Dao động tự do của màng

Hình ảnh các đường nút tương ứng với họa âm thấp nhất dao động của màng hình vuông có thể có tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng.

Dao động tự do của màng

1) bài toán tổng quát: dao động của màng hình vuông cạnh b bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình

'' 2 ( '' '' ) 0

u −a u +u = (1)

thỏa mãn các điều kiện đầu

t

u = = f x y (2)

'

t

u = =F x y (3)

và các điều kiện biên là

u = =u = = (4)

u = =u = = (5)

sử dụng phương pháp tách biến furie

( ) ( ) ( )

"tt x. y "t

u =X Y T

( ) ( ) ( )

"xx " x y. t

u =X Y T

( ) ( ) ( )

"yy x " y t

u =X Y T

thay vào phương trình (1) ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

"t x y "x y t . x "y t 0

T X Y −a X Y T −a X Y T = chia cả hai vế cho 2

( )t ( ) ( )x y

a T X Y

( ) ( ) ( )

2

( ) ( ) ( )

"t "x "y

a T = X + Y = λ

(6) (7)

( )

"

" 0 ( ) ( )

" " ( ) 0 ( ) ( )

y

X

β

β

λ β



( ) ( ) ( ) ( )

"x "y

X = − λ Y = β

( )

( )

( )

( )

"

"

x

x

y y

X

X

Y

Y

β

=







{

( )

( )

"

x

y

X

Y

β

β

λ β

=





2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

"

" "

λ

λ







Giải phương trình X" ( )x − βX( )x = 0

Ngiệm của phương trình có dạn: X(x)=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên

u = =u = = ta có{ A cos c.0 Bsinc.0 0

A c b B c b

+ = { A cos c.0 Bsinc.0 0

cos sin 0

sin 0

c b k

c b

π





Xk(x)=Bsinlπx/b

" y ( ) y 0

Giải phương trình Y "( )y − ( λ β − )Y( )y = 0 với β= -c2

Đặt λ-β=γ với γ=-δ2 nghiệm của phương trình có dạng Y(y)=A1cosδy + A2sinδy Với các điều kiện ban đầu u y=0 =u y b= = 0 ta tính được δ=lπ/b vậy ta có

yl(y)=A2sinlπy/b

Giải phương trình 2

( ) ( )

"t t

T = λa T

2 2 2 2

2

k l t

, ( , , ) ( ) ( )

k l x y t k x l y

0, 0

∞

= =

∑

từ điều kiện ban đầu ta có

0 0

k x k y

f x y f x y a

Trong đó ak,l là hệ số khai triển của chuỗi furie

0 0

2 2

b b

k l

k x k y

0 0

k x k y

F x y F x y b

,

0 0

b b

k l

k x k y

Ví dụ:

Tìm nghiệm

'' 2 '' ''

u −a u +u = (1) thỏa mãn các điều kiện đầu

(2)

'

t

u = =F x y =By(3) và các điều kiện biên là

u = =u = = (4)

(5)

sử dụng phương pháp tách biến furie

( ) ( ) ( )

"tt x. y "t

u =X Y T

( ) ( ) ( )

"xx " x y. t

u =X Y T

( ) ( ) ( )

"yy x " y t

u =X Y T

thay vào phương trình (1) ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

"t x y "x y t . x "y t 0

T X Y −a X Y T −a X Y T = chia cả hai vế cho 2

( )t ( ) ( )x y

a T X Y

( ) ( ) ( )

2

( ) ( ) ( )

"t "x "y

a T = X + Y = λ

(6) (7)

( )

"

" 0

" " ( ) 0

" " x

y

X

λ β



( ) ( )

( ) ( )

"x "y

X = − λ Y = β

t

u = = f x y =

u = =u = =

2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

"

" "

λ

λ







( )

( )

( )

( )

"

"

x

x

y

y

X

X

Y

Y

β

=







{

( )

( )

"

x

y

X

Y

β

β

λ β

=





Giải phương trình X" ( )x − βX( )x = 0

Ngiệm của phương trình có dạn: X(x)=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên

u = =u = = ta có{ A cos c.0 Bsinc.0 0

cos sin 0

A c b B+ c b=

sin 0

c b

π





xk(x)=Bsinlπx/b

Giải phương trình

" y ( ) y 0

" y ( ) y 0

Y − λ β − Y = với β= -c2

Đặt λ-β=γ với γ=-δ2 nghiệm của phương trình có dạng Y(y)=A1cosδy + A2sinδy Với các điều kiện ban đầu u y=0 =u y b= = 0 ta tính được δ=lπ/b vậy ta có

yl(y)=A2sinlπy/b

Giải phương trình 2

( ) ( )

"t t

T = λa T

2 2 2 2

2

k l t

, ( , , ) ( ) ( )

k l x y t k x l y

0, 0

∞

= =

∑

từ điều kiện ban đầu ta có

0 0

k x k y

f x y f x y a

Trong đó ak,l, là hệ số khai triển của chuỗi furie

,

0 0

2 2

b b

k l

k x k y

,

0 0

2 2

b b

k l

k x k y

0 0

2 2

b b

k l

k x k y

1

0

sin

b

k y

b

π

1

0

b

l

π

2

0

sin

b

k x

b

π

2 2

k

1 2

b

Ab

klπ

0 0

k x k y

F x y F x y b

Trong đó bk,llà hệ số khai triển của chuỗi

,

0 0

b b

k l

k x k y

0

sin

b

k x

b

π

=∫

3

0

b

k

π

4

0

sin

b

l y

b

π

2 4

l

, 2 2 3 4 2 2 4

( 1) [( 1)l k 1]

k l

kl bπ k l π

vậy

0 0

k

x y t

∑∑

Bài toán mở rộng

Dao động tự do của màng hình chữ nhật

Dao động cưỡng bức của màng hình chữ nhật

'' 2 '' ''

( , , )

u −a u +u =g

Bổ sung tần số l k, l2 2k2 a

b

ω = + π được gọi là tần số riêng của màng hình chữ nhật

Dao độngu k l x y t, ( , , ) (a c k l, os l2 2k2 at b k l,sin l2 2k2 at)sink xsink y

dao động riêng của màng mỗi điểm của màng thực hiện một dao đông điều hòa với tần số ωl,k khi màng dao động ta có hình ảnh của màng

+ các đường thẳng song song với các trục tọa độ được gọi là các đường nút (l-1;k-1 đường nút)

+ điểm mà các màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là điểm bụng(l.k>=1)

thì có l.k điểm bụng

+tần suất âm cơ bản của màng (l,k=1) đây là tần số riêng thấp nhất các tần số còn

lại được gọi là các họa âm

Hình ảnh các đường nút tương ứng với họa âm thấp nhất dao động của màng hình vuông có thể có tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng