CHỦ ĐỀ lg

Đường tròn lượng giác: a, Đường tròn định hướng: Là đường tròn trên đó ta chọn 1 chiều chuyển động gọi là chiều dương.. Sử dụng đường tròn lượng giác để nhắc lại giá trị lượng giác của

CHỦ ĐỀ: LƯỢNG GIÁC LỚP 10 + LỚP 11 I.Nhắc lại kiến thức cũ lớp 10

1 Đường tròn lượng giác:

a, Đường tròn định hướng:

Là đường tròn trên đó ta chọn 1 chiều chuyển

động gọi là chiều dương Chiều ngược lại là

chiều âm.

Quy ước: Chiều ngược chiều quay của kim

đồng hồ là chiều dương.

b, Đường tròn lượng giác:

Là đường tròn định hướng tâm O, bán kính

bằng 1

Đường tròn cắt trục tọa độ tại 4 điểm

A(1;0), A’(-1;0), B(0;1), B’(0;-1).

Lấy A(1;0) xác định làm gốc.

*Hai đơn vị đo góc là độ và radian

Vd: 180° =πrad

2 Sử dụng đường tròn lượng giác để nhắc

lại giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. 180

45 4 30 6 60 3

π π π π

°

°

°

°

=

=

=

=

Bài tập: Điền vào chỗ trống

sin 0

sin180

sin( 60 )

cos

4

cos

6

tan

2

π

π

π

°

°

=

=

− ° =

=

−

  =

 

  =

 ÷

 

II Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ( lớp 11)

1 Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

Qui tắc đặt tương ứng mỗi số

thực x với số thực sinx

sin: R → R

x a sinx

đgl hàm số sin, kí hiệu y = sinx

Tập xác định của hàm số sin là

¡

Tập giá trị: T = [–1; 1]

Hàm số lẻ

( vì sin90° =1.

Sin (−90°) =-1)

( )

cos90 0

cos -90 0

°

°

=

=

Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π ]

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-2 -1

1 2

x y

Đồ thị hàm số y = sinx trên R

-2 -1

1 2

x y

b) Hàm số côsin

Qui tắc đặt tương ứng mỗi số

thực x với số thực cosx

cos: R → R

x a cosx

đgl hàm số côsin, kí hiệu y =

cosx

Tập xác định của hàm số cos là

¡

• Tập xác định: D = ¡

• Tập giá trị: T = [–1; 1]

• Hàm số chẵn

( )

cos90 0

cos -90 0

°

°

=

=

• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cosx ( vì cos sin

2

x= x+π 

  nên ta tịnh tiến đồ thị hàm số

y= x sang trái 1 đoạn có độ dài bằng

2

π

, song song với trục hoành).

-2 -1

1 2

x

y

y=sinx y=cosx

O

Đồ thị của các hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.

2 Hàm số tan và hàm số cot

a, Hàm số y=tanx

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công

thức:

y = sin

cos

x

x (cosx ≠ 0)

kí hiệu là y = tanx.

Tập xác định của hàm số

y = tanx là D = R \ ,

• Tập giá trị: T = R

• Hàm số lẻ

• Hàm số tuần hoàn với chu kì π

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng 0;

2

 π

÷



 

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Đồ thị hàm số y = tanx trên D

-7π/4 -3π/2 -5π/4 -π -3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

b) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi

công thức:

y = cos

sin

x

x (sinx ≠ 0)

kí hiệu là y = cotx.

Tập xác định của hàm số y = cotx là

D = R \ {k k Zπ ∈, }

Tập giá trị: T = R

• Hàm số lẻ

• Hàm số tuần hoàn với chu kìπ

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π )

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Đồ thị của hàm số y = cotx trên D

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Bài tập 1: Tìm tập xác định của hàm số

1 cos 1 cos

, ,

, tan , cot

−

Giải:

a, điều kiện sinx 0≠ ⇔ ≠x k kπ, ∈¢ Tập xác định D=¡ \{k kπ, ∈¢}

b, Đk: 1 cos 0

1 cos

x x

− Ta có vì − ≤1 cos 1≤ ⇒1+cos 0≥ nên suy ra 1 cos− x≠ ⇔0 cosx≠ ⇔ ≠1 x 2k kπ, ∈¢ Tập xác định D=¡ \ 2{ k kπ, ∈¢}

c,

sin

3 tan

3 cos

3

x

x

π π

π

 − 

=  − ÷=

Điều kiện:

