Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh thấy được vai trò bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài toán. Yêu cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải toán.

Chương 2: M t s   ng d ng c a b t đ ng th c Cauchy ộ ố ứ ụ ủ ấ ẳ ứ 4

I.  ng d ng b t đ ng th c Cauchy vào ch ng minh b t đ ng th cỨ ụ ấ ẳ ứ ứ ấ ẳ ứ 4

II.  ng d ng b t đ ng th c Cauchy vào gi i phỨ ụ ấ ẳ ứ ả ương trình, b t phấ ươ  ng

1­ LÍ DO CH N Đ  TÀI : Ọ Ề

B t đ ng th c là m t trong nh ng m ng ki n th c khó nh t c a toán h cấ ẳ ứ ộ ữ ả ế ứ ấ ủ ọ  

ph  thông mà h c sinh c n ph i n m đổ ọ ầ ả ắ ược, b i  ng d ng c a b t đ ng th cở ứ ụ ủ ấ ẳ ứ  xuyên su t chố ương trình toán h c THPT. Đ c bi t ph i k  đ n m ng  ng d ng ,ọ ặ ệ ả ể ế ả ứ ụ  

b i lí do đó  nên tôi ch n đ  tài : “ B t đ ng th c Cauchy và m t s   ng d ng ’’.ở ọ ề ấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ  

Đ  tài cũng giúp tôi hi u sâu h n v  phề ể ơ ề ương pháp d y bài t p b t đ ng th c choậ ậ ấ ẳ ứ  

h c sinh.ọ

2­ M C ĐÍCH NGHIÊN C U :Ụ Ứ

Đ  cho h c sinh th y để ọ ấ ược vai trò b t đ ng th c Cauchy trong gi i quy t bàiấ ẳ ứ ả ế  toán. Yêu c u đ t đ n đ i v i h c sinh là th y rõ, hi u và bi t cách v n d ngầ ạ ế ố ớ ọ ấ ể ế ậ ụ  

b t đ ng th c Cauchy trong th c hành gi i toán.ấ ẳ ứ ự ả

3­ Đ I TỐ ƯỢNG, PH M VI NGHIÊN C UẠ Ứ  : 

Đ i tố ượng nghiên c u c a đ  tài là v n d ng b t đ ng th c Cauchy vào gi iứ ủ ề ậ ụ ấ ẳ ứ ả  quy t m t s  bài toán liên quan trong các đ  thi HSG và tuy n sinh ĐH.ế ộ ố ề ể

4­ NHI M V  NGHIÊN C U : Ệ Ụ Ứ

Đ a ra nh ng c  s  lí lu n v  b t đ ng th c Cauchy . T  đó mô t  phân tíchư ữ ơ ở ậ ề ấ ẳ ứ ừ ả  

đ  tìm ra bi n pháp d y cho h c sinh cách v n d ng vào gi i toán.ể ệ ậ ọ ậ ụ ả

5­ CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U CHÍNH : Ứ

V i n n t ng c  s  lí lu n v  phớ ề ả ơ ở ậ ề ương pháp d y toán h c , thì đòi h i phạ ọ ỏ ươ  ngpháp phân tích s n ph m , t ng k t kinh nghi m đ  út ra đả ẩ ổ ế ệ ể ược lí thuy t choế  chính b n thân ngả ườ ại d y

6­ K T C U C A Đ  TÀI : Ế Ấ Ủ Ề

Đ  tài g m 2 chề ồ ương :

Chương 1 : C  s  lí lu n .ơ ở ậ

       Chương 2 : M t s   ng d ng c a b t đ ng th c Cauchy.ộ ố ứ ụ ủ ấ ẳ ứ

=

k i i

a S c t

ax

n n

i i

a P c t

n

n i

α  . Trước h t ta ch ng minh ế ứ α ﾡ +

        + V i ớ α = 1thì bđt (2) hi n nhiên đúng .ể

( +1) (1+α ) (1+ ) (1+α )

D u ấ '' ''=  x y ra ả � x=0

   + V i ớ α I+, gi  s  ả ửα  là s  vô t  tùy ý . Khi đó vì ố ỷ ﾡ là t p trù m t trongậ ậ  

ﾡ nên t n t i dãy s  h u t  ồ ạ ố ữ ỷ ( ) αn n=1,αn >1 mà limα αn =

S a

3 Cho a i�ﾡ ,i =1, ,n n�ﾡ *+. Ch ng minh r ng :ứ ằ

m j j=1

x x

x    , trong đó x k+ 1 x1.   Chú ý : V i vi c s  d ng h ng đ ng th c sau :ớ ệ ử ụ ằ ẳ ứ

V y ậ x = 3 là nghi m duy nh t c a phệ ấ ủ ương trình đã cho

      Ví d  2  ụ   .   Gi i ph ng trình sau :ả ươ

     Ví d  3ụ  . Tìm nghi m x, y c a b t phệ ủ ấ ương trình sau :

là :

        0 0

0y 0x 1

x + y      (*)Theo BĐT Bernoulli , ta có : 

