Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp các em học sinh có thêm một công cụ hữu hiệu giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng trong toàn quốc.

1. M  Đ UỞ Ầ

­ Lý do ch n đ  tài:ọ ề

Phương trình, h  phệ ương trình, b t phấ ương trình, b t đ ng th c là cácấ ẳ ứ  

ph n quan tr ng trong chầ ọ ương trình toán ph  thông và thổ ường g p trong cácặ  

k  thi h c sinh gi i, tuy n sinh đ i h c, cao đ ng. Phỳ ọ ỏ ể ạ ọ ẳ ương trình, h  phệ ươ  ngtrình, b t phấ ương trình, b t đ ng th c đấ ẳ ứ ược đ  c p nhi u trong các tài li uề ậ ề ệ  tham kh o v i nhi u phả ớ ề ương pháp gi i đa d ng và phong phú. Trong quá trìnhả ạ  

h c t p và gi ng d y, ta b t g p nhi u bài toán v  phọ ậ ả ạ ắ ặ ề ề ương trình, h  phệ ươ  ngtrình, b t phấ ương trình, b t đ ng th c mà vi c gi i quy t chúng là không hấ ẳ ứ ệ ả ế ề 

đ n gi n, bu c ta ph i s  d ng m t phơ ả ộ ả ử ụ ộ ương pháp đ c bi t nào đó. Vì v y,ặ ệ ậ  trong ph m vi bài vi t này, v i mong mu n giúp các em h c sinh có thêm m tạ ế ớ ố ọ ộ  công c  h u hi u gi i quy t các bài toán v  phụ ữ ệ ả ế ề ương trình, h  phệ ương trình, 

b t phấ ương trình, b t đ ng th c trong các k  thi h c sinh gi i và tuy n sinhấ ẳ ứ ỳ ọ ỏ ể  

đ i h c, cao đ ng trong toàn qu c nên tôi ch n đ  tài “ạ ọ ẳ ố ọ ề S  d ng phử ụ ương pháp hàm s  gi i bài toán phố ả ương trình, h  phệ ương trình, b t phấ ương trình, b t đ ng th cấ ẳ ứ ”.

  ­  Đ i tố ượng nghiên c u:ứ

­ H c sinh l p 12 trọ ớ ường THPT Lê Lai

­ Ki n th c v  s  d ng tính đ n đi u c a hàm s , s  d ng giá tr  l nế ứ ề ử ụ ơ ệ ủ ố ử ụ ị ớ  

nh t, giá tr  nh  nh t c a hàm s ấ ị ỏ ấ ủ ố

N i dung đ  tài độ ề ược trình bày thành ba ph n chính, trong m i ph n tácầ ỗ ầ  

gi  trình bày theo trình t : Ki n th c c  s , m t s  ví d  có l i gi i c  th  vàả ự ế ứ ơ ở ộ ố ụ ờ ả ụ ể  bài t p đ  ngh ậ ề ị

   Đ  tài đề ược nghiên c u, th  nghi m trong ph m vi l p 12C1; 12C2ứ ử ệ ạ ớ  

trường THPT Lê Lai, vào các ti t t  ch n thu c ch  đ  ế ự ọ ộ ủ ề phương trình, hệ 

b) Đi u tra: ề

­ Th c d y và  k t qu  ki m tra:ự ạ ế ả ể

  Trong quá trình nghiên c u đ  tài, tôi đã ti n hành th c d y các l pứ ề ế ự ạ ớ  12C1; 12C2; 12C4

c)Gi  thuy t khoa h c: ả ế ọ

N u h c sinh tìm ra đế ọ ược cách gi i bài toán thì các em c m th y hăngả ả ấ  say, tích c c, t  tin và k t qu  ki m tra cho th y các l p th c nghi m v nự ự ế ả ể ấ ớ ự ệ ẫ  cao h n.ơ

2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M.Ộ Ế Ệ

2.1. C  s  lí lu n: ơ ở ậ

      ­ Thông qua quá trình d y h c tôi đã tìm tòi góp nh t, nghiên c u cácạ ọ ặ ứ  

d ng bài toán liên quan.ạ

      ­ Trong th c ti n tôi đã v n d ng khá t t các n i dung c a chuyên đ ự ễ ậ ụ ố ộ ủ ề  