5 6

Tập xác định \ 5 k , }

6

D=  π + π k∈





d,

cos

6 cot

6 sin

6

x

x

π π

π

 + 

=  + ÷=

dk: sin 0

 + ≠ ⇒ + ≠ ⇔ ≠ − +

Tập xác định \ k , }

6

D= −π + π k∈





Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

, 2 cos 1

, 3 2sin

= −

III Phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình lượng giác

Ví dụ:

2sin 2 2 0

2cos 2 tan 2 1 0

x

+ = + − = gọi là phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình đã cho Các giá trị này là số đo của các cung ( góc) tính bằng rad hoặc độ.

Để giải các phương trình lượng giác người ta thường đưa về giải các phương trình lượng giác

cơ bản đó là: sinx a= ;cosx=a, tan x a= , cotx a= ( a là 1 hằng số).

2 Phương trình lượng giác cơ bản

a, Phương trình sin x a=

Trường hợp a >1 ( hay a>1 hoặc a<-1)

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp a ≤1 ( hay − ≤ ≤1 a 1 )

Phương trình

2

2

α

= +



arcsin 2

arcsin 2

π



Chú ý:+ Phương trình

360 sinx sin

β β

β

°



+ Trong 1 công thức về nghiệm của phương trình

lượng giác không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ

rad.

Vd: x=30°+2kπ (cách viết này là sai)

+ Các trường hợp đặc biệt:

2

2 sin 0

π

= ⇔ = +

= − ⇔ = − +

= ⇔ =

Gọi α là số đo bằng radian của cung AM.

Ta có sđ AM = α+k2π

Sđ AM’=π α− +k2π

Bài tập: Giải phương trình

,sinx sinx sin

5

a

k

π

¢

1 arcsin 2

,sin

1 5

arcsin 2 5

π



= ⇔ 



c,

2

sin

2 2

2 3

x

 = +





d,

2

sin

3 2

2 4

x

 = +



 = +



e,

2 sin( 45 ) sin( 45 ) sin 45

2

45 180 45 360

90 360

180 360

−



 = − +



f,

1 arcsin 2 2

sin( 2)

1 4

arcsin 2 2 4

x

π

 + = ⇔ 



k

x= ⇔ x= +π k π ⇔ = +x π π

h,

2

sin( )

7

2 6

x

π

 = +



− = ⇔ 



i, sin(x+10°) =2

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp a >1 ( hay a>1 hoặc a<-1)

k, sin 2 0 3

x

 − = ⇔ = +

sin 2 20

x

 = − +



m, sin 2 1

4

x= − ⇔ =x −π +kπ

n, ( 0)

1

sin 30

6

arcsin 2

x





o,

sin cos sin sin

2 2

2

2 2

π

π





⇔

 = − − + ÷



Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp a ≤1 ( hay − ≤ ≤1 a 1 ) Phương trình

2

2

α

= +



arcsin 2

arcsin 2

π



Chú ý:+ Phương trình

360 sinx sin

β β

β

°



Các trường hợp đặc biệt:

2

2 sin 0

π

= ⇔ = +

= − ⇔ = − +

= ⇔ =

b, Phương trình cos x a=

Bài tập: Giải các phương trình

a x= π ⇔ = ± +x π k π k∈¢

b x= ⇔ = ±x +k π

2

4 3

k

x

π π

−

⇔ = ± +

2

4 3 2

2

4 3 2

12

7

2 12

 = − +



⇔ + = ± + ⇔ 

 = − − +



−

 = +



⇔  −



e,cos 3

k x

x

k x

π



 − = − ⇔ 

,cos 2 50

11 2

36

°



 = − +



, 1 2cos 3 cos 0

1 2cos 0

3 cos 0

x

x



⇔  − =

−

i, 2 cos 3cos 2 1 0

1 3cos 2 1 0 cos 2

3

Trường hợp a >1 ( hay a>1 hoặc a<-1)

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp a ≤1 ( hay − ≤ ≤1 a 1 )

Phương trình

2

2

2

α

= +



¢

¢ arccos 2

arccos 2

π

π π



Khi viết arccos a=α nghĩa là cung có cô sin bằng a

Chú ý:+ Phương trình cosx=cosβ° ⇔ = ± +x β° k360°

+ Các trường hợp đặc biệt:

cos 0

2

π

= ⇔ =

= − ⇔ = +

= ⇔ = +

Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan và cot hơn kém π

sin os

2 cos sin

2

π

,cos3 - sin 2 0 cos3 sin 2

2

2

2

2

10 5 2

k x

π

=





⇔

 = − − ÷+











 = − +  = − +

l,cos 2

4

x=

n,sin 3x−cos5x=0

c, Phương trình tan x a=

Phương trình tan x a=

Điều kiện: cos 0

2

x π kπ

≠ ⇔ ≠ +

Khi đó

tanx a= ⇔ tanx=tanα ⇔ = +x α kπ k∈¢

tanx a= ⇔ =x arctana k+ π k∈¢

Chú ý: tanx=tanβ° ⇔ =x β°+k180 ° (k∈¢)

Trường hợp đặc biệt:

tan 0

tan 1

tan 1

x

x

x

= ⇔

= ⇔

= − ⇔

Bài tập: Giải phương trình

, tan tan

5

 − =

1

c, tan 2

3

x= −

d, tan 3x+15° = 3

e, tan 15

3

x− ° =

f,cos 2 tanx x=0

g, tan 3 30

3

x− ° = −

( )

h, tan 2x+45° = −1

i, 3tanx+ 3 2sinx− =1 0

k, tan(x−30 ) cos 2° x−150° =0

, tan(2 60 ) cos 75 0

m, tan 3 tanx x=1 , tan tan 2 1

d, Phương trình cot x a=

Phương trình cot x a=

Điều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ

Khi đó

cotx a= ⇔cotx=cotα ⇔ = +x α kπ k∈¢

cotx a= ⇔ =x arccota k+ π k∈¢

Chú ý: cotx=cotβ° ⇔ =x β°+k180 ° (k∈¢)

Trường hợp đặc biệt:

cot 0

cot 1

cot 1

x

x

x

= ⇔

= ⇔

= − ⇔

Bài tập: Giải phương trình

2 ,cot 4 cot

7

,cot 3 2

,cot 2 10

3

6

d  x−π=

3

x π

 + =

3 f,cot 30

 + =

g,cot 1 cot 1 0

 −   + =

,sin 2 cot 0

, cot 1 sin 3 0

4

k x x−π =

,cot 2 cot 3 1

,sin 3 sin 5 0

sin 3

cos3 -1

x

x =

2cos 2

1 sin 2

x

x =

−

Kiến thức trọng tâm cần nhớ:

Phương trình sin x a= Trường hợp a >1 ( hay a>1 hoặc a<-1)

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp a ≤1 ( hay − ≤ ≤1 a 1 ) Phương trình

2

2

α

= +



arcsin 2

arcsin 2

π



Phương trình cos x a= Trường hợp a >1 ( hay a>1 hoặc a<-1)

Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp a ≤1 ( hay − ≤ ≤1 a 1 ) Phương trình

2

2

2

α

= +



¢

¢ arccos 2

arccos 2

π

π π



Phương trình tan x a= Phương trình tan x a=

Điều kiện: cos 0

2

x π kπ

≠ ⇔ ≠ +

Khi đó tanx a= ⇔tanx=tanα ⇔ = +x α kπ (k∈¢)

tanx a= ⇔ =x arctana k+ π k∈¢

Phương trình cot x a= Phương trình cot x a=

Điều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ

Khi đó cotx a= ⇔cotx=cotα ⇔ = +x α kπ (k∈¢)

cotx a= ⇔ =x arccota k+ π k∈¢

III Một số phương trình lượng giác thường gặp

a, Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số

lượng giác là phương trình có dạng

0

at b+ =

Trong đó a, b là hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm

số lượng giác

Cách giải: Chuyển vế rồi chia 2 vế của phương trình cho

a, đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.

a

− + = ⇔ = − ⇔ = ( giải pt lượng giác cơ bản)

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với 1

hàm số lượng giác.

