vai trò công cụ của khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông

Với định hướng đó, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm hàm số trong chương trình toán ở trường phổ thông từ lớp 1 đến 6 và từ lớp 7 đến lớp 12 phần đại số, từ góc độ vai trò công cụ của

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn độc lập Những trích dẫn trong luận văn là hoàn toàn chính xác

M ỤC LỤC

Lời cam đoan 1

MỞ ĐẦU 6

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 6

2 Mục đích nghiên cứu 7

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu 7

4 Tổ chức của luận văn 9

Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ 11

1.1 Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm 11

1.1.1 Cơ chế công cụ 11

1.1.2 Cơ chế đối tượng 11

1.1.3 Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm 12

1.2 Phân tích khoa học luận khái niệm hàm số nhìn từ góc độ công cụ 12

1.2.1 Thời cổ đại 12

1.2.2 Thời trung đại 13

1.2.3 Thế kỷ 16 - 17 14

1.2.4 Thế kỷ 18 17

1.2.5 Nửa đầu thế kỷ 19 21

1.2.6 Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay 23

1.3 Kết luận chương 1 25

Chương 2: PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ NHÌN TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ 28

2.1 Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn từ lớp 1 đến lớp 6 28

2.2 Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 7 đến lớp 9 32

2.3 Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 10 đến lớp 12 39

2.4 Tóm tắt tiến trình giảng dạy hàm số và vai trò công cụ của nó trong chương trình Toán phổ thông 46

2.5 Kết luận chương 1-2 và giả thuyết nghiên cứu 48

Chương 3 THỰC NGHIỆM 49

3.1 Mục đích thực nghiệm 49

3.2 Đối tượng thực nghiệm 49

3.3 Xây dựng đồ án thực nghiệm 49

3.4 Biến tình huống, biến didactic của các bài toán thực nghiệm 50

3.5 Phân tích tiên nghiệm và ảnh hưởng của biến đến các chiến lược 51

3.6 Dự tính tiến trình dạy học 53

3.7 Phân tích hậu nghiệm 54

3.7.1 Ghi nhận tổng quát 55

3.7.2 Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 55

3.8 Kết luận chương 3 56

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

PHỤ LỤC 62

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Nhiều công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học cho thấy “ trong quá trình n ảy sinh và tiến triển của mình, hầu hết các khái niệm của toán học đều xuất hiện (trong lịch sử) trước hết như một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các vấn

đề nào đó, sau đó chúng mới là đối tượng nghiên cứu của toán học Khi đã có vị trí chính thức của một khái niệm toán học nó lại được sử dụng như một công cụ tường minh để giải quyết các vấn đề khác” 1

Nói cách khác, chúng thường nảy sinh và tiến triển theo tiến trình : Công cụ → Đối tượng → Công cụ

Rõ ràng rằng sự xuất hiện theo tiến trình này của một khái niệm toán học cho phép giải thích rõ “nghĩa” của khái niệm (lí do nảy sinh khái niệm, đặc trưng của các tình huống gắn liền với sự nảy sinh đó,…)

Điều này có còn đúng với các khái niệm toán học được giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ?

Có sự tương đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận một khái niệm trong chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử? Làm thế nào xây dựng các tình huống giảng dạy cho phép một khái niệm toán học xuất hiện trước hết với vai trò công cụ, trước khi định nghĩa và nghiên cứu về nó?

Trên đây là một số câu hỏi lôi cuốn sự quan tâm đặc biệt của chúng tôi Tuy nhiên, trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, việc tìm câu trả lời đòi hỏi chúng tôi phải hạn chế nghiên cứu của mình vào một khái niệm ở một cấp độ chương trình cụ thể và một số mặt nghiên cứu xác định

Với định hướng đó, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm hàm số trong chương trình toán ở trường phổ thông (từ lớp 1 đến 6 và từ lớp 7 đến lớp 12 phần đại số), từ góc độ vai trò công cụ của nó với các lí do sau đây :

- Đó là một trong các khái niệm chiếm vị trí quan trọng nhất của chương trình

1 Nguồn: Lê Văn Tiến - Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - NXB ĐHSP 2003

Đặc biệt, nó xuất hiện ngay từ bậc tiểu học (chẳng hạn, ngầm ẩn qua các bảng tương ứng)

- Nó thường được sử dụng như công cụ để nghiên cứu nhiều khái niệm toán học khác trong chương trình

- Ở Việt Nam, quán triệt “Quan điểm hàm” hay “Tư duy hàm” thường được khuyết khích nhấn mạnh trong dạy học toán ở trường phổ thông

- Làm thế nào xây dựng tình huống giảng dạy để khái niệm hàm số xuất hiện trước hết với vai trò công cụ, trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu ?

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm

của Lý thuyết tình huống như: khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ án didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình huống

Sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học như: tổ chức toán học, quan

hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế

với khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng

didactic được sử dụng để giải thích các ứng xử của học sinh trong tình huống thực

nghiệm

Chúng tôi xem khái niệm hàm số trong một số giáo trình đại học hiện nay

như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học để tham chiếu

Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

của mình như sau:

Q 1 : Từ những công trình nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm hàm số đã có,

khái niệm hàm số đã xuất hiện theo tiến trình nào ? Trong tiến trình đó, vai trò công

cụ của khái niệm hàm số thể hiện ra sao ? Những tình huống nào cho phép khái

niệm hàm số xuất hiện với vai trò công cụ ? Đặc trưng của những tình huống này ?

Q 2 : Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, khái niệm hàm số

được đưa vào giảng dạy có theo tiến trình nào? Trước và sau khi khái niệm hàm số

được giảng dạy, vai trò công cụ của khái niệm này thể hiện ra sao? Có sự tương

đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình

toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử ?

Q 3 : Làm thế nào xây dựng một đồ án didactic để giảng dạy khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ

lệ nghịch bằng cách vận dụng vai trò công cụ (ngầm ẩn) của khái niệm hàm số

trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu trong chương trình toán phổ

thông?

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp

nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau:

+ Trước hết chúng tôi nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình khái niệm hàm

số nhìn từ góc độ vai trò công cụ trên cơ sở phân tích, tổng hợp một số công trình

đã có về nghiên cứu lịch sử khái niệm hàm số để trả lời câu hỏi Q 1 chúng tôi nêu ở trên

+ Tiếp theo chúng tôi thực hiện một phân tích thứ hai là phân tích mối quan

hệ thể chế với khái niệm hàm số (nhìn từ góc độ vai trò công cụ) Chúng tôi sẽ tiến thành phân tích sách giáo khoa toán hiện hành để trả lời câu hỏi Q 2

+ Trên cơ sở các phân tích trên chúng tôi nghiên cứu xây dựng các công đoạn

dạy học khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch bằng việc vận dụng công cụ của khái

niệm hàm số Chúng tôi xây dựng đồ án - Phân tích apriori tình huống - Thực nghiệm đồ án và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với phân tích a priori

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương:

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn

đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu

và cấu trúc của luận văn

+ Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khoa học luận khái niệm hàm số từ góc độ vai trò công cụ Cụ thể là phân tích tiến trình xuất hiện của các khái niệm hàm số qua các thời kì, tương ứng với các khái niệm đó chúng tôi xem xét vai trò công cụ của nó, và các tình huống dẫn đến khái niệm này

+ Chương 2 là sự phân tích bộ SGK Toán của Việt Nam (từ lớp 1 đến lớp 12) nhìn từ góc độ vai trò công cụ Với mục đích phân tích: phân tích tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong sách giáo khoa ; xem xét vai trò công cụ (ngầm ẩn – tường

minh) của khái niệm này trước và sau khi sách giáo khoa đưa ra định nghĩa Từ đó, chúng tôi đối chiếu tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử

+ Chương 3 xây dựng đồ án, phân tích apriori tình huống, thực nghiệm đồ án

và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với phân tích a priori + Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1,

2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn

Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG

CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ

Mục tiêu của chương

Phần đầu của chương này chúng tôi trình bày cơ chế hoạt động của khái niệm: cơ chế đối tượng, cơ chế công cụ2

Từ đó, dựa trên một số tài liệu về lịch sử toán học đã có chúng tôi tiến hành phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ của nó Chúng tôi phân tích, xem xét các tình huống, các bài toán dẫn đến khái niệm hàm số mà khái niệm hàm số được vận dụng như một công cụ để giải quyết tình huống, bài toán

1.1 Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm

R.Douady phân biệt ba cơ chế hoạt động khác nhau của khái niệm toán học: cơ chế “Đối tượng”, cơ chế “Công cụ ngầm ẩn” và cơ chế “Công cụ tường minh”

1.1.1 Cơ chế công cụ

Ta nói, một khái niệm hoạt động dưới dạng Công cụ khi nó được sử dụng một

cách ngầm ẩn hay rõ ràng như một phương tiện để giải quyết một bài toán, một vấn

đề

Ta nói đến Công cụ rõ ràng đối với các khái niệm được vận dụng bởi chủ thể

và chủ thể có thể trình bày, giải thích việc dùng chúng

Ta nói đến Công cụ ngầm ẩn đối với các khái niệm được vận dụng ngầm ẩn

bởi chủ thể và chủ thể không thể trình bày hay giải thích việc dùng này

1.1.2 Cơ chế đối tượng

Ở cấp độ tri thức khoa học, một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng, theo nghĩa một đối tượng văn hóa có vị trí trong cơ cấu tổ chức rộng hơn, đó là tri thức khoa học ở một thời điểm đã cho, được thừa nhận bởi xã hội, chúng là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học

2 Ngu ồn: Lê Văn Tiến - Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - NXB ĐHSP 2003

Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được định nghĩa, được khai thác các tính chất,…)

1.1.3 Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm

Theo Yves Chevallar (1991), một khái niệm toán học có thể thể hiện dưới ba hình thức sau đây:

Khái niệm tiền toán học (protomathématique) : không tên, không định nghĩa, hoạt động như một công cụ ngầm ẩn

Khái niệm gần toán (paramethématique) : có tên, không có định nghĩa Chúng

là những khái niệm công cụ của hoạt động toán học Nói chung, chúng không phải

là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học

Khái niệm toán học: chúng vừa là đối tượng nghiên cứu vừa là công cụ được vận dụng để giải quyết các vấn đề Chúng có tên và được định nghĩa ( theo nghĩa chặt chẽ, hay theo kiểu quy ước, mô tả, kiến thiết,…)

