chủ đề tự chọn 7

Trên nữa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C , vẽ tia Ax vuông góc với AB và lấy trên Ax một điểm E sao cho AE =AB.. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , vẽ tia Ay vuông góc với AC

B Nội dung chủ đề:

I Một số bài toán minh hoạ:

Bài toán 1:

Cho bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot chung gốc O và sắp xếp theo thứ tự ấy, góc zOt nằm trong góc xOy

Biết rằng hai góc zOt và xOy có chung tia phân giác Om Trên tia Ox ta lấy một điểm A và trên tia Oy ta lấy một điểm A’ sao cho OA”=OA Trên tia Oz ta lấy một điểm Bvà trên tia Ot

ta lấy một điểm B’ sao cho OB=OB

a) So sánh các góc xOz và yOt

b) Chứng minh A’B’=AB; AB’=A’B

c )Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B Chứng minh ba đường thẳng AB’, A’B, Om cùng đi qua một điểm(Đồng qui)

a) Ta có: Hai góc xOy và zOt có chung tia phân giác Om và góc zOt nằm trong góc xOy (gt) Nên: x Oˆm=y Oˆm ; z Oˆm=t Oˆm và x Oˆz+z Oˆm =x Oˆm ; y Oˆt+t Oˆm=y Oˆm

Từ các đẳng thức trên, suy ra: x Oˆz =y Oˆt

b) Ta có:OA’=OA; x Oˆz =y Oˆt ; OB’=OB ⇒ ∆AOB=∆A’OB’(C.G.C)⇒A’B’=AB

Ta có: x Oˆz+z Oˆt =y Oˆt+t Oˆz hay x Oˆt =y Oˆz ;OA’=OA;OB’=OB ⇒ ∆AOB’=∆A’OB (C.G.C)

⇒AB’=A’B.

c) ∆AOB=∆A’OB’⇒ O AˆB =O Aˆ'B'và A'Bˆ'O=A BˆO

⇒ B AˆI =B'Aˆ'I và A'Bˆ'I =A BˆI (1)

∆AOB’=∆A’OB ⇒ O AˆB' =O Aˆ'B và A Bˆ'O=A'Bˆ'O

GT nằm trong và chung tia phân giác Om;

AOx; A’Oy; OA’=OA;

BOz; B’Ot; OB’=OB.

KL a) So sánh các góc xOz và yOt.

b) A’B’=AB; AB’=A’B.

c) IA=IA’ ; IB=IB’

d) AB’, A’B, Om đồng qui.

A

z I

B’

B A’

y

Ta có: A’B’=AB (∆AOB=∆A’OB’) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∆AIB=∆A’IB’ (G.C.G) ⇒IA=IA’ ; IB=IB’

d) Ta có: IA=IA’; OA=OA’; OI chung ⇒ ∆AOI=∆A’OI⇒ A OˆI =A'OˆI

⇒OI là tia phân giác của A O ˆ A'hay OI là tia phân giác của x ˆ O y ⇒OI trùng với Om

⇒I∈Om ⇒AB’, A’B, Om đồng qui.

Bài toán 2:

Cho góc nhọn xOy Ta dựng về phía ngoài của góc xOy tia Ox’ vuông góc với Ox và tia Oy’ vuông góc với Oy Lấy một điểm A trên Ox và mọt điểm C trên Oy Sau đó lấy trên Ox’ một điểm B và trên Oy’ một điểm C sao cho OA=OB; OD=OC

a) So sánh các góc AOD và BOC

b) Chứng minh AD = BC

c) So sánh các góc OAD và OBC ; ODA và OCB

a) Ta có: B A O OˆˆC D 90900 x x O Oˆˆy y

0 +

=

+

=

⇒ A ˆ O D=B ˆ O C

b) Ta có: OA = OB

A ˆ O D=B ˆ O C ⇒ ∆AOD = ∆BOC (C.G.C) ⇒AD = BC.