T  đó hình thành c  s  nghiên c u chuyên đ  nàyừ ơ ở ứ ề

 2.2 Th c tr ng v n đ  trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n:ụ ế

a) Th c tr ng vi c d y c a giáo viên:  ự ạ ệ ạ ủ

Có m t s  giáo viên đã v n d ng phộ ố ậ ụ ương pháp hàm s  đ  gi i các bài toánố ể ả  

Phương trình, h  phệ ương trình, b t phấ ương trình, b t đ ng th c nh ng cònấ ẳ ứ ư  

 m c đ  chung chung

b) Th c tr ng vi c h c c a h c sinh: ự ạ ệ ọ ủ ọ

Đa s  h c sinh ch  bi t gi i các bài t p tố ọ ỉ ế ả ậ ương t  v i nh ng bài mà mình đãự ớ ữ  

gi i r i, và b  t c khi g p bài toán m i và lúng túng trong vi c l a ch nả ồ ế ắ ặ ớ ệ ự ọ  cách gi i phù h p.ả ợ

 Ch t lấ ượng th c t  qua kh o sát ch t lự ế ả ấ ượng năm 2014­2015:

c)S  c n thi t c a đ  tài: ự ầ ế ủ ề

Qua  phân tích th c tr ng vi c h c c a h c sinh và vi c d y c a giáo viên,ự ạ ệ ọ ủ ọ ệ ạ ủ  tôi nh n th y đ  tài c n thi t đ i v i giáo viên tr c ti p gi ng d y nh mậ ấ ề ầ ế ố ớ ự ế ả ạ ằ  

gi i thi u nh ng kinh nghi m và phớ ệ ữ ệ ương pháp phù h p đ  nâng cao hi uợ ể ệ  

qu  d y h c tích c c cho h c sinh l p 12.ả ạ ọ ự ọ ớ

  2.3. Các sáng ki n kinh nghi m ho c các gi i pháp đã s  d ng đ  gi iế ệ ặ ả ử ụ ể ả  quy t v n đ :ế ấ ề

a)V n đ  đ ấ ề ượ c đ t ra: ặ

Hi n nay cách d y m i là làm sao phát huy đệ ạ ớ ược tính tích c c, ch  đ ng vàự ủ ộ  sáng t o c a h c sinh trong h c t p và rèn luy n. Đ  phát huy đi u đó,ạ ủ ọ ọ ậ ệ ể ề  chúng ta c n ph i đ a ra đầ ả ư ược nh ng phữ ương pháp d y h c h p lí nh mạ ọ ợ ằ  

t o cho h c sinh có h ng thú trong h c t p, đ  đem l i k t qu  trong h cạ ọ ứ ọ ậ ể ạ ế ả ọ  

t p t t h n, và hi u qu  gi ng d y cao h n .ậ ố ơ ệ ả ả ạ ơ

 b)S  l ơ ượ c quá trình th c hi n sáng ki n kinh nghi m: ự ệ ế ệ

Đ  hoàn thành đ  tài, tôi đã ti n hành các bể ề ế ước sau: Ch n đ  tài; Đi u traọ ề ề  

th c tr ng; Nghiên c u đ  tài; Xây d ng đ  cự ạ ứ ề ự ề ương và l p k  ho ch; Ti nậ ế ạ ế  hành nghiên c u; Th ng kê so sánh; Vi t đ  tài.ứ ố ế ề

c)N i dung c a đ  tài ộ ủ ề

­ N i c a đ  tài độ ủ ề ược nghiên c u trên c  s  lí thuy t và bài t p mà cácứ ơ ở ế ậ  

em đã được h c trong chọ ương trình  THPT 

­ Đ  tài cho cac em thây đề ́ ́ ược các d ng bài toán phạ ương trình, hệ 

phương trình, b t phấ ương trình, b t đ ng th c. Giúp cho h c sinh t  phátấ ẳ ứ ọ ự  

hi n và lĩnh h i ki n th c t  đó bi t l a ch n phệ ộ ế ứ ừ ế ự ọ ương pháp thích h p đợ ể 

gi i toán.ả

I. S  d ng tính đ n đi u c a hàm s  đ  gi i phử ụ ơ ệ ủ ố ể ả ương trình, h  phệ ương trình, b t phấ ương trình

1. Ki n th c c  sế ứ ơ ở

­ N u hàm s   ế ố f x( ) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên ồ ế ặ ị ế D thì 

+) Phương trình  f x( ) =k có không quá m t nghi m trên ộ ệ D.+) V i ớ x y D, ,  f x( ) = f y( ) � x y=  

­ N u hàm s  ế ố y= f x( ) đ ng bi n và hàm s  ồ ế ố y g x= ( )  ngh ch bi n trênị ế  

D   thì phương trình  f x( ) =g x( ) có không quá m t nghi m trên ộ ệ D. 