Chú ý: Các cơ chế hoạt động và các hình thức thể hiện của một khái niệm chỉ

có tính chất tương đối Việc phân biệt phải căn cứ vào cấp độ, nơi, thời gian, phạm

Bảng bình phương của người Babylon

Rõ ràng trong các bảng này xác định sự tương ứng một - một: ứng với một số

tự nhiên có bình phương tương ứng của nó, theo chiều ngược lại ứng với một

số, có căn bậc hai (dương) của nó tương ứng Theo toán học hiện đại những

b ảng này xác định một hàm số từ  đến  ET Bell đã viết năm 1945: “Sẽ không nói quá khi cho rằng, người Babylon cổ đại, với thiên hướng về hàm số; một hàm số được định nghĩa là một bảng hay một sự tương ứng”

Tại hội thảo R.E.M 1995, Annie Bessot viết: “các khái niệm về hàm số không

có ch ỗ trong toán học Hy Lạp.” Còn J J O'Connor và E F Robertson khẳng định

“Chúng tôi phải từ chối các đề nghị cho rằng khái niệm hàm số có mặt trong toán học Babylon ngay cả khi chúng ta thấy rằng họ đã nghiên cứu các hàm số cụ thể.”

Công cụ ngầm ẩn của khái niệm hàm số trong thời kì này thể hiện trong việc

sử dụng các bảng này Ứng với một số tự nhiên có căn bậc hai, căn bậc ba tương ứng của nó Theo chiều ngược lại, ứng với một số tự nhiên có bình phương, lập phương tương ứng của số đó

1.2.2 Thời trung đại

Theo PGS TS Lê Thị Hoài Châu:“Đây là thời kỳ mà người ta tìm cách định lượng một số hiện tượng hay một số đại lượng như vận tốc, nhiệt độ, mật độ…Các quy luật của hiện tượng tự nhiên bắt đầu được nghiên cứu như những luật kiểu hàm số” 3

Youschkevitch đã viết , “ Năm 1350 Oresme đã mô tả các quy luật tự nhiên như sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác” 4 Chẳng hạn, N.Oresme (1323 -1382) đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động theo thời gian bằng hình học như sau:

Và liên quan đến vận tốc Oresme đã đưa ra một phép chứng minh bằng hình học cho kết quả sau: trong một khoảng thời gian xác định, một vật chuyển động nhanh dần đều sẽ đi được một quãng đường bằng với quãng đường vật thứ hai chuyển động đều với vận tốc bằng trung bình cộng các vận tốc ở hai đầu mút của vật thứ nhất Oresme đã chứng minh như sau:

Đường nằm ngang AB biểu diễn cho thời gian, đường thẳng đứng AC biểu diễn cho vận tốc tức thời, F là trung điểm AC biểu diễn cho vận tốc chuyển động đều thì diện tích tam giác ABC là quãng đường vật chuyển động nhanh dần đều đi được, diện tích hình chữ nhật AFGH là quãng đường vật chuyển động đều đi được, và diện tích hai hình này bằng nhau

Nếu gọi a là gia tốc của vật thứ nhất, gốc thời gian tại A thì trục AC biểu diễn

vận tốc tức thời v=at Hay trục AC là biểu diễn hình học của hàm vận tốc theo

thời gian t , tương ứng với thời gian t B ta có vận tốc v C tương ứng Trong chứng minh trên còn thể hiện ngầm ẩn công thức tính quãng đường vật chuyển động nhanh

S t = AB AC = AB AF× = t at× = at , và hàm S(t) được biểu diễm ngầm ẩn bằng diện tích tam giác ABC hay diện tích hình chữ nhật ABGF

Trong thời kỳ này hàm số vẫn chưa xuất hiện, chưa được định nghĩa, hàm số xuất hiện ngầm ẩn, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng chỉ được mô tả bằng lời, bằng hình học Và hàm số được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn để giải thích hay chứng minh một hiện tượng Vật lý và quy luật của các hiện tượng tự nhiên

“Với sự ra đời của ngành Đại số Viète (Viète 1540-1603) đã cho phép ghi một biểu thức bao gồm cả các đại lượng đã biết và chưa biết Chính sự ra đời của ngành đại số hiện đại này đã ảnh hưởng rất lớn đến quá trình hình thành khái niệm hàm số trong toán học” 5

Trong thời điểm này, những nghiên cứu về chuyển động của Galileo cho thấy

Ông đã hiểu rất rõ về mối quan hệ giữa các biến Galileo nhấn mạnh rằng “toán học

là công cụ thích hợp nhất để nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên” Theo Ông, để

nghiên cứu một hiện tượng, nhất định cần phải đo lường số lượng, xác định quy luật, và phải được mô tả một cách đơn giản nhất có thể bằng toán học Năm 1638 Galileo nghiên cứu hai đường tròn đồng tâm O, đường tròn lớn hơn (C’) có bán

kính gấp 2 lần bán kính đường tròn nhỏ (C) Các công thức quen thuộc cho chu vi của (C’) gấp hai chu vi của (C) Tuy nhiên với điểm P bất kỳ trên (C) nối OP cắt (C’) tại duy nhất một điểm P’ Cho thấy Galileo đã xây dựng một “hàm số” : một điểm trên (C ) tương ứng với duy nhất một điểm trên (C’) Tương tự, nếu lấy điểm