Ví dụ: Giải phương trình sau

,5cos 2sin 2 0

,8sin cos cos 2 1

Ví dụ:

3sin 3 0

2 tan 1 0

x x

+ = + =

Ví dụ 1: Giải phương trình

,3cos 5 0

, 3 cot 3 0

, 2sin 2 0

Bài tập: Giải phương trình

,sin 2 2cos 0

,8cos 2 sin 2 cos 4 2

2

, 2cos cos 2 2

2

,sin sin 0

, tan 2 2 tan 0

,cos3 - cos 4 cos5 0

,sin 7 sin 3 cos5

,cos sin sin 3 cos 4

b, Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một

hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at + + =bt c

Trong đó a b c, , là hằng số, a≠0, t là một trong

các hàm số lượng giác.

Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn

phụ, và đặt điều kiện cho ẩn phụ ( nếu có) rồi

giải phương trình theo ẩn phụ Cuối cùng đưa

về giải phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình đưa về dạng phương trình bậc

hai đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ:

2 2

2sin sin 2 0 3cot cot 3 0

Bài tập: Giải phương trình

2

, 2cos 3cos 1 0

2

b, 2sin 2 sin 2 0

2

c, 2 tan x+3 tanx+ =1 0

Ví dụ: Giải phương trình sau

2

,6cos 5sin 2 0

, 2sin 5sin cos cos 2

2

,sin 2 cos 2 0

2

,8cos 2sin 7 0

, tan - 2cot 1 0

, 2sin sin cos 3cos 0

,3sin 4sin cos 5cos 2

,sin sin 2 2 cos

2

, 2cos 3 3 sin 2 4sin 4

c, Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Công thức biến đổi biểu thức asinx b+ cosx

Tổng quát với 2 2

0

a +b ≠ ta có:

cos sin sin cos

sin( )

α

Với cos 2a 2 ;sin 2b 2

Phương trình dạng asinx b+ cosx c=

(a b c, , ∈¡ ;a2+b2 ≠0)

Nếu a=0;b≠0 hoặc a≠0;b=0 thì ta đưa về phương

trình lượng giác cơ bản.

Còn a≠0;b≠0 ta áp dụng công thức trên.

Ví dụ: Giải phương trình

sinx+ 3 cosx=1

Các công thức cộng đã học

sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( - ) cos cos sin sin

Bài tập: Giải phương trình

, 3 sin 3 cos3 2

,cos 3 sin 2

c,3sin 3x−4cos3x=5 , 2sin 2cos 2 0

,5cos 2 12sin 2 13 0

f, 3 cosx+sinx= −2 ,cos3 sin 3 1

Kiến thức trọng tâm cần nhớ

Phương trình bậc nhất at b+ =0

Trong đó a, b là hằng số (a≠0) và t là một trong

các hàm số lượng giác

Cách giải: Chuyển vế rồi chia 2 vế của phương

trình cho a, đưa phương trình về phương trình

lượng giác cơ bản.

a

− + = ⇔ = − ⇔ = ( giải pt lượng giác cơ

bản)

Phương trình bậc hai 2

0

at + + =bt c

Trong đó a b c, , là hằng số, a≠0, t là một trong các

hàm số lượng giác

Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ,

và đặt điều kiện cho ẩn phụ ( nếu có) rồi giải

phương trình theo ẩn phụ Cuối cùng đưa về giải

phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Tổng quát với a2+b2 ≠0 ta có:

cos sin sin cos

sin( )

α

Với cos 2a 2 ;sin 2b 2

Bài tập tổng hợp: Giải phương trình sau

, tan(2 1) tan(3 1) 1

4

b x+ x+π=

, 3 cos 4 sin 4 - 2cos3 0

1 , 4sin 3cos 4(1 tan )

-cos

x