­ N u đ  th  hàm s  ế ồ ị ố y= f x( )  là l i (lõm) trên kho ng ồ ả ( )a b;  thì phương trình  f x( ) =k có không quá hai nghi m trên kho ng ệ ả ( )a b;

M t khác ặ f ( )1 = 0.

V y phậ ương trình có nghi m duy nh t x = 1.ệ ấ

Bài t p đ  nghậ ề ị

1. Gi i phả ương trình log x = 11 −x

2.  Gi i phả ương trình 9x2 − (13 −x2 ).3x2 − 9 x 2 + 36 0 =

− =

x 2x

2.  Gi i h  phả ệ ương trình 

+ =

x 3x

Ví d  3.ụ  Gi i phả ương trình 3x =2x+1.

Gi iả

­ M t khác, ặ x= 0 và x= 1 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình ( )*

­ V y phậ ương trình có nghi m ệ x= 0, x= 1. 

Bài t p đ  nghậ ề ị

1. Gi i phả ương trình  2011x+ 2012x = 4019x+ 4.

2. Gi i phả ương trình  3x = + + 1 x log (1 2 ) 3 + x

3. Gi i phả ương trình  (1 cos + x) (2 4 + cosx) = 3.4 cosx

Ví d  4. ụ Gi i h  phả ệ ương trình 

( ) ( ) ( )

Do đó, x= 1 là nghi m duy nh t phệ ấ ương trình ( )5

V i ớ x= 1 �y= 1. Th  l i, ta có ử ạ x y= = 1 là nghi m c a h  đã cho.ệ ủ ệ

2. Gi i h  phả ệ ương trình 

1. Gi i b t phả ấ ương trình  x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 2 3 < + 4 −x.

2. Gi i b t phả ấ ương trình   6 8 6

3 x + 2 x <

II.   S  d ng giá tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t c a hàm s  tìm giá trử ụ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố ị tham   s   đ   phố ể ương   trình,   b t   phấ ương   trình,   h   phệ ương   trình   có nghi m.ệ

Cho hàm s  y = f(x) xác đ nh và liên t c trên đo n ố ị ụ ạ [ ]a b;

a b f x m

­ B t phấ ương trình  f x( ) m nghi m đúng v i m i ệ ớ ọ x thu c đo n ộ ạ [ ]a b;  khi  và ch  khiỉ

2 7;3 2

x x

x x

( )

f x

       15     

   1010

T  b ng bi n thiên ta có,ừ ả ế

a) Phương trình có nghi m khi và ch  khiệ ỉ − 30 m 15.

b) Phương trình có đúng m t nghi m khi và ch  khi  ộ ệ ỉ − 30 m< 10  ho cặ  

(t= 1 không là nghi m c a phệ ủ ương trình v i m i tham s  th c ớ ọ ố ự m)

Phương trình( )1 có nghi m khi và ch  khi phệ ỉ ương trình( )2 có nghi mệ  

= − +  trên n a kho ng ử ả [1; + )  

Hàm s  liên t c trên n a kho ng ố ụ ử ả [1; + ). 

­) u v,  n u có là nghi m c a phế ệ ủ ương trình f t( ) = − + =t2 5 8t m.

­ Do đó, h  có nghi m khi và ch  khi phệ ệ ỉ ương trình  f t( ) =m có 2 nghi mệ  

(x; y  th a mãn đi u ki n ) ỏ ề ệ x 9.

III. S  d ng tính đ n đi u, giá tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t c a hàm sử ụ ơ ệ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố 

2 cos cos 2 cos cos

x < x ∀x 0.

+ <

+ ∀ >x 0.

D a vào b ng bi n thiên ta đự ả ế ược

3 3 max

4

A=  đ t đạ ược khi và ch  khi ỉ m=2 3

3 3 min

20Bài t p đ  nghậ ề ị

1. Tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ sin22 2sin 3

2. Tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ P= 2 sin 2x + 2 1 cos + 2x

3. Tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ

N u ế x= 0 thì t  gi  thi t ừ ả ế x2 +y2 = 1 ta có y= 1, suy ra P= 1

N u ế x 0 thì đ t ặ y tx=  (t 0). T  gi  thi t ta có ừ ả ế

x +y = � x +t x = 2

2

1 1

x

t

= +

Ta có,  4 2 22 2 22 1 322 2 1

t x tx t t P

minP= − 1 đ t đạ ược khi t= 0 � x= 1 và y= 0.

maxP= 1 đ t đạ ược khi t= 0 �x= 0 và y= 1.