Q bất kỳ trên (C’), nối QO cũng cắt (C ) tại duy nhất một điểm Q’ Một lần nữa Galileo lại có một “hàm số”: một điểm trên (C’) ứng với một điểm trên (C )

Qua đó cho thấy Galileo đã chứng minh hai đường tròn trên có cùng số điểm, mặc

dù chu vi của (C’) gấp hai chu vi của (C) Hay hàm số được vận dụng như một công

cụ ngầm ẩn để chứng minh hai đường trong trên có cùng “lực lượng” điểm

Cùng thời với Galileo, Descartesđã giới thiệu đại số trong hình học trong cuốn

La Géométrie Ông nói “ Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng đối với

đường y ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta

có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ đó ta mô tả được đường cong mong muốn” Trong mô tả trên tương ứng mỗi giá trị của “đường y” ta

có tương ứng giá trị của “đường x”, chính sự tương ứng đó mô tả một đường cong

Vì vậy, có thể nói khái niệm hàm số đã xuất hiện ngầm ẩn bằng đường cong hình

hạn, do đó cho phép sự can thiệp của các quá trình vô hạn trong tính toán Ông đã

sử dụng thuật ngữ "fluent" để chỉ các biến độc lập, "relata quantitas" để chỉ ra các

biến phụ thuộc và "genita" để chỉ kết quả thu được từ bốn phép tính cơ bản của số học

Leibniz (1646-1716), là người đầu tiên đã sử dụng từ hàm số để mô tả những vấn đề rất chung về sự phụ thuộc của các đại lượng hình học như tiếp tuyến và pháp tuyến vào hình dạng của đường cong , Leibniz viết vào tháng 8 năm 1673: “… dạng khác của đường, mà theo hình đã cho biểu diễn một hàm số nào đó” Ông cũng đưa vào các thuật ngữ “ biến số”, “hằng số” , “tham số”, “tọa độ”

Trong một bức thư của Johann Bernoulli (1667- 1727) gửi cho Leibniz ngày

02 tháng 9 năm 1694 Bernoulli đã diễn tả một hàm số như là “… một đại lượng được hình thành từ biến số và hằng số theo một cách nào đó” PGS.TS Lê Thị Hoài Châu đã nhận xét về định nghĩa hàm số của Bernoulli như sau: “ Trong chiều sâu của định nghĩa chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý tưởng biểu diễn hàm số bằng một công thức giải tích Nhưng dường như không phải Bernoulli đã hiểu rằng hàm số còn là một cái gì đấy khác với những biểu thức giải tích được biết đến ở thời điểm đó.”

Một trong những phát minh gây chấn động trong giới khoa học Anh trong thế

kỷ này là phát minh của Jonh Napier (1550 – 1617) về logairt Bảng logarit các số

từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số sau dấu phẩy6

Chính bảng logarit này đã giúp các nhà “khoa học” lúc bấy giờ tiết kiệm rất nhiều thời gian trong tính toán và nghiên cứu thiên văn

Tóm lại trong thế kỷ 16 – 17 khái niệm hàm số đã được mô tả ngầm ẩn bằng hình học, bằng đường cong hình học Đến cuối thế kỉ 17 Johann Bernoulli đã định

nghĩa hàm số, nhưng định nghĩa này thiếu chính xác, “ý tưởng của định nghĩa là hàm số được cho bằng biểu thức giải tích”7 Hàm số được sử dụng như một công cụ

ngầm ẩn để chứng minh toán học (chứng minh hai đường tròn có bán kính khác nhau nhưng có cùng “lực lượng điểm”), mô tả đường cong hình học, xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại một điểm, tìm logarit qua bảng tính của Nepier,…

Euler không định nghĩa “biểu thức giải tích” nhưng có thể hiểu “biểu thức giải tích” bao gồm các phép toán đại số, phép lấy căn, chuỗi số, hàm số mũ, logarit, lượng giác, đạo hàm, tích phân Euler cũng phân chia hàm số thành các loại khác nhau như hàm số đại số, hàm số siêu việt Ví dụ các hàm siêu việt: hàm số mũ, hàm số logarit…Và Ông cho rằng tất cả các hàm siêu việt cần được nghiên cứu bằng cách khai triển nó thành chuỗi (nhưng phải chứng minh trong

6 Nguồn : Nguyễn Cang – Lịch sử Toán học

7 Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM

8 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

từng trường hợp cụ thể) Euler còn đưa ra định nghĩa hàm số liên tục là hàm “chỉ

bểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích”9

Một trong trong những bài toán nổi tiếng ở thế kỷ 17- 18 là bài toán Basel:

nhà Toán học đương đại Euler đã vận dụng hàm số để giải bài toán Besel như sau:

