Bất đẳng thức của hàm số

Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông, nó vừa là đối tượng để nghiên cứu mà cũng vừa là một công cụ đắc lực, với những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các cấp những bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng toán khá quen thuộc, nhưng để tìm ra lời giải không phải là một việc dễ dàng.

L I NÓI Đ U Ờ Ầ

t đ ng th c là m t trong nh ng n i dung quan tr ng trong ch ng trình toán

ph  thông, nó v a là đ i tổ ừ ố ượng đ  nghiên c u mà cũng v a là m t công c  đ cể ứ ừ ộ ụ ắ  

l c, v i nh ng  ng d ng trong nhi u lĩnh v c khác nhau c a toán h c. Trong cácự ớ ữ ứ ụ ề ự ủ ọ  

đ  thi ch n h c sinh gi i   các c p nh ng bài toán ch ng minh b t đ ng th c thề ọ ọ ỏ ở ấ ữ ứ ấ ẳ ứ ườ  ng

xu t hi n nh  m t d ng toán khá quen thu c, nh ng đ  tìm ra l i gi i không ph i làấ ệ ư ộ ạ ộ ư ể ờ ả ả  

N i dung trong 5 v n đ  đ u đ  c p đ n vi c s  d ng các tính ch t đ i s  đ n gi nộ ấ ề ầ ề ậ ế ệ ử ụ ấ ạ ố ơ ả  

c a tích phân đ  ch ng minh m t s  bài toán liên quan, trên c  s  đó đ a ra nh ng ví dủ ể ứ ộ ố ơ ở ư ữ ụ 

áp d ng đ  sáng t o ra b t đ ng th c, 2 v n đ  còn l i đ  c p đ n vi c thông quaụ ể ạ ấ ẳ ứ ấ ề ạ ề ậ ế ệ  

nh ng ữ ướ ược l ng tr c quan t  hình h c đ  ch ng minh  b t đ ng th c kèm theo nh ngự ừ ọ ể ứ ấ ẳ ứ ữ  

ví d  minh ho  c  th ụ ạ ụ ể

Đ  hoàn thành ti u lu n này, chúng tôi đã c  g ng t p trung nghiên c u, xong do ítể ể ậ ố ắ ậ ứ  nhi u h n ch  v  th i gian cũng nh  v  năng l c nên ti u lu n ch c ch n còn nhi uề ạ ế ề ờ ư ề ự ể ậ ắ ắ ề  

v n đ  ch a đ  c p đ n ho c có đ  c p nh ng ch a đi sâu vào khai thác ý tấ ề ư ề ậ ế ặ ề ậ ư ư ưởng v nấ  

đ  Vì v y ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u xót nh t đ nh. Chúng tôi r t mong đề ậ ể ậ ỏ ữ ế ấ ị ấ ượ  c

s  ch  b o c a quý th y cô và các b n đ c v  ti u lu n này.ự ỉ ả ủ ầ ạ ọ ề ể ậ

Bài toán. Gi  s  r ng trên [a,b] hàm f(x) gi i n i và l i. Ch ng minh r ng ả ử ằ ớ ộ ồ ứ ằ

Vì f(x) l i trên [a,b] nên v i b t k  xồ ớ ấ ỳ 1,x2    [a,b] ta có b t đ ng th c so sánh f(ấ ẳ ứ 1x1 + 

2x2)    1f(x1) +  2f(x2) n u ế 1   0 ,  2   0 ,  1 +  2 = 1 (theo đ nh nghĩa)ị

Vì hàm l i trên m t đo n nên nó liên t c. Nh  v y, f(x) kh  tích trên [a,b]. S  d ngồ ộ ạ ụ ư ậ ả ử ụ  tính ch t l i c a f(x) ta cóấ ồ ủ

21

D u “=” x y ra khi và ch  khi f(x) = const.ấ ả ỉ

Ví d  2.1.ụ  Ch ng minh: v i ứ ớ  x > 0, ta có   2 ( ) 1

20

4 osa­cosbc b a− 2 b a− +sin 2a−sin 2b

Ví d  2.5. ụ V i 0< a < b . Ch ng minh ớ ứ ln 2 1 ( ) (arct ana arctan )

B t Đ ng Th c C a Hàm S  Liên T c Và Đ n Đi u ấ ẳ ứ ủ ố ụ ơ ệ

Bài toán 3.1. Cho f, g : [a,b]   R liên t c→ ụ

a) N u f, g đ u là hàm tăng. Ch ng minhế ề ứ

1 b f x g x dx( ) ( ) 1 b f x dx( ) 1 b g x dx( )

b a− a� b a− a� b a− a�

b) N u f,là hàm tăng ,g là hàm gi m. Ch ng minhế ả ứ

Chú ý. N u f, g đ u là hàm gi m thì b t đ ng th c câu a) v n đúng. T c là f, g đ nế ề ả ấ ẳ ứ ẫ ứ ơ  

đi u cùng chi u thì b t đ ng th c câu a) đúng.ệ ề ấ ẳ ứ

      N u f là hàm gi m, g là hàm tăng  thì b t đ ng th c câu b) v n đúng. T c là f, gế ả ấ ẳ ứ ẫ ứ  

đ n đi u ngơ ệ ược chi u thì b t đ ng th c câu b) đúng.ề ấ ẳ ứ

Bài toán 3.2. (Đ nh lý v  giá tr  trung bình) N u f kh  tích trên [a,b] thì t n t i ị ề ị ế ả ồ ạ

N u x = 0 ho c x = a thì đ ng th c x y ra.ế ặ ẳ ứ ả

N u 0 < x < a,vì f(t) ngh ch bi n trên [0,a] nên ế ị ế t, 0 < x   t   a ta có f(t)   f(x)

Ta ch ng minh đ ng th c x y ra khi x = 0 ho c x = a.ứ ẳ ứ ả ặ

Ch ng minh tứ ương t  ta có k t qu  sauự ế ả

Bài toán 3.4. N u f(t) liên t c và đ ng bi n trên [0,a], ế ụ ồ ế x   [0,a] thì

D u “=” x y ra khi và ch  khi  x = 0 ho c x = 1.ấ ả ỉ ặ

Ví d  3.6.ụ  Ch ng minh ứ  x   [2k ,(2k+1) ], sin3x + 3sinx­ 4 sinx 0

Suy ra sin3x+3sinx−4 sinx 0

D u “=” x y ra khi và ch  khi x = ấ ả ỉ

 Ta có th  m  r ng k t qu  trên b ng cách t  f(x)  ể ở ộ ế ả ằ ừ  g(x),  x  [a,b] ta l y tích ấ   phân nhi u l n ta thu đ ề ầ ượ c các b t đ ng th c ph c t p h n  ấ ẳ ứ ứ ạ ơ

       b x f t dt dx( ) b x f t dt dx( )

� ��� �� ���� ��  ,  a t x b< < < .

 T ươ ng t  ta có th  m  r ng cho tr ự ể ở ộ ườ ng h p hàm 2 bi n x, y. Cho f(x,y), g(x,y) ợ ế  

kh    tích trên D và f(x,y) ≥ g(x,y)  ả  (x,y)   D ta có 

       f x y dxdy( , ) g x y dxdy( , )

D� D� .N u f(x,y) kh  tích trên D và f(x,y) ≥ 0, ế ả (x,y)

D ta có f x y dxdy( , ) 0

D� . Khi d y cho h c sinh thì ta có th  h ạ ọ ể ướ ng d n cho ẫ  

h c sinh th y trong các tr ọ ấ ườ ng h p đ c bi t thì tích phân 2 l p có th  hi u là ợ ặ ệ ớ ể ể  

l y tích phân m t l p hai l n, coi x là tham s , ta l y tích phân theo bi n y, ấ ộ ớ ầ ố ấ ế   sau đó ta m i l y tích phân theo bi n x nh  th  vi c ch ng minh s  d  dàng ớ ấ ế ư ế ệ ứ ẽ ễ  

h n ơ

2'