OC = OD

c) Ta có: ∆AOD = ∆BOC ⇒ O ˆ A D= O ˆ B C ; O ˆ D A=O ˆ C B (Hai góc tương ứng)

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC Gọi E là trung điểm của cạnh AC Đường thẳng qua E song song với BC, cắt cạnh AB tại F; đường thẳng quaE song song với AB, cắt cạnh BC tại D

a) Chứng minh F là trung điểm của AB; D là trung điểm của BC

b) Chứng minh DF//AC; DF = 21 AC

GT < 900; Ox’ Ox; Oy’ Oy

OA = OB ; OD = OC

KL a) So sánh và

b) AD = BC

c) So sánh và ;

O

x C

A

x’

B

D y’

GT ABC ; EA=EC ; EF//BC ; ED//AB

KL a) FA= FB ; DB=DC

a) Ta có: EF//BC ⇒ Eˆ1 =Cˆ (Đồng vị) (1)

ED//AB ⇒ Eˆ2 =Aˆ(Đồng vị) (2)

AE=EC (E là trung điểm của AC) (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ ∆FAE=∆DEC (G.C.G)

⇒FA=DE (4)

EF//BC ⇒ Fˆ 2 =Dˆ 1 (So le trong)

ED//AB ⇒ Fˆ 1 =Dˆ 2 (So le trong)

FD cạnh chung

⇒ ∆FBD=∆DEF (G.C.G) ⇒FB=DE (5)

Từ (4) và (5) ⇒ FA= FB mà F∈AB ⇒F là trung điểm của AB.

Chứng minh tương tự ta được Dlà trung điểm của BC.

b) Ta chứng minh ∆FBD =∆AFE ⇒ Dˆ 1 =Eˆ 1 mà Eˆ1 =Cˆ ⇒ Dˆ1 =Cˆ ⇒DF//AC

Từ ∆FBD =∆AFE ⇒FD = AE mà AE=12 AC ⇒DF = 21 AC.

Bài toán 4:

Cho tam giác ABC có góc A nhọn Trên nữa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C , vẽ tia Ax vuông góc với AB và lấy trên Ax một điểm E sao cho AE =AB Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , vẽ tia Ay vuông góc với AC và lấy trên Ay một điểm F sao cho AF =AC a) Chứng minh BF = CE

b) Chứng minh BF CE

a) Ta có:

A E

A

C

A F

A

B

ˆ 90 ˆ

ˆ 90 ˆ

0 0

+

=

+

=

⇒ B AˆF =C AˆE (1) ⇒ ∆BAF=∆EAC (C.G.C)⇒BF=EC

AE =AB; AF =AC (2)

b) Gọi D là giaom điểm của BF và AC

Ta có: Fˆ =Cˆ 1 (∆BAF=∆EAC ) và Dˆ 1 =Dˆ 2 (Đối đỉnh)

Ta có: Trong ∆DIC có: D IˆC = 180 0 − (Dˆ1+Cˆ1) hay D IˆC = 180 0 − (Dˆ2 +F)

Mà 180 0 − (Dˆ2 +F) =C AˆF (Tổng ba góc của ∆ADF)

⇒D IˆC =C AˆF = 90 0 ⇒ BF CE.

A

E F

B

1

C D

2

1 2

1 2

GT AEAB và AE =AB;

AFAC và AF =AC

KL a) BF = CE

b) BF CE

D A

F

E

1 2 I

1

Bài toán 5:

Ba đường thẳng xx’, yy’, zz’ cắt nhau tại điểm O Trên tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự ta lấy các điểm A, B, C và trên các tia Ox’, Oy’, Oz’ theo thứ tự ta lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho OA’=OA; OB’=OB; OC’=OC

a) Chứng minh ∆ABC=∆A’B’C’

b) Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

a) Ta có: OA=OA’

Oˆ 1 =Oˆ 2(Đối đỉnh) ⇒ ∆AOB=∆A’OB’ (C.G.C) ⇒ AB=A’B’

OB=OB’

Chứng minh tương tự ta có: BC=B’C’; AC=A’C’

Từ đó ⇒ ∆ABC=∆A’B’C’ (C.C.C)

b) Giả sử B nằm giửa A và C, ta có: AC = AB + BC

Mà A’B’=AB; B’C’=BC; A’C’=AC (∆ABC=∆A’B’C’)

⇒A’C’= A’B’ + B’C’ ⇒ A’, B’, C’ thẳng hàng.

(Ta có thể chứng minh A’B’//AB; B’C’//BC; A’C’//AC và A, B, C thẳng hàng

⇒A’B’//AB và A’C’//AB ⇒A’B’trùng với A’C’(Tiên đề Euclide) ⇒ A, B, C thẳng hàng.)

GT xx’, yy’, zz’ cắt nhau tại O;

OA’=OA; OB’=OB; OC’=OC

KL a) ABC=A’B’C’.

b) A, B, C thẳng hàng A’, B’, C’ thẳng hàng

A’

x’

O

C’

y’

A z’

C

x

y

z

1 1

II Bài tập luyện tập:

Bài tập 1:

Cho tam giác ABC và mọt điểm M thuộc cạnh AB Gọi N là trung điểm của cạnh AC.Trên tia

MN lấy điểm P sao cho NP=MN

Chứng minh MC//AP ; MC = AP ; PC//AM ; PC = AM

Bài tập 2:

Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox ta lấy hai điểm A, B (A nằm giữa O và B) Trên cạnh Oy ta lấy hai điểm C, D (C nằm giữa Ovà D) Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC, AD, BD, BC

a) So sánh các tam giác MNQ và PQN suy ra N MˆQ =Q PˆN

b) So sánh các đoạn thẳng MP và NQ khi x Oˆy = 90 0

Bài tập 3:

Cho hai tam giác ABC và ABD chung nhau cạnh AB và hai đỉnh C, D nằm ở hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AB Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

AC, CB, BD và AD

a) Chứng minh MN//PQ và MN = PQ

b) Giả sử AF DE Chứng minh MN PN

Bài tập 4:

Cho tam giác vuông ABC, AB = AC Qua A kẽ một đường thẳng d bất kì không cắt cạnh nào của tam giác Tư B và C, ta kẽ BD vuông góc với d, CE vuông góc với d

a) Chứng minh ∆ADB=∆CEA

b) Chứng minh BD + CE = DE

c) Giả sử AC = 2CE Tính số đo các góc ECB; CBD

d) Xét trường hợp đường thẳng d cắt cạnh BC tại một điểm Tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng BD, EC và DE

Bài tập 5:

Hai tam giác ABC và DBC có chung cạnh BC, hai đỉnh A và D nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng BC Biết rằng cạnh BC cũng là phân giác của các góc ADB, ACD a) So sánh các cạnh của hai tam giác ABC và DBC

b) Nối A và D với một điểm E thuộc cạnh BC So sánh các đoạn thẳng AE và DE Tìm phân giác của góc AED

c) Nối AD ; gọi F là giao điểm của AD và BC Chứng minh Flà trung điểm của AD và ta có

AD vuông góc với BC

Bài tập 6:

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẽ đường cao AH Từ H ta kẽ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC

a) Chứng minh DE = Ah

b) Chứng minh giao điểm K của DE và AH là trung điểm của DE và AH

c) So sánh các góc ADE và ACB

Bài tập 7:

Cho đoạn thẳng AB Trên AB lấy điểm M và trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AB ta vẽ các tam giác đều AMC và BMD Gọi E, F, I, Ktheo thứ tự là trung điểm của các doạn thẳng CM, CB, DM, DA

a) Chứng minh EF//KI

b) Chứng minh EI =KF

c) Chứng minh KF = 21 CD

Bài tập 8:

Cho tam giác ABC (AB< AC) Kẽ phân giác AL của góc A Từ trung điểm M của cạnh BC, kẽ đường thẳng vuông góc với AL, đường này cắt AC ở E và cắt AB ở D

a) Chứng minh AD = AE

b) Kẽ BB’//ED Chứng minh B’E = EC = BD

c) Chứng minh các hệ thức: 2AD = AC + AB; 2EC = AC – AB

d) Tính số đo góc BMD theo các góc B, C

e) Tìm trên tia phân giác AL một điểm N cách đều hai điểm B, C

Bài tập 9:

Ch tam giác đều ABC Trên tia BC lấy điểm M sao cho CM = BC Trên tia CA lấy điểm N sao cho AN= AC và trên tia AB lấy điểm P sao cho BP= AB

a) Chứng minh AM AP

b) Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều

Bài tập 10:

Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau Một cát tuyến cắt d và d’ lần lượt tại các điểm A, C Qua trung điểm O của AC, ta kẻ một các tuyến bất kì cắt d và d’ lần lượt tại các điểm D, B

a) Chứng minh AD =BC; AB//DC

b) Gọi M là trung điểm của DA và N là trung điểm của BC Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng MN

III Đề kiểm tra:

Câu 1:

Khoanh tròn chữ cái đứng trước đáp án đúng

*) Cho tam giác ABC và một điểm D thuộc miền trong của tam giác Ta có:

A B AˆC <B DˆC; B B AˆC >B DˆC; C B AˆC =B DˆC

Câu 2:

Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B với OA < OB Trên Oy lấy hai điểm C, D sao cho OC = OA; OD = OB

a) Chứng minh AD = BC

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC Chứng minh IA = IC ; ID = IB

c) Chứng minh I thuộc tia phân giác của góc xOy

Câu 3:

Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB Trên tia đối của tia DB lấy điểm N sao cho DN = DB Trên tia đối của tia EC lấy điểm M sao cho EM = EC

Chứng minh A là trung điểm của MN

*) Đáp án:

Câu 1: Chọn A (2đ).

Câu 2: Vẽ hình và ghi GT, KL đúng được 0,5đ.

a) Chứng minh ∆OAD = ∆OCB (C.G.C)⇒ AD = CB (1đ)

b) Chứng minh ∆IAB = ∆ICD (G.C.G) ⇒ IA = IC ; ID = IB (2đ).

c) Chứng minh ∆AOI = ∆BOI (C.C.C) ⇒ A OˆI =B OˆI ⇒ OI là tia phân giác của góc AOB

hay OI là tia phân giác của góc xOy hay I thuộc tia phân giác của góc xOy (1đ)

Câu 3: Vẽ hình và ghi GT, KL đúng được 0,5đ.

Chứng minh AM = AN và M, A, N thẳng hàng (2đ)

x

A

I

B

O

C

D

y

N

B

D E

C

*) Phân thời lượng:

Tiết 1: Bài toán 1 + Bài tập 1+ Bài tập 2

Tiết 2: Bài toán 2 + Bài tập 3 + Bài tập 4

Tiết 3: Bài toán 3 + Bài tập 5 + Bài tập 6

Tiết 4: Bài toán 4 + Bài tập 7 + Bài tập 8

Tiết 5: Bài toán 5 + Bài tập 9 + Bài tập 10

Tiết 6: Kiểm tra 1 tiết

A Mục tiêu:

- HS được ôn tập lại các trường hợp bằng nhau của tam giác thông qua các bài toán cụ thể

- HS nắm được cách chứng minh các đường đồng qui và chứng minh được tính chất đường trung bình của tam giác

- Rèn luyện cho HS kĩ năng phân tích một bài toán hình học để tìm phương pháp giải

- HS thành thạo việc chứng minh hai tam giác bằng nhau để từ đó chứng minh các dạng toán như là chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, ……

- Giáo dục cho HS tính chịu khó tư duy logic trong học toán hình