Euler dùng khai triển hàm sin x

Ông lập luận rằng hệ số chứa x 2ở (1) và (2) phải bằng nhau, do đó ta được:

2 2

π π

−

Nhận xét: Euler đã vận dụng công thức khai triển hàm sinx tại x= 0 của Newton , và

tính toán hình thức trên biểu thức vô hạn Sử dụng phương pháp đồng nhất thức của

hai đẳng thức bằng nhau (1) và (2) được kết quả ( 1 1 1 1 ) 12 1

Một trong các vấn đề gây tranh cãi nhiều trong thời gian này đó là bài toán Vibrating-String: Một dây đàn hồi có hai đầu cố định là 0 và l , nó được làm biến

dạng thành một số hình dạng ban đầu, sau đó nó được thả ra cho dao động Vấn đề đặt ra là xác định một hàm số mô tả hình dạng của chuỗi tại thời gian t

Để hiểu được các cuộc tranh luận xung quanh vấn đề chuỗi dao động, đầu tiên chúng ta phải đề cập đến “tín điều” (article of faith) của toán học ở thế kỷ 18:

“N ếu hai biểu thức giải tích đồng nhất trên một khoảng thì chúng đồng nhất trên

Do vậy ϕ xác định trên (0; l ) và biểu diễn hình dạng ban đầu của dây rung, ϕlà hàm liên tục và là hàm tuần hoàn lẻ với chu kì 2l D'Alembert cho rằng hàm ϕ ( ) x (cũng như f(x)) phải là một biểu thức giải tích, do đó nó phải cho bằng công thức

Hơn nữa biểu thức giải tích thỏa phương trình wave equation và phải khả vi cấp hai

Năm 1748, Euler đã viết một bài báo về bài toán này, trong đó ông hoàn toàn đồng ý với d'Alembert giải pháp mà d'Alembert đưa ra, nhưng khác với d'Alembert

về giải thích của mình Euler lập luận rằng giải pháp d'Alembert's không “tổng quát”, Ông khẳng định rằng với thực nghiệm cho thấy khi cho các giá trị t khác

nhau vào phương trình ( , ) ( ) ( )

2

y x t =ϕ + +ϕ −

ta được hình dạng của dây

rung, ngay cả khi hình dạng ban đầu của dây rung không được biểu diễn bằng một đơn công thức giải tích (biểu thức đơn) Nhìn nhận theo quan điểm vật lý, Euler lập

luận rằng hình dạng ban đầu của chuỗi có thể được cho:(a) hoặc bởi nhiều công

thức khác nhau trên khoảng con của khoảng (0; ) l ; (b)hoặc bằng cung tùy ý được vẽ (bằng tay) Nhưng cả hai loại hàm số (a) và (b) là không liên tục (theo quan điểm toán học lúc đó), vì vậy giải pháp của d'Alembert's không tổng quát

Năm 1753, Daniel Bernoulli đưa ra lời giải: Phương trình của chuỗi rung:

Cả Euler và d'Alembert đều không chấp nhận giải pháp của Bernoulli, họ cho

rằng giải pháp của Bernoulli là “ấu trĩ” vì theo “ tín điều” toán học lúc bấy giờ thì ( )

f x và

1

sin

n n

n x b

n x b

Cuộc tranh luận kéo dài đến vài năm sau, có cả sự tham gia của Lagrange

nhưng không giải quyết được vấn đề Nguyên nhân do quan niệm “hàm số” phải là

biểu thức giải tích Như A Brief Survey đã viết “tuy r ằng cuộc tranh luận không

có h ồi kết, nhưng nó có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển mở rộng khái

ni ệm hàm số”11

Tóm l ại: Hàm số trong giai đoạn này được định nghĩa là biểu thức giải tích

Trong giai đoạn này hàm số được sử dụng như một công cụ để tính tổng của chuỗi

vô hạn, để nghiên cứu các vấn đề của vật lý,…

1.2.5 N ửa đầu thế kỷ 19

Trong các tác phẩm của Euler và Lagrange, một hàm số được gọi là liên tục

nếu nó được biểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích (biểu thức giải tích

đơn), một hàm là không liên tục nếu nó được cho bằng hai hay nhiều biểu thức giải

tích (hàm hỗn hợp) Tuy nhiên Cauchy đã chỉ ra rằng định nghĩa trên là thiếu chính

xác và đưa ra phản ví dụ sau: 2 khi 0

 Cauchy cho rằng nghịch lý này

sẽ biến mất khi các định nghĩa cũ được thay bằng định nghĩa mới: "Khi các biến

được cho cùng nhau, nếu giá trị của một trong các biến được cho, ta có thể tính

được giá trị của tất cả các biến còn lại Thường thì các biến phụ thuộc vào một biến

nào đó, khi đó biến này gọi là biến độc lập, và đại lượng phụ thuộc vào biến độc

l ập được gọi là hàm số của biến này” 12 Định nghĩa này được Cauchy giới thiệu

năm 1821, trong tác phẩm Cours d'anlyse.