N u x = a thì hi n nhiên đ ng th c x y ra.ế ể ẳ ứ ả

N u x ế  a. G i I là v  trái c a (1) khi đó ta có ọ ế ủ

N u x ế  a 

f a g a f a g t dt f a g a f a g t f a g x

a

Ch ng minh tứ ương t  ta có k t qu  sauự ế ả

Bài toán 4.3.  N u y = f(x), y = g(x) liên t c, không âm, tăng trên [0,+ế ụ ] sao cho f(0)g(0) = 0. Khi đó   a   0,   b   0 ta có 

Xét f(t) = t6, g(t) = e t2liên t c, không âm và đ ng bi n khi t ụ ồ ế  0. Khi đó   t   0,ta có 

D u “=” x y ra khi và ch  khi x = 1.ấ ả ỉ

( )1( )

Ta ch ng minh (*) b ng phứ ằ ương pháp quy n p .ạ

V i n = 1, t  eớ ừ t   1 v i t ớ  0 ta có v i x ớ  0 

(2 2)!! 22

n nx

n

n n

12

x v

131

ch ng minh b t đ ng th c, các ví d  sau s  s  d ng các  ng d ng c a tích phân đ ứ ấ ẳ ứ ụ ẽ ử ụ ứ ụ ủ ể  

t o ra nh ng b t đ ng th c và ch  có s  d ng tích phân m i ch ng minh đ ạ ữ ấ ẳ ứ ỉ ử ụ ớ ứ ượ c.

Bài toán 6.1. Cho cung AB c a đ  th  hàm liên t c y = f(x) trên [a,b]. G i l là đ  dàiủ ồ ị ụ ọ ộ  

cung AB thì l   ABđ ng th c x y ra khi và ch  khi y = f(x) = ax + b; a,b ẳ ứ ả ỉ  R

a a

Ta có AB= 4a3+4b3−8ab ab a+ 2+b2−2ab và  ' 3y = x nên đ  dài cung AB là ộ

21

ta có đpcm. Đ ng th c x y ra khi và ch  khi a = b.ẳ ứ ả ỉ

Bài toán 6.2. Cho cung AB c a đ  th  hàm liên t c y = f(x) trên [a,b].  Trên cung ABủ ồ ị ụ  

l y n đi m  ấ ể A1= A A, 2, ,A n =B. G i l,d là đ  dài cung AB và đ  dài đọ ộ ộ ường g pấ  

khúc A1= A A, 2, ,A n =B thì ta có l   d . Đ ng th c x y ra khi và ch  khi y= f(x) =ẳ ứ ả ỉ  

ax + b ; v i a,b ớ  R

Ví d  6.2.1.ụ  Cho 0   a   b   c   d   2  Ch ng minh r ngứ ằ

(b a− ) (2+ sinb−sina)2 + (c b− ) (2+ sinc−sinb)2 + (d c− ) (2+ sind−sinc)2 − −4 2π 0

4 ln

a a

Bài toán. Cho f(x) liên t c ,không âm trên [a,b]ụ  

thì di n tích gi i h n b i x = a, x = b, y =  0, y = f(x) là ệ ớ ạ ở S b f x dx( )

a

Bài toán 7.1. Cho y = f(x) liên t c không âm trên [a,b].G i S là di n tích gi i h n b iụ ọ ệ ớ ạ ở  

x = a, x = b, y = 0, y = f(x) ,Sht là di n tích hình thang có c nh đáy là f(a), f(b) và chi uệ ạ ề  cao b­a . Khi đó ta có 

1 y = f(x) có đ  th  l i thì S ồ ị ồ  Sht đ ng th c x y ra khi và ch  khi a = b.ẳ ứ ả ỉ

2 y = f(x) có đ  th  lõm thì S ồ ị   Sht đ ng th c x y ra khi và ch  khi a = b.ẳ ứ ả ỉ

BA

y

O

D u “=” x y ra khi và ch  khi a = b.ấ ả ỉ

e a

D u “=” x y ra khi và ch  khi a = b.ấ ả ỉ

Bài toán 7.2  Cho y = f(x) liên t c và không âm trên ụ [a,b]. Chia [a,b] thành n ph nầ  

b ng nhau b i các đi m chia ằ ở ể a x= o x1 x n =b. G i S là di n tích hình thangọ ệ  

cong gi i h n b i x = a, x = b, y = 0, y = f(x) thì ớ ạ ở S b f x dx( )

         D u “=” x y ra khi và ch  khi y = f(x) = ấ ả ỉ x +   ,v i ớ ,     R.

3) N u đ  th  y = f(x) l i thì Sế ồ ị ồ 3 < S

Khi đó S4 là t ng (n­1) di n tích hình thang có các đổ ệ ường trung bình AiMi (i = 2,3,…) có các đáy là các đo n ch n b i ti p tuy n v i đ  th  y = lnx t i Mạ ắ ở ế ế ớ ồ ị ạ i v i các đớ ường song song v i tr c tung xu t phát t  các đi m ớ ụ ấ ừ ể 1, 1

Bài toán 7.3. Cho y =  f(x) liên t c và không âm trên [a,b]. G i S là di n tích gi i h nụ ọ ệ ớ ạ  

b i x = a , x = b, y = 0, y =f(x) v i phép phân ho ch trên [a,b] b i các đi m chiaở ớ ạ ở ể  

         D u “=” x y ra khi và ch  khi y = f(x) = ấ ả ỉ x +   ,v i ớ ,     R

3) N u đ  th  y = f(x) l i thì Sế ồ ị ồ 3 < S

4) N u đ  th  y = f(x) lõm thì S < Sế ồ ị 3. 

3 2

y x

O

G i Sọ 2 là di n tích gi i h n b i ệ ớ ạ ở y= f( )α , y = b, x = 0 , y= f−1( )x  thì 

= . G i S là di n tích hình ch  nh t gi i h n b i x = 0, x = a, y = 0, yọ ệ ữ ậ ớ ạ ở  

= b thì S = ab. G i Sọ ’’ là di n tích hình ch  nh t gi i h n b i x = 0, x = ệ ữ ậ ớ ạ ở α, y = 0, y = 

D u “=” x y ra khi và ch  khi f(a) = b.ấ ả ỉ

Ví d  7.4.1.ụ  Cho a   0, b   1, ab =  2  Ch ng minhứ  

21

        Bài toán   v n đ  1 là m t  tr ở ấ ề ộ ườ ng h p riêng c a bài toán 7.1 ợ ủ

        Cho hàm s  y = f(x) > 0, v i x  ố ớ  [a,b] . V i m i phép phân ho ch [a,b] b i các ớ ọ ạ ở  

đi m chia  ể a a= 0 a1< <a n =b , ta có

S a i a i f a n f a i f x dx

a i

        Ph ng pháp đ  ra nh ng d ng toán nh  trên là ươ ể ữ ạ ư

 Xác đ nh đ ị ượ c hàm s  y = f(x) > 0 v i x  ố ớ  [a,b].

 Ch n   đ ọ ượ c   phép   phân   ho ch   và   bi u   di n   các   b t   đ ng   th c   qua ạ ể ễ ấ ẳ ứ  

, ,b ( )

S S f x dx

a và d a vào (*) đ  k t lu n b t đ ng th c. đ i v i bài toán max, ự ể ế ậ ấ ẳ ứ ố ớ   min ta c n l u ý kh  năng d u “=” x y ra ầ ư ả ấ ả

       Ta có th  m  r ng lên cho tích phân 2 l p nh  sau ể ở ộ ớ ư

      Cho f(x,y) > 0 kh  tích trên D. Cho m i phép phân ho ch trên D thành các mi n ả ọ ạ ề  

Cho y = f(x) liên t c và không âm trên [a,b] và g i A(a,f(a)), B(b,f(b)). Chia [a,b] thành ụ ọ  

n ph n b i các đi m chia :   ầ ở ể a x= 0 x1 x n=b . Trên cung AB l y các đi m ấ ể  

2 n 1 n n

2 1 1 2

3

1

2 n n

2 1 n 1 n n

2 1 1 2

a 1 a

a a

a a a a

3

1 a a 1 a

a a a

a a

12) Ch ng minh r ng ứ ằ

2 a 0 , 0

       ln(1 b2) ln(cosa)

2

1abb

arctan

b

13) Ch ng minh r ng ứ ằ 0 x1, x2 3ta có

5 2 3 x

x 1 1 x 1 1

PH  L C  Ụ Ụ

Gi i thi u m t s  hàm l i và hàm lõm ớ ệ ộ ố ồ

1) M t s  hàm l i ộ ố ồ

1 ( ) ln 1 , 0

ax ( ) ln(1 ),

f x x x

x x

1 ( ) ln(1 2 ), (0, )

sin k

( ) os , (0, ), 0

2 ( ) tan , (0, ), 1

2

a

e k

Ti u lu n đã t p trung nghiên c u m t s  v n đ  chính sau đây.ể ậ ậ ứ ộ ố ấ ề

1 Đã c  th  hoá các tính ch t đ i s  c a lý thuy t tích phân xác đ nh b ng nh ngụ ể ấ ạ ố ủ ế ị ằ ữ  bài toán và ví d  c  th  Ti u lu n còn đ a ra b ng m t s  hàm l i,hàm lõmụ ụ ể ể ậ ư ả ộ ố ồ  trong ph n ph  l c đ  ph c v  cho vi c sáng t o ra b t đ ng th c.ầ ụ ụ ể ụ ụ ệ ạ ấ ẳ ứ

2 S  d ng tính ch t hình h c c a tích phân đ  ch ng minh b t đ ng th c. Đây làử ụ ấ ọ ủ ể ứ ấ ẳ ứ  

m t v n đ  không m i nh ng còn ít tài li u toán THPT vi t v  v n đ  này.ộ ấ ề ớ ư ệ ế ề ấ ề

3 Trình bày h  th ng các ví d  áp d ng bao g m 50 bài, trong đó 28 bài thamệ ố ụ ụ ồ  

kh o trong các tài li u, còn l i 22 bài đả ệ ạ ược sáng tác d a trên nh ng k t qu  tự ữ ế ả ừ các bài toán

Trong quá trình th c hi n đ  tài chúng tôi còn th y m t s  v n đ  ch a đự ệ ề ấ ộ ố ấ ề ư ược đ  c pề ậ  

ho c có nh ng ch a đi sâu nghiên c u nh : d u hi u đ  nh n bi t các y u t  đ i sặ ư ư ứ ư ấ ệ ể ậ ế ế ố ạ ố cũng nh  hình h c c a tích phân trong các bài toán b t đ ng th c c  th , vi c mư ọ ủ ấ ẳ ứ ụ ể ệ ở 

r ng các tính ch t đ i s  c a tích phân xác đ nh cho tích phân 2 l p, 3 l p,…;m  r ngộ ấ ạ ố ủ ị ớ ớ ở ộ  tính ch t hình h c c a tích phân t  không gian 2 chi u lên 3 chi u, s  d ng tích phânấ ọ ủ ừ ề ề ử ụ  

đ  ch ng minh các b t đ ng th c ch a các s  t  h p, nghiên c u vi c dùng tích phânể ứ ấ ẳ ứ ứ ố ổ ợ ứ ệ  

đ  ch ng minh các b t đ ng th c c  b n nh  b t đ ng th c Jensen, b t đ ng th cể ứ ấ ẳ ứ ơ ả ư ấ ẳ ứ ấ ẳ ứ  Cosi,…Vì th i gian không cho phép nên chúng tôi ch a th  th c hiên đờ ư ể ự ược nh ng đi uữ ề  mong mu n nh ng ch c ch n trong th i gian đ n chúng tôi s  t p trung tìm hi u vàố ư ắ ắ ờ ế ẽ ậ ể  

đ  tâm nhi u h n v  nh ng v n đ  còn đ t ra.ể ề ơ ề ữ ấ ề ặ

[5] Nguy n Văn M u, B t đ ng th c đ nh lý và áp d ng, NXBGD.ễ ậ ấ ẳ ứ ị ụ

[6] H i toán h c VN, T p chí toán h c tu i tr ộ ọ ạ ọ ổ ẻ

[7] Lê H ng Đ c (2009), Phồ ứ ương pháp gi i toán tích phân, NXBĐHSP.ả

[8] Nguy n Văn Nho, Phễ ương pháp gi i toán chuyên đ  tích phân, NXBĐHQG Hà ả ề

        http://mathsvn.violet.vn/present/show/entry_id/2205346