3/Tính diện tích hình bình hành ABCD... Hai điểm bất kỳ trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu tím hoặc màu vàng.. CMR tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 26/11/2010 Thời gian làm bài 150 phút
HƯỚNG DẪN GIẢI
CâuI: (5.0 Đ)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x 2 + 6x - 7 ; 50x 2 - 10x - 98y 2 - 14y
HD
a) x 2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1)
b) 50x 2 - 10x - 98y 2 - 14y = 2(5x + 7y)(5x - 7y - 1)
2) Giải và biện luận BPT: m 2 x - 2x - m -1 ≤ mx
HD
m 2 x - 2x - m -1 ≤ mx ⇔(m + 1)(m - 2)x ≤ m - 1
*Biện luận các trường hợp: (m + 1)(m - 2) = 0; (m + 1)(m - 2) > 0; (m + 1)(m - 2) < 0
1
x
a) Tìm ĐK để bt A có nghĩa’
b) Rút gọn bt A
c) Tính giá trị của bt A với 16.(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
−
HD
a) Ta có với x 0≥ thì 1 2 3
x+ x+ = x+ + >
Bt A có nghĩa khi
0
1 0
1 0
x
x x
x x
≥
+ − ≠
− ≠
0
1 1 4
x
x x
≥
≠
≠
0 1 1 4
x x x
≥
⇔ ≠
≠
b)Với ĐK
0 1 1 4
x x x
≥
⇔ ≠
≠
(*)
1
x
Đề chính thức
Trang 2x (2 x 1) ( 1) 1
1
x
1
x
A =
A =
1
+
c)Theo trên
ĐK
0 1 1 4
x x x
≥
⇔ ≠
≠
(*) và A =
1
+ + + ; Ta có viết
1
Và theo đề bài 16.(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
−
2
(5 2 6)(5 2 6) 5 2 6
16
9 3 11 2
−
16
3
16
(9 3 11 2)(9 3 11 2)
=
(9 3 11 2)(9 3 11 2)
(9 3 11 2)(9 3 11 2)
Suy ra x = 16, nên x =4
Vậy A = 1- 1
21=
20 21
CâuIII:(3.0 Đ)
1)Tìm các số nguyên x, y, z sao cho x 2 +5y 2 +10z 2 < 4xy+6yz+2z
2)Cho ba số a, b, c khác 0 thõa mãn
1
CMR trong ba phân thức trên có hai phân thức bằng 1 còn phân thức còn lại bằng - 1.
HD
1)
Ta có: x 2 +5y 2 +10z 2 < 4xy+6yz+2z
<=> (x-2y) 2 +(y-3z) 2 +(z-1) 2 < 1
Vì x, y, z Z∈ nên 0 ≤(x-2y) 2∈Z ; 0 ≤ (y-3z) 2∈Z; 0 ≤ (z-1) 2∈Z
Nên (x-2y) 2 +(y-3z) 2 +(z-1) 2 Z∈ và 0 ≤(x-2y) 2 +(y-3z) 2 +(z-1) 2 < 1
Điều này chỉ xảy ra khi (x-2y) 2 =0, (y-3z) 2 =0, (z-1) 2 = 0
Giải ra ta được z = 1, y = 3, x = 6
2)
1
0
0
Trang 3( ) ( ) ( )
a c b
0 2
a c b b c a b c a
abc
0 (1)
0 (2)
0 (3)
a c b
b c a
b c a
− − =
⇔ − − =
− + =
Nếu a c b− − =0 (1)ta suy ra a = b+c; b = a - c; c = a - b ta được
Hay
Hoàn toàn tương tự xét (2) hoặc (3) ta luôn được trong ba phân thức trên có hai phân thức bằng
1 còn phân thức còn lại bằng - 1.
(ĐPCM)
Câu IV: (5.0 Đ)
Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng d đi qua A cắt lần lượt BD, BC, DC ở E, K, G CMR:
1/AE 2 = EK.EG và 1 1 1
2/Tích BK.DG có giá trị không đổi khi đường thẳng d thay đổi vị trí.
3/Tính diện tích hình bình hành ABCD Biết BK.DG = 50cm 2 và góc ADC bằng 30 0
HD
GA
A
B
BK
K AB A
G
G
D
A
:
+
GE (2)
AB GD
BE n
DE
:
E E
EB
n
ED
KB AD
=
=
:
Trang 4Từ (1), (2)và (3) ta suy ra AE
GE
KE AE
= Hay AE 2 = EK.EG(đpcm)
Lại có AE DE (4)
Từ (4) và (5) ta suy ra AE AE DE BE DE BE 1
+
Từ AE AE 1
AE = AK + AG (đpcm) 2/
GA
BK AB
AD GD
:
ta có tích BK.DG = AB.AD khi
đường thẳng d thay đổi vị trí; Hình bình hành ABCD cố định nên tích AB.AD cố định suy ra BK.DG = AB AD cố định
3/ Theo gt BK.DG = 50 cm 2 , theo trên ta có AB AD = BK DG =50 cm 2
Từ C kẻ CH vuông góc với AD (H ∈AD), xét µ 0 · 0
1
SABCD = AD.CH = AD 1
AD AB
cm
Vậy SABCD = 25 cm 2
CâuVI (2.0 Đ) Trên một đường tròn cho 6 điểm phân biệt Hai điểm bất kỳ trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu tím hoặc màu vàng CMR tồn tại một tam giác
có 3 cạnh cùng màu.
HD
Ta có 6 điểm trên , có tính chất 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng, hay ba điểm bất kỳ lập thành một tam giác.
Lại có mỗi đoạn thẳng có màu tím hoặc màu vàng.
Xét một điểm A0 trong 6 điểm tùy ý đó, khi đó từ 5 điểm còn lại ta chứng tỏ tồn tại 3 đỉểm nối với A0 hoặc là màu tím hoặc là màu vàng
Chẳng hạn, A1, A2, A3 nối với A0 hoặc là màu tím hoặc là màu vàng
Giả sử A1, A2, A3 nối với A0 là màu tím thì:
+) Nếu hai trong ba điểm A1, A2, A3 nối với nhau màu tím , ví dụ như A1, A2 thì khi đó tồn tại tam giác A1A2 A0 có các cạnh cùng màu;
+) Ngược lại, ba điểm A1, A2, A3 nối với nhau bởi vàng thì khi đó tồn tại tam giác A1 A2,A3 cùng màu
Như vậy trong mọi trường hợp luôn tồn tại tam giác có các cạnh cùng màu
(ĐPCM)
