Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

TRƯỜNG THPT HOA LƯ A

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc Học vị: Thạc sỹ khoa học Toán học Chức vụ: Tổ phó tổ Toán – Tin Đơn vị: Trường THPT Hoa Lư A

Ninh Bình, tháng 5 năm 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Giả thuyết khoa học …… 1

3 Mục đích của đề tài 1

4 Phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

6 Cấu trúc của đề tài …… 2

Chương I Phương pháp tiếp tuyến …… 3

1.1 Kiến thức chuẩn bị …… 3

1.2 Một số ví dụ minh họa …… 3

1.3 Bài tập tự luyện 18

Chương II Khai thác tính chất của hàm số y = ax+b trong CM BĐT 19

2.1 Kiến thức chuẩn bị …… 19

2.2 Một số ví dụ minh họa …… 6

2.3 Bài tập tự luyện 26

KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển trong toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp hay, khó và rất đa dạng về phương pháp Bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, các đề thi học sinh giỏi và thường gây khó khăn đối với học sinh

Hiện nay, trong chương trình phổ thông, thời lượng cho phần bất đẳng thức còn ít, phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì lại vô cùng đa dạng Trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số cách chứng minh rất cơ bản: ở lớp 10 có trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức (biến đổi tương đương, phản chứng, sử dụng các bất đẳng thức cổ điển như TBC – TBN, Bunhia…), ở lớp 11 giới thiệu phương pháp chứng minh qui nạp, đặc biệt trong chương trình 12 có ứng dụng của đạo hàm để đi chứng minh bất đẳng thức

Từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán tôi lựa chọn đề tài:

“Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức” với mong muốn giúp

đỡ các em học sinh có thêm một cách nhìn mới đối với bất đẳng thức, qua đó rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

2 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động

tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các

em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

3 Mục đích của đề tài

- Hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

- Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung môn Toán trong chương trình THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài

Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo viên về thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông

- Đánh giá, thống kê kết quả học sinh thi học sinh giỏi theo từng năm học

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung đề tài gồm 2 chương

Chương I trình bày về phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức

Chương II khai thác tính chất của hàm số yax b trong chứng minh bất đẳng thức

Chương I PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN

Trong khuôn khổ sáng kiến, tôi chỉ đề cập đến một ứng dụng nhỏ của đạo hàm trong

việc chứng minh bất đẳng thức, đó chính là phương pháp tiếp tuyến Ý tưởng chính của

phương pháp tiếp tuyến là sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá bất đẳng thức

1.1 Kiến thức chuẩn bị

Trước hết ta nhắc lại một bài toán sau: Cho hàm số f t liên tục và có đạo hàm trên  

D Khi đó, nếu tiếp tuyến tại một điểm t0D(giả sử có phương trình ya t t0 ) luôn b

nằm trên (nằm dưới) đồ thị hàm số f trên một lân cận D0 D nào đó của t thì hiển nhiên ta 0

có f t a t t0b hay f t  a t t0b, t D0

Từ tính chất này ta thấy với mọi t t1, , ,2 t nD0 thì

f t  f t   f t a t t  t nt nb Như vậy, nếu một bất đẳng thức có dạng “tổng hàm” như ở vế trái của bất đẳng thức trên và có giả thiết t1t2 t n nt0 với đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến t đều bằng i

nhau và bằng t thì ta có thể thử chứng minh nó bằng phương pháp tiếp tuyến, nghĩa là ta sẽ 0

tìm phương trình tiếp tuyến ya t t0 tại điểm b t của đồ thị hàm số 0 y f t , rồi sau

đó tiến hành kiểm chứng BĐT f t a t t0b hay f t  a t t0b, t D0

- Khi xét hiệu f t a t t0b, ta thường tách được nghiệm kép tt0 (điểm dấu đẳng thức xảy ra)

- Khi trình bày lời giải, có thể ta không cần viết ra các giai đoạn tìm tiếp tuyến mà đưa ra luôn bất đẳng thức đặc trưng cho bài toán cần chứng minh

Tương tự, ta yêu cầu học sinh lên trình bày Ví dụ 2 và Ví dụ 3

Ví dụ 2 Cho , , ,a b c d  thỏa mãn 0 a b c  d  Chứng minh rằng 4

t t

Ví dụ 3 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b c   Chứng minh rằng 1