11

Ngu ồn: Evolution of the Function Concept: A Brief Surve

12 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

Trong tác phẩm Théorie analytique de la Chaleur xất bản năm 1822, Fourier

đã định nghiã hàm số như sau: “ Nói chung, một hàm số f(x) đại diện cho một loạt các giá trị hoặc tung độ của các giá trị được cho Với vô số giá trị của đường ngang x, ứng với vô số giá trị f(x) của đường thẳng đứng Tất các các giá trị bằng

số, số dương hoặc âm, hoặc số không Chúng tôi cho rằng giá trị tung độ không bắt buộc phải có cùng quy luật, chúng có thể hình thành bằng bất cứ cách nào, và với mỗi giá trị của biến được cho thì có duy nhất một giá trị f(x)” 13 Rõ ràng định nghĩa hàm số của Fourier đã không còn phụ thuộc vào biểu thức giải tích, và trong định nghĩa trên đã nhấn mạnh đến tự tương ứng

Năm 1837, Dirichlet đưa ra định nghĩa hàm số: “ y là hàm số của biến x, xác định trên khoảng a < x < b, nếu mọi giá trị của biến x trong khoảng này có tương ứng một giá trị của biến y Ngoài ra nó không phụ thuộc vào sự tương ứng được thiết lập.” 14

Và Ông cũng đưa ra định nghĩa hàm sồ liên tục : “Gọi a , b là hai giá

tr ị cố định, x là một đại lượng biến thiên giữa a và b Nếu tương ứng với mỗi x đều

có m ột giá trị xác định y = f(x), và y biến thiên một cách liên tục khi chính x biến thiên m ột cách liên tục từ a đến b, thì ta nói y là một hàm số liên tục trên khoảng này Theo quan điểm hình học, nếu xem x và y như là hoành độ và tung độ của một điểm, sao cho với mỗi giá trị của x thuộc khoảng được xét đều tương ứng với một

và ch ỉ một giá trị của y, thì sự liên tục của hàm số sẽ xảy ra khi đường cong là liền nét trong m ột khoảng” 15

Trong bài báo xuất bản năm 1829 Dirichlet đã đưa ra một ví dụ một hàm xác định trên đoạn [0 ;1] không liên tục tại mọi điểm: ( ) 0

13 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

14 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

15 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

Nếu x là số vô tỉ

Nếu x là số hữu tỉ

Năm 1838 Lobachevsky định nghĩa hàm số: “ Một hàm số của x là một số được cho với mỗi x và biến đổi dần dần cùng với x Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức giải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các số và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn tại nhưng còn chưa được biết” 16 Rõ ràng theo định nghĩa này thì hàm Dirichlet không

là hàm số vì f(x) không biến đổi dần dần cùng với x

Khái niệm hàm số liên tục được ứng dụng trong việc chứng minh phương trình

bậc cao có nghiệm trên một khoảng Như trong giáo trình Toán của Viện Toán, và trong nhiều giáo trình đại học trình bày định lý Bolzano – Cauchy: “ Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì có ít nh ất một điểm c∈( ; )a b sao cho f(c) = 0”

Tóm l ại: Trong nửa đầu thế kỷ 19 các nhà toán học quan tâm nhiều đến hàm số liên

tục Chính định nghĩa hàm số liên tục đã dẫn đến mâu thuẫn, và để khắc phục mâu thuẫn này các nhà toán học đã đưa ra định nghĩa mới Như định nghĩa của Fourier

đã bắt đầu nhấn mạnh đến sự tương ứng phụ thuộc Khái niệm hàm số liên tục được

sử dụng như một công cụ để chứng minh phương trình bậc cao có nghiệm trong một khoảng

1.2.6 Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay

Năm 1874 đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tập hợp được khởi sướng

b ởi Cantor (1845-1918) Chính sự ra đời của lý thuyết tập hợp này khái niệm hàm s ố đòi hỏi phải được mở rộng để ứng dụng trong khoa học và thực tiễn, người ta bắt đầu định nghĩa hàm số dựa trên ánh xạ của hai tập

Năm 1917 Caratheodory đã định nghĩa hàm số “ là sự tương ứng giữa tập A

và t ập số thực”

Trong tập một của bộ “cơ sở giải tích và lý thuyết tập hợp” của Bourbaki

xuất bản năm 1939 khái niệm hàm số đã được định nghĩa như sau: “Cho E và F là

16 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

hai t ập hợp phân biệt hoặc không Quan hệ gữa phần tử x thuộc E với một phần tử

y thu ộc F gọi là quan hệ hàm nếu với mỗi x thuộc E tồn tại một và chỉ một phần tử

y c ủa F có quan hệ với x Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp mỗi thao tác kết

h ợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ với x Ta nói y là giá

tr ị của hàm đối với phần tử x, và hàm được xác định bởi quan hệ hàm đã cho”

Định nghĩa của Schwatz (Sinh ở Paris năm 1915):

“ Gi ả sử E và F là hai tập hợp, ta gọi là một ánh xạ từ E vào F hay một hàm xác định trong E và lấy giá trị trong F khi tất cả các tương ứng f theo đó mỗi phần

t ử x của E được đặt với một phần tử kí hiệu là f(x) của F

Kí hi ệu f

E → Fcó nghĩa: f là ánh xạ từ E vào F E gọi là tập nguồn và F được gọi là tập đích của ánh xạ”

