Dao động tự do của vỏ nón cụt FGM

Nghiên cứu này dựa trên lý thuyết bậcnhất Love và phương pháp Galerkin có tính đến gia tốc Coriolis để khảo sát sựbiến thiên của tham số tần số khi các tham số hình học, mode dao động và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐÀO VĂN DŨNG

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS TS Đào VănDũng đã tận tình hướng dẫn khoa học và tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em cóthể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Em xin cảm ơn các thầy cô bộ môn Cơ học, khoa Toán – Cơ – Tin học,trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN đã dạy em những kiến thức cơbản về phương pháp, nghiên cứu, lý luận để em có thể hoàn thành luận văn mộtcách thuận lợi nhất

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh khoa Toán – Cơ – Tin học;trường Đại học Khoa học Tự nhiên, phòng Sau Đại học và ban lãnh đạo Viện

Cơ học cùng các đồng nghiệp phòng Cơ học Vật rắn đã tạo mọi điều kiện quantâm, động viên và giúp đỡ để em hoàn thành luận văn

Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, bạn bè, vànhững người thân luôn ở bên động viên, khích lệ em trong quá trình hoànthành luận văn này

Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2014

Lê Thị Ngọc Ánh

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 5

1.1 Các hệ thức cơ bản 5

1.1.1 Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên 5

1.1.2 Phương trình cơ bản …6

1.2 Phương pháp giải 11

1.2.1 Điều kiện biên 11

1.2.2 Dạng nghiệm 11

1.2.3 Phương trình tìm tần số riêng 11

Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ 19

2.1 So sánh kết quả 19

2.2 Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM 20

2.2.1 Ảnh hưởng của số sóng n 20

2.2.2 Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k 23

2.2.3 Ảnh hưởng của tốc độ quay 24

2.2.4 Ảnh hưởng của góc nón 25

2.2.5 So sánh tham số tần số f trong trường hợp vỏ nón cụt có gân gia cường và không gân gia cường 26

2.2.6 Ảnh hưởng của tỉ số L / r 28

2.2.7 Ảnh hưởng của tỉ số r / h 29

2.2.8 Ảnh hưởng của số gân 30

KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

Vỏ nón có cơ tính biến thiên (FGM) là một trong những kết cấu đượcứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghệ khoa học kỹ thuật như hàngkhông, tên lửa, động cơ đẩy và các thiết bị vũ trụ khác Chính vì vậy mà cónhiều bài toán liên quan đến ổn định và dao động của các kết cấu vỏ nón được

sự quan tâm của các nhà nghiên cứu Bài toán dao động tự do đóng vai tròquan trọng trong việc xác định tần số riêng của vỏ nón

Các kết quả đối với bài toán dao động của kết cấu làm từ vật liệuComposite, trong đó có vật liệu FGM ngày càng công bố nhiều hơn Hua L

[2] đã phân tích tần số vỏ nón cụt trực hướng với các điều kiện biên khác nhau.Tác giả này [3] cũng đã khảo sát đặc trưng tần số của vỏ nón cụt compositephân lớp với điều kiện biên tựa đơn Nghiên cứu này dựa trên lý thuyết bậcnhất Love và phương pháp Galerkin có tính đến gia tốc Coriolis để khảo sát sựbiến thiên của tham số tần số khi các tham số hình học, mode dao động và tốc

độ quay thay đổi Lam và các cộng sự [5,6] đã đề xuất phương pháp cầuphương vi phân (DQM) đối với các nghiên cứu với ảnh hưởng của các điềukiện biên đến các đặc trưng dao động tự do của vỏ nón cụt Ở đây có xem xétđến sự ảnh hưởng của góc đỉnh nón đến tham số tần số Talebitooti và các cộng

sự [7] đã đề cập đến dao động tự do của vỏ nón composite có gắn gân dọc vàgân tròn Dựa vào lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ và phương phápcầu phương vi phân QDM, Malekzadeh và Heydarpour [8] đã nghiên cứu ảnhhưởng của gia tốc Coriolis kết hợp với các tham số hình học và vật liệu phântích dao động tự do của vỏ nón cụt FGM quay với một số điều kiện biên khácnhau Các kết quả về dao động của vỏ nón, vỏ trụ FGM và các kết cấu tấm hìnhkhuyên với bốn tham số phân bố theo quy luật lũy

thừa dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được nghiên cứu bởiTornabene và các cộng sự [11].