8

a b c d a b c d 

Lời giải

+ Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

+ Thay a b c d vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm , , ,

Qua Ví dụ 4, yêu cầu học sinh tương tự làm Ví dụ 5

Ví dụ 5 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b   Chứng minh c 3

3

M 

  là

43

- Dựa vào dấu của bất đẳng thức cần chứng minh

- Dự đoán bằng cách thay một giá trị bất kì của tD vào biểu thức

    0 

f t  a tt b

- Phân tích f t a t t0btt02.h t  và xác định dấu của h t trên D  

Trong các ví dụ trên ta đều sử dụng cách 3 Tuy nhiên trong một số bài toán việc phân tích như trên gặp khó khăn vì bài toán chứa căn thức Do đó, ta có thể gợi ý cho học sinh sử

dụng phương pháp hàm số, tận dụng luôn kết quả mà các em tính đạo hàm của hàm f t khi  

lập phương trình tiếp tuyến và chú ý đạo hàm của hàm số f t a t t0b vẫn có nghiệm

0

tt Ta xét tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 6 Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn xy  Chứng minh rằng z 1

62

g x   x Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh

Bài tập tương tự Cho a b c  thỏa mãn , , 0 a b   Chứng minh c 1

Ví dụ 7 Cho , ,a b c  Chứng minh 0

t t

+ Vì vai trò của , ,a b c như nhau và sự đồng bậc của hai vế nên không mất tính tổng quát ta giả

sử a b   Mặt khác, c 1 a b c là ba cạnh tam giác nên , , , , 0;1

Bất đẳng thức trên có rất nhiều có cách chứng minh ngắn gọn Tuy nhiên trong chuyên

đề này chúng ta hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tiếp tuyến Không mất tính tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp a b   Khi đó, bất đẳng c 3

t t



Việc sử dụng tính chất của logarit loga bc loga bloga c ( a b c, , 0,a  ), ta có thể 1

sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bài toán bất đẳng thức với giả thiết

Ta có abc 1 lnalnblnc Đặt 0 xln ,a yln ,b zlnc Khi đó ta có bài toán

Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x y  Chứng minh z 0

t t

, lập bảng biến thiên suy ra đpcm

2) Cho a b c  thỏa mãn , , 0 abc  Chứng minh 1 2 1 2 1 2 1 1

a  a b  b c  c  Trong một số bài toán việc xét hiệu f x a x x0b mặc dù tách được nghiệm

bội xx0, nhưng hiệu đó không giữ nguyên một dấu trên D Trong trường hợp đó, ta có thể chia trường hợp để chứng minh Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 11 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b   Chứng minh c 3

ta cần chia khoảng giá trị cho các biến , ,a b c

a  bc b  ac  c  ba  Hướng dẫn

+ Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c   Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có 3dạng

5

M 

  là

12 725

a 

Ta có

2

2 2

Những bài toán như vậy thường là những bài toán khó, việc sử dụng tiếp tuyến tưởng như không thể Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến theo từng trường hợp đẳng thức Cụ thể ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 13 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b   Chứng minh c 3

c  thì điểm rơi của bài toán không còn là ab  và c 1

  Do đó, trong một số bài toán giả thiết

có thể không cho dưới dạng tổng a b c   hay kết luận của bài toán các số hạng chứa đồng

thời các biến (nghĩa là chưa xác định được hàm đặc trưng cho bất đẳng thức) ta vẫn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 14 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a2b2 c2  Chứng minh 1

+ PTTT của đồ thị hàm số f t  1 t

t

  tại điểm 1 ;2 3

33

+ Thay a b c bởi t trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có đpcm , ,

Bài tương tự: Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b   Chứng minh c 3

+ Thay , ,x y z bởi t trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có đpcm

Tuy nhiên trong bài toán sau (nhìn tương tự như Ví dụ 14) thì phương pháp tiếp tuyến

không giải quyết được

 Ví dụ 17 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a2b2 c2  Chứng minh 3

3

2a2b2c 

Nhận xét: Ta thấy, phương pháp tiếp tuyến cũng chỉ là trường hợp riêng của bài toán sau:

Cho các số thực a a1, 2, ,a nD thỏa mãn điều kiện g a 1 g a 2  g a n ng  với

D

 Chứng minh f a 1  f a 2   f a n nf   (nf   )

Để giải bài toán trên ta thường nghĩ đến một phương án là biểu diễn f a qua  i g a ,  i

nên ta xét hàm số h t  f t m g t   với tD Ở đây, m là số được xác định sao cho  là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số đồng thời h  là giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm số trên D

Vì  là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số nên    

 

'0

f m g

+ Thay a b c vào t trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh , ,

Yêu cầu học sinh thử giải lại các ví dụ theo phương pháp trên

Không chỉ trong các bất đẳng thức đại số, mà ngay cả trong một số bất đẳng thức lượng giác, phương pháp tiếp tuyến còn có nhiều áp dụng Ta xét ví dụ sau:

Nhận xét: Đây là một trong những bất đẳng thức cơ bản của tam giác Học sinh hoàn toàn có

thể giải quyết theo kiến thức lớp 11 nhờ sử dụng bất đẳng thức

+ Thay , ,A B C bởi t trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm

Cách 2

Áp dụng đẳng thức trong tam giác ta có

tanAtanBtanCtanAtanBtan ,C ABC nhọn

Áp dụng bất đẳng thức TBC-TBN

3

tanAtanBtanC3 tanAtanBtanC tanAtanBtanC 3 3  đpcm

 Ví dụ 19 Chứng minh sin sin sin 1,

+ Áp dụng đẳng thức cơ bản trong tam giác

cos cos cos 1 4sin sin sin

Chương II KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = AX + B TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Vì vai trò bình đẳng ngang nhau của các biến a b c nên việc chọn phần tử nhỏ nhất , ,

(lớn nhất) có thể làm cho giả thiết của bài toán được sáng tỏ thêm hay như được cho thêm giả

thiết Tuy nhiên, việc đánh giá để qui về một biến cũng không hề đơn giản Ta xem lại cách giải sau:

Cách 1

+ Vì vai trò của a b c bình đẳng nên ta luôn có thể giả sử , , min , ,  0 1

3

a a b c  a + Ta có VT abca  bc2abca b cbc1 2 a

Ta có điều phải chứng minh

Trong cách giải trên, khi quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có thể qui về hàm số bậc cao nhất là 1, với biến a , tham số , b c Khi đó, bài toán có hai tham số, mà việc khai thác điều kiện cho hai tham số trong từng trường hợp tại a  , hoặc tại 0 a  không 1

phải học sinh nào cũng phát hiện được Do đó, ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng những

biến đổi đại số cơ bản để đưa về hàm số chỉ còn chứa một tham số như Cách 3 sau đây:

Cách 3

+ Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng

a a

 

,1

  điều phải chứng minh

Ví dụ 4 Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b   Chứng minh c 1 3 3 3 6 1

+ Ta xét bài toán: Chứng minh 1b1c1d  b c d 1 0,b c d, ,  0;1 (1)

Ta thấy bài toán (1) tương tự bài toán ban đầu, tuy nhiên đã giảm bớt đi một biến Do

đó, tiếp tục cách làm trên ta có thể giải quyết triệt để được bài toán ban đầu

Ta có điều phải chứng minh

Một số bài toán, không phải lúc nào cũng có sẵn dạng hàm số yax b  Tuy nhiên,

trong một số trường hợp, nhờ những biến đổi, đánh giá bất đẳng thức đại số thích hợp ta có thể áp dụng tính chất hàm số yax b  trong chứng minh Ta xét các ví dụ sau:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta đã biết, bất đẳng thức xuất hiện rất nhiều trong các bài toán (có thể trực tiếp hoặc gián tiếp), và ở một số trường hợp nhất định việc khai thác tính chất của hàm số yax b  để

chứng minh bất đẳng thức vẫn còn hiệu quả trong việc giải quyết lớp bài toán đó Ta xét một

Ví dụ 11 Chứng minh với mọi m   thì 2 2  

1) Cho a b c là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh , , a2b2c2 2abc 2

2) Cho x y z  và , , 0 xy  Chứng minh z 1 7xyyzxz2 9 xyz

3) Cho x y z  và , , 0 xy  Chứng minh z 1  2 2 2  3 3 3

5 x y z 6 x  y z  1

4) Cho 1x y z, ,  thỏa mãn 3 x y  Chứng minh rằng z 6 x2 y2z2 14

5) Cho 0 x y z, ,  thỏa mãn 2 x y  Chứng minh rằng z 3 3 3 3

KẾT LUẬN

Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây:

1 Sáng kiến đã trình bày hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông qua khai thác hai tính chất của hàm số

2 Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến Việc tự giải quyết hệ thống bài tập giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Từ đó, học sinh có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh Sáng kiến được kết tinh những kinh nghiệm đã được kiểm chứng qua các hoạt động giảng dạy các lớp ôn bồi dưỡng HSG trong nhiều năm và đã đạt được những kết quả đáng khích lệ

3 Xây dựng bộ tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, cũng như các bạn đồng nghiệp

Tuy nhiên chắc chắn nội dung sáng kiến không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định Rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp

Xác nhận của BGH Tổ trưởng chuyên môn

Tống Thị Nguyệt

Ninh Bình, ngày 5 tháng 5 năm 2014

NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN

Nguyễn Tử Phúc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên toán Giải tích 12, NXBGD

[2] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên toán Bài tập Giải tích 12, NXBGD

[3] Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, NXBGD 1998

[4] Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức

[5] Trần Phương, Tuyển chọn các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán Hàm số,

NXBĐHQGHN

[6] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức

[7] Tạp chí THTT, số 408, tháng 6/2011

[8] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXBGD 1998

[9] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XV, NXBGD 2009

[10] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVI, NXBGD 2010

[11] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVII, NXBGD 2011

[12] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVIII, NXBGD 2012

[13] Tài liệu trên mạng Internet qua một vài trang web sau http://mathforum.org/dr.math/