24 1 log 54





log 12 log 24 1

log 12 log 54





12

1 log 54

xy x





Tính log 54 log12  1227.23log 3 log 212  12 3log123.2.12.24 log1224

Trang 9

  3 3 2 log 24  12   log 24 112   8 5log 2412  8 5y

Do đó:

54

1 log 168

8 5

xy







1

xy

xy x





Vậy

1 5 8

a b c





  



 



Bài tập 16 Với a b, thỏa mãn để hàm số   2 1

1

x khi x

f x

ax b khi x

 có đạo hàm tại x0 1 Khi đó giá trị biểu thức S log 32 a2b bằng?

Hàm số f x  có đạo hàm tại x0 1 suy ra:

+ Hàm số liên tục tại x0 1:        

+ Tồn tại giới hạn    

1

1 lim

1

x





2

1

2 lim

1

x





  

 

 

a

Từ  1 và  2 suy ra 2

1

a b





  

log 3 2 log 4 2

Dạng 2 Đẳng thức chứa logarit

1 Phương pháp

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho x y , 0 vàx24y212 xy Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A log2x2ylog2xlog2y 1

B log2 2 log2 log 2

4

Trang 10

C 2   2 2 

1

2

D 4 log2x2ylog2xlog 2y

Vớix y , 0, ta có: 2 2  2

x  y  xy x y  xy

 2

log x 2y log 16xy

2 log x 2y 4 log x log y

log2 2  2 1 log2 log2 .

2

Bài tập 2: Cho x y, là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x29y2 6xy Tính

12

1 log log

2 log ( 3 )

M



4

2

3

M 

Ta có x29y26xy  2

    x 3y Vậy ta có

12

1 log log

M





12

1 log 3 log

2 log 6

y



log 12 log 3 log log

2 log 6 log

y





log 36 2 log 1

log 36 2 log

y y



Bài tập 3: Cho biểu thức log 3 2

5

3 a log log 25a

B  a với a là số dương, khác 1 Khẳng định nào

sau đây là đúng?

A. B2a5 B loga24B1 C B a 4 D. B3

Ta có

3

5

3 a log log 25a

5

2 log log 5a

   a 4 log log 55a a

4

a

  Vậy 4B a 

Trang 11

Bài tập 4: Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Trong các

khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A logb c alogc b a2 logb c a.logc b a

B logb c alogb c a2 logb c a.logb c a

C logb c alogc b alogb c a.logc b a

D logb c alogb c a4 logb c a.logb c a

Ta có: c2a2b2 c2 b2a2c b   c b a2logac b   c b 2

loga b c loga c b 2

loga b c loga c b

logb c a logc b a 2 logb c a.logc b a

Bài tập 5: Cho log 5 a27  , log 7 b8  , log 3 c2  Khẳng định nào sau đây đúng?

A log 3512 3 2

2

b ac c





log 35

2

b ac c







C log 3512 3 2

3

b ac c





log 35

1

b ac c







Ta có : log275 a log 53 3 ; log 7a 8  b log 72 3 ; log 3b 2 c



2

12

log 7 3

log 5 log 5 log 7 log 3 log 35

log 12 log 3 log 4 1 2 log 2



3

1 2

b

c c c

Bài tập 6: Cho 1  4

4

1 log y x log 1

y

   , với y0,y x Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A 3x4y B. x3y C 3

4

y  x

Ta có

4

1 log y x log 1

y

    log4y x log4y1log4y 1 log4y x 

log y log 4 y x

4

Bài tập 7: Số thực dương a b, thỏa mãn log4alog12blog (16 a b ) Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. 2;1

3

a

b

  B. a b 0;23 C. a 9;12

Trang 12

Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sử log4alog12blog (16 a b ) t Khi đó, ta có: a4 ;t b12 ;t a b 16t Từ đây,

ta có phương trình: 4 12 16 1 3 1

t t  t     

   

     *

Vế trái của phương trình  * nghịch biến nên  * có 1 nghiệm duy nhất là t1 Suy ra 4; 12

a b suy ra 1 0;2

a b

  .

Bài tập8: Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức

log alog alog alog log loga a a

Ta có

log alog alog alog log loga a a

log a log 2.log a log 2.log a log log 5.log loga a a

log 1 log 2 log 2a log log 5.loga a

log 1 log 2 log 2 log 5.loga a 0

2

log 0

1 log 2 log 2 log 5.log 0

a





3

1

1 log 2 log 2 log

log 5

a a







 



3 5 3

1 log 2 log 2 log 5

1 5

a a











 



Bài tập 9: Chon là một số nguyên dương, tìm n sao cho

3

log 2019 2 loga  a2019 3 log a2019  n logn a2019 1008 2017 log 2019 a

Đặt

3

log 2019 2 loga  a2019 3 log a2019  n logn a2019 1008 2017 log 2019 a

 

Ta có n2logn a 2019n3log 2019a

2

n n

Hay từ   ta có

Trang 13

  2

1 log 2019 1008 2017 log 2019

n n



1 2 1008 2017

n n

 2

2 1 2016 20172 2

n n

2017

n n





   

n  ) 

Bài tập 10: Cho  2 2

log x y  1 log xy, với xy Chọn khẳng định đúng trong các khẳng 0 định sau?

log x y  1 log xy  2 2

log x y log 2xy

    x2y22xy x y 2 0

x y

 

Dạng 3 Biểu thị biểu thức theo một biểu thức đã cho và từ đó tìm GTLN, GTNN

1 Phương pháp giải

2 Bài tập

Bài tập 1 Cho hai số thực x, y thỏa mãn logx2y22x4y Tính 1 P x

y

 khi biểu thức

S x y đạt giá trị lớn nhất

5

4

44

P

Ta có logx2y22x4y12x y x2y21   2 2

S x y      2 2    2 2

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi





   



13 5 4 5

x y

 



 

  



Vậy ta có P x

y



13 13 5

5



Bài tập 2. Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

 

 

b a

b

a

b

A Pmin 19 B Pmin13 C Pmin 14 D Pmin15

Trang 14

Với điều kiện đề bài, ta có

 

2

2 2

2

log 3log   2log  3log   4 log   3log  

b b

2

4 1 log  3log  

 

a b

b

Đặt loga 0

b

t b (vì a b 1), ta có  2 3 2 3  

t

2

f t t Khảo sát hàm số, ta có min 1 15

2

  

 

 



Bài tập 3. Xét các số thực dương x,y thỏa mãn log3 1 3 2 4

2

xy

nhất P của Pmin   x y

A. min 9 11 19

9

min

9 11 19 9

C. min 18 11 29

9

min

2 11 3 3

3

1

2



log 1 xy log x 2y 3 xy 1 x 2y 1

log 3 1 xy 3 1 xy log x 2y x 2y

Xét f t log3t t , t0

ln 3

t

Suy ra : f3 1 xy  f x 2y 3 3xy x 2y 3 2

1 3

y x

y



 



y

3 2

1 3

y



   



Trang 15

 2

1 11

3

y P

y

  







Lập bảng biến thiên ta có min 2 11 3

3

Bài tập 4. Cho các số thực a b c  , ,    thỏa mãn điều kiện 1;2 3 3 3

log alog blog c 1

3 log a log b log c

P a b  c a  b  c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của

a b c  bằng

1

3 3

3.2 C.4 D.6

3 log log

f x x  x x c với x    1;2

2

3log 3

ln 2 ln2

x

3

ln 2 ln 2 ln 2

6log 3 log



   1 1,67 0

f x  f  

Như vậy hàm số f x  đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1;2 vì f 1 0;f 2  và có đồ0 thị lõm trên 1;2 Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f x  cho nên  1

Trang 16

3 3 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1,c và các hoán vị 2

Bài tập 5 Trong tất cả các cặp  x y thỏa mãn ; logx y2 2 24x 4y 4 1.

     Với giá trị nào của m

thì tồn tại duy nhất cặp  x y sao cho ; x2y22x2y  2 m 0?

10 2 và  2

10 2

C. 10 2 và 10 2 D. 10 2

Điều kiện: 4x4y  4 0

Ta có logx y2 2 24x 4y 4 1

  2 2  

1

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ)  C có tâm 1 I1 2;2 bán kính R 1 2

x y  x y   m x  y m

Với m  thì 0 x 1;y (không thỏa mãn 1   2 2

x  y  )

Với m  thì 0  * là đường tròn  C có tâm 2 I 2 1;1 bán kính R2  m

Để tồn tại duy nhất cặp  x y thì ;  C và 1  C tiếp xúc với nhau 2

Trường hợp 1:  C và 1  C tiếp xúc ngoài.2

Trang 17

Khi đó:  2

Trường hợp 2:  C nằm trong 1  C và hai đường tròn tiếp xúc trong 2

m   thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 6 Xét các số thực a, b thỏa mãn a b  Giá trị nhỏ nhất 1 P của biểu thức min

 

loga 3logb

b

a

b

 

  bằng

A P min 19 B P min 13 C P min 14 D P min 15.

Ta có:

2

log

b

a

a b

b

 

   

2

a

a b



Đặt loga b t 0  t 1  Khi đó

1

t t

 với 0  t 1

Trang 18

Ta có  

 3 2  

3 1

t t

 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có P min 15

Bài tập 7 Cho hai số thực x, y thỏa mãn:

x y  và logx y2 2x x4 23x4y23y22

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y 

Khi đó biểu thức T2M m  có giá trị gần nhất số nào sau đây?1

Ta có logx y2 2x x4 23x4y23y2 2 logx y2 2x2y2 4x32

 2 2    2 22  2 2

Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:

3

  





 những điểm thuộc miền trong hình tròn  C1

có tâm I 2;0 , bán kính R  và nằm ngoài hình tròn 1 1  C có tâm 2 O 0;0 và bán kính

R 

Trang 19

Biểu thức: P x y     x y P 0 là họ đường thẳng  song song với đường y x

Các giao điểm của hai hình tròn là 3 3; , 3; 3

A    B  

P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A

Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có: 3 3 min 0 min 3 3.



P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C ta có: 1

2

1 1

P

d I  R      P P  

2

T M m       

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	535,63 KB