Bài t p đ  nghậ ề ị

1. Cho hai s  th c ố ự x y,  thay đ i và th a mãn h  th c ổ ỏ ệ ứ x2 +y2 = 1. Tìm giá 

tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ 2( 2 6 )2

x x

x y P

x x

y y A

Đ t ặ t x

y

= , ta được  ( ) 22

1 1

3

T  b ng bi n thiên ta có,ừ ả ế

maxA= 3 đ t đạ ược khi t= − 1 hay (x y; ) (= − 1; 1 , 1;1 ) (− )

minP= − 1 đ t đạ ược khi t= 1 hay ( ; ) 1 ; 1 , 1 ; 1 .

2.4. Hi u qu  c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo d c, ệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ ụ

v i b n thân, đ ng nghi p và nhà trớ ả ồ ệ ường

Đây là m ng ki n th c đòi h i t  duy cao, nên n i dung đ  tài đả ế ứ ỏ ư ộ ề ược tác 

gi  th c nghi m s  ph m trong luy n thi đ i h c và b i dả ự ệ ư ạ ệ ạ ọ ồ ưỡng h c sinh gi i.ọ ỏ  

K t qu  cho th y:ế ả ấ

­ Sau khi gi ng d y chuyên đ  này h c sinh n m sâu h n v  ki n th cả ạ ề ọ ắ ơ ề ế ứ  hàm s  nh : t p xác đ nh, t p giá tr , tính đ n đi u, tính liên t c, giá tr  l nố ư ậ ị ậ ị ơ ệ ụ ị ớ  

nh t, giá tr  nh  nh t…ấ ị ỏ ấ

­ Cách phân d ng bài t p giúp h c sinh d  hi u, đ nh hạ ậ ọ ể ể ị ướng v n đ ,ấ ề  

gi i quy t v n đ  m t cách lôgic h n. H c sinh v n d ng làm t t m t s  đả ế ấ ề ộ ơ ọ ậ ụ ố ộ ố ề thi đ i h c, cao đ ng và đ  thi h c sinh gi i   ph n này.ạ ọ ẳ ề ọ ỏ ở ầ

3. K T LU N, KI N NGH Ế Ậ Ế Ị

­ K t lu n:ế ậ

       Các bài toán v  phề ương trình, h  phệ ương trình, b t phấ ương trình, b tấ  

đ ng th c là lo i bài toán khó, đòi h i t  duy cao. Vì v y, trong quá trìnhẳ ứ ạ ỏ ư ậ  

gi ng d y, giáo viên c n ph i phân d ng bài t p m t cách có h  th ng vàả ạ ầ ả ạ ậ ộ ệ ố  trình bày rõ ràng. 

      Đ  tài ch  là kinh nghi m nh , k t qu  c a s  nghiên c u cá nhân. R tề ỉ ệ ỏ ế ả ủ ự ứ ấ  mong đượ ực s  đóng góp c a đ ng nghi p.ủ ồ ệ

­ Ki n ngh :ế ị

Trong khuôn kh  đ  tài, tác gi  m i d ng l i   m c phân d ng và đ a ra cácổ ề ả ớ ừ ạ ở ứ ạ ư  

ví d , bài t p đ  ngh  c  th  Xét th y, ph m vi đ  tài có th  đụ ậ ề ị ụ ể ấ ạ ề ể ược m  r ng,ở ộ  phát tri n b ng cách phân tích các ví d , bài t p đ  đ a ra các bài t p tể ằ ụ ậ ể ư ậ ươ  ng

t  và các bài t p   m c đ  cao h n. Ví d , v n d ng bài toánự ậ ở ứ ộ ơ ụ ậ ụ

Ch ng  minh   r ng  ứ ằ cosx sin22x

hướng cho h c sinh đi đ n bài toánọ ế

Cho tam giác  ABC  nh n v i các góc tọ ớ ương  ng  ứ A B C, ,   Ch ng minhứ  

r ng:ằ

sin sin sin