V i cách làm   trên thì phớ ở ương trình  (3) là không c n thi t .ầ ế

Ta cũng có th  trình bày l i gi i bài toán trên theo cách sau : ể ờ ả

    Vì vai trò x y z , ,  là nh  nhau. Không m t tính t ng quát ta gi  sư ấ ổ ả ử

= = =

x y z  tho  ả

1131

D  dàng ki m tra th y ch  có c p (1 ; 9) là tho  mãn.ễ ể ấ ỉ ặ ả

V y nghi m c a h  BPT đã cho là ậ ệ ủ ệ ( ) ( ) ( ) a b , = { 1;9 , 9;1 }

Ví d  4ụ  . Tìm nghi m d ng c a HBPT sau :ệ ươ ủ

1.K  THU T CH N  ĐI M R I TRONG BĐT CAUCHYỸ Ậ Ọ Ể Ơ

   Giả s   ta c n ch ng minh, BĐT sau :ử ầ ứ

gi i c a bài toán .ả ủ

Ví d  1: ụ

, , 0

3 2

= +

   C ng v  v i v   3 BĐT trên ta độ ế ớ ế ược ĐPCM  W 

Ví d  3 :ụ  Cho a b c, , �ﾡ *+ t m abc/ =1. Ch ng minh r ng :   ứ ằ

1.2. Trường h p 2 :  ợ Trong bi u th c ể ứ S a a ( 1, , ,2 an)  các a ii, = 1, n không có tính đ i x ng . Khi này vi c d  đoán d u “ = ’’ trong BĐT (*) cho m t l p bài ố ứ ệ ự ấ ộ ớtoán là r t khó. K t qu  c a vi c này ch  y u d a vào kinh nghi m và tr c quanấ ế ả ủ ệ ủ ế ự ệ ự  toán h c c a m i ngọ ủ ỗ ười làm toán.

 Trước tiên , ta d  đoán ự S = 13 , khi a b c , , > 0 và tho  mãn ả a + 2 b + 3 c = 20 

Bi u di n S dể ễ ướ ại d ng sau :

α β γ

Ta c n ch n ầ ọ 0 < < k 1 sao cho thay vào (5) thì ta khai căn đượ ởc   các bi u th c ể ứ

có ch a d u căn. D  th y ứ ấ ễ ấ 1

4

=

k  đáp  ng đứ ược yêu c u đó. Khi này ta có m t ầ ộ

l i gi i đ p nh  sau :  ờ ả ẹ ư

LG

  Ta có : 

Trước tiên ta d  đoán ự P = 68 , khi x y , > 0 và x y + = 1.

Ta bi u di n P dể ễ ướ ại d ng sau :

28 (1)

3 , 4 3 (2)

7 28

x y

β β

Thay (2) vào (3) ta được :  3 4 3 1 (4)

7

D  th y ễ ấ β = 21 tho  mãn (4) , thay vào (1) ta đả ược α = 49 

Khi này , ta có l i gi i sau :ờ ả

V y ậ M axS=36 , khi x = 0, y = 2 W

Ví d  3ụ  : Cho a,b,c,d 0 >  Trong t t c  các nghi m dấ ả ệ ương ( x, y,z,t )  c a ủ

IV NG D NG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CH T NGHI MỨ Ụ Ấ Ệ   

Ví d  1ụ  : Ch ngứ  minh r ng n u ph ng trình ằ ế ươ x2n 1 1 4 0

     Nh  chúng ta đã bi t, b t đ ng th c Cauchy là m t b t đ ng th c khá n i ư ế ấ ẳ ứ ộ ấ ẳ ứ ổ

ti ng b i ph m vi  ng d ng r ng rãi c a nó. Ngoài vi c đế ở ạ ứ ụ ộ ủ ệ ược v n d ng đ  ậ ụ ể

ch ng minh các b t đ ng th c đ i s  thì b t đ ng th c Cauchy còn đứ ấ ẳ ứ ạ ố ấ ẳ ứ ượ ửc s  

d ng trong các các bài ch ng minh b t đ ng th c lụ ứ ấ ẳ ứ ượng giác hay các bài toán c cự  

tr  hình h c. Tuy nhiên, do th i gian nghiên c u không nhi u nên trong chuyên đị ọ ờ ứ ề ề này nh ng v n đ  thú v  đó v n ch a đữ ấ ề ị ẫ ư ược đ  c p đ n.  ề ậ ế

     Trên đây là m t s  kinh nghi m có độ ố ệ ược trong quá trình d y hoc, tìm tòi t  ạ ự

b i dồ ưỡng nghi p v  chuyên môn. Các ví d  đệ ụ ụ ượ ư ầc s u t m và ch n l c kĩ lọ ọ ưỡ  ng

t  đ  thi đ i h c các năm và đ  thi h c sinh gi i các t nh trong c  nừ ề ạ ọ ề ọ ỏ ỉ ả ước. M c dù ặ

đã c  g ng song kinh nghi m còn r t khiêm t n. Mong nh n đố ắ ệ ấ ố ậ ượ ực s  góp ý chân thành c a quý th y cô và các b n đ ng nghi p v  c  n i dung và hình th c trình ủ ầ ạ ộ ệ ề ả ộ ứbày đ  chuyên đ  để ề ược hoàn thi n h n.ệ ơ

   Tôi xin chân thành c m  n ! ả ơ

Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011

Giáo viên

   Tr n công Vănầ