Trong những năm gần đây, các kết cấu làm bằng vật liệu có cơ tính biếnthiên (FGM) được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật vì vậy mà cácứng xử dao động cũng như ổn định của tấm và vỏ FGM ngày càng được nhiềuquan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học Trong số đó có Sofiyev [9] đãnghiên cứu về dao động và ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM không cógân với các điều kiện biên khác nhau Chính tác giả này cũng đã để xuất daođộng phi tuyến [10] của vỏ nón cụt FGM Đối với các bài toán phân tích tuyếntính thì việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến để tìm phương trình chủ đạo

và phương pháp Garlekin được sử dụng để tìm ra biểu thức đóng xác định tảivồng tới hạn dạng rẽ nhánh hoặc biểu diễn các tần số cơ bản; trong khi đó phântích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman – Donnell củaphi tuyến động

Nhận thấy rằng các kết quả công bố trên hầu hết nghiên cứu với các kếtcấu không có gân gia cường Tuy nhiên trong thực tế thì các kết cấu tấm và vỏbao gồm cả vỏ nón thường được tăng cường bởi hệ thống các gân để đảm bảo

độ cứng của khả năng mang tải mà chỉ cần một khối lượng nhỏ được gắn thêmvào Hiện nay các kết cấu được làm từ FGM ngày càng trở nên phổ biến hơn.Việc nghiên cứu ổn định và dao động các kết cấu FGM dạng tấm và vỏ là mộttrong những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho cáckết cấu làm việc an toàn và tối ưu Trong thực tế để tăng cường khả năng làmviệc của kết cấu người ta thường gia cố bằng các gân gia cường Cách làm này

có ưu điểm là trọng lượng của gân thêm vào ít mà khả năng chịu tải của kết cấulại tăng lên nhiều, hơn nữa chỉ cần gia cố ở những vị trí xung yếu, do vậy đây

là phương án rất tối ưu về vật liệu

Gần đây, các kết cấu FGM có gân gia cường nhận được nhiều quan tâmnghiên cứu chủ yếu tập trung vào phân tích ổn định, mất ổn định sau vồng vàdao động của kết cấu tấm và vỏ của các nhà khoa học trong nước Tác giả Đ.

H Bích cùng các cộng sự [12] đã để cập đến ứng xử vồng của panel nón FGMchịu tác dụng của tải cơ Tác giả Đ V Dũng cùng các cộng sự [13] đã nghiêncứu sự mất ổn định của vỏ nón cụt có gân gia cường chịu tác dụng của tải cơ.Phương trình cân bằng và ổn định tuyến tính nhận được dựa trên lý thuyết vỏkinh điển và kỹ thuật san đều tác dụng gân

Nhìn tổng quan các tài liệu chỉ ra rằng vẫn chưa có nhiều các nghiên cứu

về dao động tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm (ES –FGM ) quay quanh trục đối xứng Dựa trên tài liệu tham khảo của Hua L [3],nghiên cứu đặc trưng tần số của vỏ nón cụt composite phân lớp quay quanhtrực đối xứng không gân gia cường, luận văn phát triển và nghiên cứu đặctrưng tần số đối với vỏ nón FGM có gân gia cường quay quanh trục đối xứng.Luận văn tập trung vào giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích dựa trên

lý thuyết vỏ Donell, kỹ thuật san đều tác dụng gân và phương pháp Galerkin.Các phân tích tiến hành để đánh giá ảnh hưởng của gân, tham số vật liệu vàtham số hình học cũng như tác dụng của gia tốc Coriolis (sinh ra do vỏ nónquay với tốc độ quay ) đến tham số tần số đối với dao động tự do của vỏ nóncụt FGM có gân gia cường

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục vàcác chương chính như sau:

Chương 1 Tiếp cận giải tích: Trình bày các hệ thức cơ bản và cácphương trình chuyển động viết qua các thành phần chuyển vị của vỏ nón cụtFGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm ra tần sốriêng của vỏ nón

Chương 2 Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bốtrước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnhhưởng của các tham số hình học, vật liệu cũng như tốc độ quay đến tham số tần

số của vỏ nón

Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây

Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 1.1 Các hệ thức cơ bản

1.1.1 Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên

Xét vỏ nón cụt mỏng FGM có bề dày h , chiều dài L và góc nón

quay quanh trục đối xứng nối tâm nón và chóp nón với tốc độ quay

không đổi (Hình 1), trong đó r, R lần lượt là bán kính đáy nhỏ và đáy

lớn của vỏ nón cụt Chọn hệ trục tọa độ đối với vỏ nón là hệ trục tọa độ

cong x, , z , trong đó gốc tọa độ đặt tại mặt giữa của vỏ, trục

x theo chiều đường sinh tính từ chóp của vỏ nón, trục theo chiều của

đường tròn và trục z vuông góc với mặt phẳng ( x, ), hướng theo pháp tuyến ngoài của nón; x0 là khoảng cách từ chóp nón đến đáy nhỏ r Kí hiệu u,v và w lần lượt là các thành phần chuyển vị của điểm tại mặt trung bình theo các phương x, và z

Hình 1 Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGMGiả sử vỏ nón được làm từ hỗn hợp hai vật liệu là gốm và kim loại vớithành phần vật liệu chỉ thay đổi dọc theo chiều dày của vỏ theo quy luật lũythừa như sau:

Theo quy luật đã nêu như trên, ta có mô đun đàn hồi Young

mật độ khối (z) được viết dưới dạng sau:

6

trong đó xm , m là biến dạng dài và x m là biến dạng trượt tại mặt trung bình của

vỏ; kx , k và kx tương ứng là biến thiên của độ cong và độ xoắn Các thành phần

này có thể viết qua chuyển vị như sau [1]

7

trong đó các chỉ số sh và s tương ứng kí hiệu là vỏ và gân, Es và Er tương ứng

là mô đun đàn hồi của các gân theo phương x và theo phương Để đảm bảo sự

liên tục giữa gân và vỏ, các gân được gắn vào sẽ là gân kim loại ở mặt kimloại, và gắn gân bằng gốm nếu mặt vỏ gốm

Để tính đến tác dụng của các gân ta sử dụng kỹ thuật san đều tác dụnggân và bỏ qua sự xoắn của gân bởi vì các hằng số xoắn này là nhỏ hơn rấtnhiều so với momen quán tính Thêm vào nữa, sự thay đổi của khoảng cáchgiữa các gân dọc theo đường sinh cũng được tính đến Lấy tích phân cácphương trình liên hệ ứng suất - biến dạng và momen của chúng theo bề dày của

vỏ ta được biểu thức của tổng nội lực, tổng momen và các lực cắt của vỏ nón

8

Ở đây kí hiệu ns , nr tương ứng là số gân dọc theo đường sinh và số gân

vòng; h1, b1 là bề dày, chiều rộng của gân dọc (theo phương x ) và h2 , b2

là bề dày, chiều rộng của gân vòng (theo phương ) Và d1 d1(x), d2 tương ứng là

khoảng cách giữa hai gân dọc và hai gân vòng Các đại lượng A1, A2 là phần

diện tích mặt cắt ngang của các gân I1, I2 là các momen quán tính bậc hai của

phần cắt ngang các gân liên hệ với mặt trung bình của vỏ; và z1, z2 biểu diễn độ

lệch tâm của các gân dọc và gân vòng so với mặt giữa của

vỏ

Phương trình chuyển động đối với bài toán dao động tự do của vỏ nón

cụt ES - FGM có dạng [2,3]

9

2

Ở đây r , s là mật độ khối của gân vòng và gân dọc tương ứng.

10

1.2 Phương pháp giải

Trong phần này phương trình xác định tần số dao động của vỏ nón cụt

ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích

1.2.1 Điều kiện biên

Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu Khi đó điều kiện biên được viết dưới dạng như sau:

sóng theo hướng vòng tương ứng; (rad /s) là tần số riêng của vỏ nón quay

1.2.3 Phương trình tìm tần số riêng

Trước hết thế các phương trình liên hệ giữa nội lực, momen với biến

dạng ở (1.9) và (1.10) vào hệ phương trình (1.13) ta được

T11(u) T12 (v) T13 (w) 0,

T21(u) T22 (v) T23 (w) 0,

12

x

2 32 sin cos

,

x

13

Do điều kiện x0 x x0 L , tức là x 0 và để thuận lợi trong việc tính tích

phân, ta nhân phương trình (1.17) với x2 và nhân các phương trình (1.18),

(1.19) với x3 Thay nghiệm (1.16) vào hệ phương trình hệ quả và áp dụngphương pháp Galerkin cho các phương trình đó, tức là

14

Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất của U , V , W Để

hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của ma trận Lij phải bằng 0, tức

trong đó các biểu thức gi như sau:

Phương trình (1.27) có sáu nghiệm, trong số nghiệm này có hai nghiệm

mà giá trị tuyệt đối của chúng là nhỏ nhất, một nghiệm là số thực dương và

một nghiệm là số thực âm [3] Hai giá trị riêng này gọi là hai nghiệm riêng

Đối với tốc độ quay cho trước với mỗi mode dao động tức là đối với một cặp (

m, n ), hai giá trị riêng tương ứng với quá trình sóng lùi, sóng tiến Điều này

cũng tương ứng vỏ nón quay với vận tốc góc là âm hoặc dương (vận tốc góc

quay ngược chiều kim đồng hồ là vận tốc dương, còn quay thuận chiều kim

đồng hồ là vận tốc góc âm) Giá trị dương của ứng với sóng lùi khi tốc độ quay

0 Và ngược lại giá trị âm của ứng với sóng tiến khi tốc độ quay 0 Khi vỏ nón

đứng yên ( 0 ) thì sóng là sóng đứng Và khi vỏ nón bắt đầu quay thì chuyển

động sóng đứng sẽ thay đổi sang sóng lùi hoặc sóng tiến tùy thuộc vào chiều

quay của tốc độ quay

Sau khi tìm được tần số riêng của dao động tự do của vỏ nón cụt FGM

chính là hai giá trị riêng có trị tuyệt đối nhỏ nhất, để thuận tiện cho việc tính

toán và so sánh ta đưa vào công thức tính tham số tần số f cho bởi dạng sau

17

t

ức tính tham số tần số dao dộng tự do của vỏ nón cụt FGM cógân gia cường được xây dựng bằng phương pháp giải tích màluận văn sử dụng tính toán số cụ thể trong Chương 2.

18

Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐTrong chương này, các kết quả tính toán tham số tần số riêng của vỏ nón

cụt ES – FGM dựa theo công thức (1.29) đã thiết lập ở Chương 1

2.1 So sánh kết quả

Để đánh giá tính chính xác của kết quả luận văn, Bảng 1 so sánh kết quả

tính toán tham số tần số theo công thức (1.29) cho vỏ nón không gân, đẳng

hướng với các kết quả đã được công bố bởi Hua L [3] và Irie T et al [4] Đây

là trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát mà luận văn thực hiện

Bảng 1 So sánh tham số tần số của vỏ nón cụt không gân, đẳng hướng với

kết quả của Hua L [3] và Irie T et al [4]

So sánh được tiến hành với vỏ nón cụt không gân, làm từ vật liệu đẳng hướng,

điều kiện biên tựa đơn với các tính chất vật liệu và tham số hình học được lấy

theo [3] ,[4] cụ thể như sau: E 4.8265 109 (Pa), 0.3,

ở hai đầu Các tính chất vật liệu và tham số hình học của vỏ nón cụt ES - FGMnhư sau:

- E m 70 (GPa) , m 2702(kg / m3 ) , m 0.3

- E c 380(GPa) , c 3800(kg / m3 ) , c 0.3

- Bề dày vỏ nón h 0.004 (m)

- Các tỉ số: r / h 20 , L / r 2.5

- Chiều rộng và bề dày của các gân dọc: b1 0.002(m), h1 0.004 (m)

- Chiều rộng và bề dày gân vòng: b2 0.002 (m) , h2 0.004 (m) ,

- n st , n r tương ứng là số gân dọc, gân vòng.

2.2.1 Ảnh hưởng của số sóng n

Xét vỏ nón cụt FGM được làm từ hai vật liệu Nhôm và Nhôm ôxit Vỏnón được gia cường bởi n st 30 gân dọc, n r 30 gân vòng, quay với tốc độ quay

là 100 (rad/s), m 1, k 1.

Hình 2 Ảnh hưởng của số sóng n đến tham số tần số

Hình 3 Ảnh hưởng của số sóng n đến tham số tần số ( 30 o ), ( đường nétliền ứng với trường hợp sóng lùi, đường nét đứt ứng với trường hợp sóng

Hình

4 Ảnh hưởngcủa sốsóng

n (

45o )

f

22

góc nón cố định thì tham số tần số của sóng tiến rất sát so với sóng lùi Chú ýrằng ở các hình vẽ trên rằng các đường nét liền của đồ thị biểu diễn tham số tần

số của sóng lùi còn các đường nét đứt biểu diễn tham số tần số của sóng tiến

2.2.2 Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k

Trong phần này, ta đi xem xét ảnh hưởng của tỉ phần thể tích vật liệu k

đối với vỏ nón cụt FGM có nửa góc nón là 30o tại mode (m,n) (1,4) ,

n st n r 30

Các Hình 6 và Hình 7 biểu thị ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k đến tham

số tần số f của vỏ nón ES-FGM Nhận thấy rằng khi tỉ phần thể tích

k tăng thì tham số tần số tăng lên Đặc điểm này phù hợp với tính chấtthực của vật liệu Tức là khi tỉ phần thể tích tăng tương ứng vỏ nón sẽ giàukim loại hơn nên vỏ nhẹ hơn nên tham số tần số sẽ tăng lên

0.46 0.44 0.42

f

0.4 0.38

(m,n) (1,4) Nói cách khác thì cùng số sóng vòng n , khi tăng số nửa sóng dọc đường sinh m thì tham số tần số f cũng tăng Điều này bổ sung cho nhận xét của mục 2.2.1 ở trên, tức là khi số sóng n và số bán sóng m tăng

thì tham số tần số của vỏ nón ES – FGM cũng tăng lên

Hình 7 Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích k

mode (m,n) (1,4),

2.2.3 Ảnh hưởng của tốc độ quay

Vẫn sử dụng vỏ nón cụt FGM là hỗn hợp của nhôm và nhôm ôxit có gângia cường với các tính chất vật liệu cũng như các tham số hình học đã nêu ởtrên Cho vỏ nón quay với với những tốc độ quay biến thiên từ

[0: 50:500] (rad / s) Xét với mode (m,n) (1,4) , k 1.