Định nghĩa hàm số trong giáo trình toán cao cấp (A1) của TS Vũ Gia Tê:

“Cho X là m ột tập không rỗng của  M ột ánh xạ f từ X vào  g ọi là một hàm s ố một biến

f X : → 

x  f x ( )

X g ọi là tập xác định của hàm sô, f(X) gọi là tập giá trị của f Đôi khi ký hiệu

( ),

y = f x x ∈ X , x g ọi là đối số, y gọi là hàm số”

Định nghĩa hàm số trong giáo trình giải tích 1 của TS Đinh Thế Lục (chủ biên) – Viện Toán học:

“Cho X, Y là hai t ập khác rỗng của tập số thực  Phép ứng f từ X vào Y

g ọi là hàm số trên X

Ta vi ết y = f x ( ) có nghĩa y là giá trị (trong Y) ứng với x (trong X)

Người ta gọi x là biến độc lập (hay đối số), y là biến phụ thuộc hay giá trị

c ủa của hàm số f tại x

T ập X gọi là miền xác định của hàm số f

T ập Rf = { / y ∃ ∈ x X y : = f x ( )} được gọi là miền giá trị (hay tập ảnh) của

hàm f Mi ền giá trị không nhất thiết phải bằng toàn bộ Y”

Ngày nay Toán học có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Như João Pedro Ponte17 viết: “ Ngày nay Toán học không chỉ dành riêng cho khoa học Vật lý như trong quá kh ứ Toán học đã được vận dụng trong nhiều lĩnh vực Nó trở thành một công c ụ cho việc nghiên cứu các hiện tượng và tình trạng của khoa học sinh học, khoa h ọc con người và xã hội, kinh doanh, truyền thông, kỹ thuật và công nghệ Toán h ọc có chức năng mô tả, giải thích dự đoán và kiểm soát”

Đặc trưng của khái ni ệm

+ Phụ thuộc

ngầm ẩn + Biến thiên

ngầm ẩn + Tương ứng

ngầm ẩn + Biến thiên

ngầm ẩn + Tương ứng

hiện trong việc tính toán

trên các biểu thức vô hạn

+ Bắt đầu là đối tượng

nghiên cứu

+ Bắt đầu có tên có định nghĩa

+ Bắt đầu đề

cập đến sự phụ thuộc và biến thiên

+ Tương ứng

ngầm ẩn

+ Biểu thức + Bằng hình

học + Bằng đường cong hình học

Thế kỷ

18

+ Công cụ tường minh

trong việc mô tả, giải

minh trong toán học

+ Là đối tượng nghiên

cứu

+ Có tên, có định nghĩa

+ Phụ thuộc tường minh + Biến thiên tường minh + Tương ứng

ngầm ẩn

+ Bằng đường cong (đồ thị) + Bằng biểu

thức giải tích

Nửa

đầu thế

kỷ 19

+ Công cụ tường minh

trong việc mô tả, giải

thích, chứng minh các

hiện tượng, quy luật vật

lý

+ Có tên, có định nghĩa

+ Tương ứng tường minh + Phụ thuộc

ngầm ẩn

+ Bằng đồ thị + Bằng biểu

thức giải tích + Bằng quy

+ Công cụ tường minh

+ Công cụ tường minh

trong việc mô tả, giải

thích, chứng minh các

hiện tượng, tình trạng

của khoa học vật lý, sinh

học, khoa học con người

và xã hội, kinh doanh,

truyền thông, khoa học

+ Tương ứng tường minh + Phụ thuộc

ngầm ẩn + Biến thiên

ngầm ẩn

+ Bằng ánh

xạ + Bằng biểu

thức giải tích + Bằng đồ thị + Bằng biểu

đồ ven + Bằng bảng

Chương 2: PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ NHÌN TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ

Mục tiêu của chương

Trong chương này chúng tôi tiến hành phân tích sách giáo khoa toán từ lớp 1 đến lớp 12 hiện hành ở Việt Nam Với mục đích phân tích: xem xét tiến trình khái niệm hàm số được thể chế đưa vào giảng dạy trong sách giáo khoa, xem xét vai trò công cụ của khái niệm hàm số trước và sau khi khái niệm hàm số được định nghĩa

Từ đó đối chiếu so sánh sự tương đồng và khác biệt của tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông và tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử

2.1 Hàm s ố và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn từ lớp 1 đến lớp 6

Ngay ở lớp 1, khái niệm tương ứng kiểu hàm số đã xuất hiện một cách ngầm

ẩn, chẳng hạn so sánh hai số tự nhiên được quy về nhiều hơn – ít hơn của số vật thể

( Hình trích từ SGK Toán lớp 1)

Trong SGK toán lớp 2 đến lớp 5 khái niệm hàm số đã xuất hiện ngầm ẩn qua các

bảng tương ứng: bảng cửu chương; bảng cộng, trừ , nhân, chia với một số, khái

niệm hàm số đã xuất hiện ngầm ẩn qua các công thức tính phần trăn, công thức tính chu vi và diện tích hình vuông, tính chu vi và diện tích của hình tròn… Và công cụ

của khái niệm hàm số cũng được vận dụng một cách ngầm ẩn trong một số kiểu nhiệm vụ có liên quan

Ví dụ:

Ki ểu nhiệm vụ: Điền số thích hợp vào ô trống

Bài tập 3 SGK Toán 1 trang 108

Điền số thích hợp vào ô trống (theo mẫu)

Bài tập 3 SGK Toán 3 trang 33:

Viết số thích hợp vào ô trống (theo mẫu)

Quy tắc ngầm ẩn của bảng 1: nn+14

Quy tắc ngầm ẩn của bảng 2: nn+13

Quy tắc ngầm ẩn của bảng 3: nn+5, và n5×n

Rõ ràng học sinh đã vận dụng công cụ ngần ẩn của khái niệm hàm số, thể hiện ở

“quy tắc” để xác định số cần phải điền “tuơng ứng”

• Kiểu nhiệm vụ: “Tính chu vi hình vuông”

Bài tập 1 SGK Toán 3 trang 135

Điền vào ô trồng (theo mẫu)

Chu vi hình vuông 3 4 12( × = cm)

Chu vi của hình vuông là đại lượng phụ thuộc vào độ dài cạnh của nó Với mỗi số

đo của cạnh hình vuông thì có duy nhất chu tương ứng bằng quy tắc lấy độ dài cạnh hình vuông nhân với 4 Rõ ràng trong kiểu nhiệm vụ này học sinh đã ngầm ẩn vận

dụng công cụ của khái niệm hàm số y=4x để xác định (tính) đại lượng chu vi

Ki ểu nhiệm vụ: Tính diện tích hình tròn

SGK Toán 5 trang 100, bài tập 2 yêu cầu:

Tính diện tích hình tròn biết chu vi C = 6,28

y = x để tính diện tích hình tròn Ứng với mỗi số đo của bán kính r thì tính

được duy nhất diện tích của hình tròn tương ứng

• Ki ểu nhiệm vụ: Giải toán về tỉ số phần trăm

Bài tập 3 SGK trang 77

M ột mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 18m và chiều rộng 15m Người ta dành 20% diện tích mảnh đất để làm nhà Tính diện tích phần đất làm nhà

Công cụ của khái niệm hàm số đã được vận dụng ngầm ẩn trong các kiểu nhiệm vụ

giải toán liên quan đến tỉ số phần trăm Ở bài toán trên, diện tích làm nhà phụ thuộc vào phần trăm được dự tính của diện tích đất, cứ với x% thì có diện tích làm nhà

tương ứng là LN 100D .

S

Trong giai đoạn này hàm số y= x 3 cũng xuất hiện ngầm ẩn, được thể hiện qua công

thức tính thể tích hinh lập phương V = × ×a a a, với a là độ dài cạnh hình lập phương

• Ki ểu nhiệm vụ: Tính khoảng cách của hai ca nô

Bài tập 43 SGK tr 80Toán 6 tập 1

Hai ca nô cùng xu ất phát từ C đi về hai phía A hoặc B (h.48) Ta quy ước chiếu từ C đến B

là chiều dương (nghĩa là vận tốc và quãng đường từ C về phía B được biểu thị bằng số dương và theo chiều ngược lại là số âm) Hỏi sau một giờ hai ca nô cách nhau bao nhiêu kilômét nếu vận tốc của chúng lần lượt là:

a) 10km/h và 7km/h?

b) 10km/h và -7km/h?

Học sinh đã vận dụng công cụ ngần ẩn của khái niện hàm số y= ax để giải quyết

kiểu nhiệm vụ này, trong đó a = t0, còn x = v V ới mỗi giá trị của v thì tính được

duy nhất quãng đường tương ứng S

• Ki ểu nhiệm vụ: Tính giá trị của biểu thức

Bài tập 34 SGK Toán 6 tập 1 trang 77

Tính giá trị biểu thức

a) x + (-16), bi ết x = -4 b) (-102) + y, bi ết y = 2

Với mỗi giá trị của x (y) thế vào ta được giá trị của biểu thức tương ứng Giá trị của

biểu thức chính là giá trị tương ứng của hàm số y = + x b, hay công cụ ngầm ẩn của hàm số y = + x b đã được vận dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ này Đó chính là sự tương ứng phụ thuộc của giá trị biểu thức vào giá trị x ( y) đã cho

Tóm l ại: Trong giai đoạn từ lớp 1 đến lớp 6, khái niệm hàm số thể hiện duới dạng

khái niệm tiền toán học (protomathématique) : không tên, không định nghĩa, hoạt động như một công cụ ngầm ẩn

2.2 Hàm s ố và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 7 đến lớp 9

 Hàm s ố trong sách giáo khoa toán lớp 7

Trong chương trình toán lớp 7, khái niệm hàm số bắt đầu là cơ chế toán học (có tên, có định nghĩa) Khái niệm này được định nghĩa trong chương 2 SGK toán

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

• T ỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi

• T ỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

Và khái niệm tỉ lệ nghịch:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức : y a

x

= hay xy = (a là h a ằng số khác 0) thì ta nói đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a

SGK định nghĩa hàm số bằng con đường khái quát hóa Trước khi định nghĩa khái niệm hàm số SGK đưa ra 3 ví dụ về hàm số: