Vận dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

Thường thì các bài toán chứng minh BĐT xuất hiện trong các đề thi HSG đều ở dạng dấu bằng xảy ra khi giá trị của các biến là bằng nhau và bài toán được tác giả Trần Phương giải quyết bằn

LÍ LỊCH ĐỀ TÀI

- Nhóm tác giả : Lưu Quang Hưởng – Tổ trưởng chuyên môn

Trần Văn Tỏ - Tổ phó chuyên môn

số Nó thực sự là một công cụ, một phương pháp tốt hỗ trợ hiệu quả trong giải toán về bất đẳng thức

Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm và giải toán BĐT, giải bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính phân loại và hệ thống không nhiều Thường thì các bài toán chứng minh BĐT xuất hiện trong các đề thi HSG đều ở dạng dấu bằng xảy ra khi giá trị của các biến là bằng nhau và bài

toán được tác giả Trần Phương giải quyết bằng phương pháp kinh điển là “Kỹ

thuật chọn điểm rơi” Vậy với bài toán BĐT mà dấu bằng xảy ra khi giá trị của

các biến không bằng nhau thì làm thế nào? Hiện nhiều tài liệu cũng đã nói đến

vấn đề này nhưng chủ yếu dùng kỹ thuật tách ghép, thêm bớt hệ số mà chưa nói

lên được bản chất vấn đề

Ngoài ra qua thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi Đại học, Cao đẳng, nhóm tác giả nhận thấy việc chứng minh BĐT ở dạng này bằng tách ghép và sử dụng BĐT Cauchy, Bunhiacopski rất khó hiểu đối với học sinh Nhưng với sáng kiến của nhóm tác giả thì chỉ với ý tưởng dùng đạo hàm và kết hợp với giải hệ phương trình học sinh sẽ giải quyết được vấn đề

Với tất cả các lí do trên và từ kinh nghiệm giảng dạy nhóm tác giả đã

chọn tên sáng kiến là: “Vận dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức”

2 Cơ sở thực tiễn

a) Nghiên cứu việc dạy BĐT

Thực trạng việc dạy BĐT trong trường THPT trước khi thực nghiệm, thử nghiệm sáng kiến, nhóm tác giả nhận thấy:

- Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ôn luyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp nên có ít thời gian triển khai tới HS

- Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập

- Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ ứng dụng

- Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chứng minh bất đẳng thức

- Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh

- Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập cho học sinh không nhiều

- Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơ hội dạy đội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bày lời giải

còn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm

b) Nghiên cứu việc học BĐT

Bên cạnh những khó khăn đối với người thầy, thì học sinh cũng gặp phải rất nhiều khó khăn khi tiếp cận nội dung BĐT, Chẳng hạn như:

- Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các định lý, hệ quả thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu và mơ hồ khi vận dụng làm bài tập Những học sinh trung bình thì chưa thể hiểu kỹ về lý thuyết và vận dụng ngay vào bài tập

- Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ các khái niệm, định nghĩa và các Thí dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải bài toán chưa khoa học và còn mắc nhiều sai lầm

- Khả năng tìm tòi tự học của đa số học sinh còn hạn chế và khi học chưa có khả năng rút kinh nghiệm, hệ thống dạng bài tập

- Nhiều học sinh chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán, các kỹ năng

kỹ xảo để xử lý những dạng bài tập phức tạp

- Bài tập phần này rất khó và có nhiều hướng giải nhưng khó phát hiện ra và tốn rất nhiều thời gian tìm tòi lời giải

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu ra được các 4 dạng toán BĐT thường gặp và hiệu quả của việc dùng đạo hàm khi giải các bài toán đó bằng những ví dụ minh họa cụ thể

- Sáng kiến tập trung phân tích ưu điểm việc dùng đạo hàm trong chứng minh BĐT qua đó nhằm hướng dẫn học sinh tự học

- Sáng kiến đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện phù hợp

4 Mục đích nghiên cứu

- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học

- Giúp cho học sinh có thêm một lựa chọn hay khi giải bài toán BĐT

- Giúp cho học sinh năng lực tự học, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành những phẩm chất cần thiết của một người lao động

5 Phạm vi, giới hạn sáng kiến nghiên cứu

5.1 Phạm vi khảo sát

Học sinh lớp 12, học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu trong sáng kiến: Hoạt động dạy học bồi

dưỡng HSG chuyên đề BĐT, dạy ôn thi THPT Quốc Gia phần Vận dụng cao

5.3 Vấn đề nghiên cứu của sáng kiến: Làm thế nào để học sinh tự tin giải được

bài toán BĐT bằng công cụ quen thuộc là đạo hàm

6 Phương pháp nghiên cứu khi thực hiện sáng kiến

- Nghiên cứu lý thuyết GTLN, GTNN, Cực đại, Cực tiểu,

- Nghiên cứu về phương pháp giảng bài tập toán

- Nghiên cứu về thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo và tài liệu tham khảo, học hỏi và tiếp thu các ý kiến đóng góp của đồng nghiệp

7 Giả thuyết khoa học của sáng kiến

Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạy học đạo hàm và BĐT ở trường THPT nếu vận dụng kết hợp đạo hàm với các kiến thức phù hợp sẽ phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong việc chứng minh bất đẳng thức

8 Đóng góp của sáng kiến

- Sáng kiến đưa ra cách giải 4 dạng toán BĐT khó mà chỉ dùng đạo hàm;

- Cung cấp cho học sinh lý thuyết cơ sở gắn với bài toán và trình bày lời giải bài toán BĐT theo hướng vận dụng đạo hàm thuộc chương trình Toán THPT

- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi HSG các trường chuyên, đề thi HSG quốc gia những năm gần đây

- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm trong dạy học

9 Cấu trúc của sáng kiến

 Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

 Phần II: Nội dung

Định lý 1: Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên [a; b]

+ Nếu f x'( )0, x a b;  và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có

min ( ) ( ); m ax ( ) ( )

+ Nếu f x'( )  0, x a b;  và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x)

nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có

Giả sử hàm số y f x( ) xác định trên một lân cận đủ bé của x0 a b;  và

có đạo hàm tại điểm x0 Khi đó nếu hàm số y f x( ) đạt cực trị tại x0thì

0

( ) 0

Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và x0a b;  Trong một lân cận

đủ bé  của x0, nếu f( )x0 thay đổi dấu khi x qua

*) Nếu f( )x   0, x x0;x0 và f( )x   0, x x x0; 0 thì

0

x là điểm cực tiểu

*) Nếu f( )x   0, x x0;x0 và f( )x   0, x x x0; 0 thì

0

x là điểm cực đại

2 Giải pháp vận dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

2.1 Bài toán tổng quát 1

a  b c □ Vậy ta có điều phải chứng minh

Thí dụ 2 [Vô địch Toán Ba Lan 1996]

f g

' 0

125

1

3

x x

a  b c □ Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Qua các Thí dụ trên ta thấy các BĐT cần chứng minh đều có các biến

có tính chất đối xứng nên dễ dàng nhận ra dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau Nếu các BĐT cần chứng minh không còn tính chất đối xứng giữa các biến

nữa thì chắc rằng dấu bằng không thể xảy ra khi các biến bằng nhau Khi đó các BĐT cần chứng minh sẽ hay hơn và khó hơn nhiều so với trường hợp dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau Vậy các BĐT ở dạng này xảy ra dấu bằng khi nào và làm thế nào để tìm được dấu bằng xảy ra ? Để làm rõ vấn đề này thì

ta xét các bài toán tổng quát sau đây

2.2 Bài toán tổng quát 2

2 2 2

136

a b c Vậy ta có điều phải chứng minh

2.3 Bài toán tổng quát 3

Cho các số thực , , a b c  thỏa mãn D

 

( ) ( ) ( )

g a g b g c   k , k   Chứng minh rằng mf a( )nf b( ) pf c( )   k

Để giải bài toán này ta cần biểu diễn mf a nf b pf c( ), ( ), ( ) qua

Thí dụ 5 [HSG Duy Tiên A, Hà Nam, năm 2011]

Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a b c , ,  0;1 và BĐT cần chứng minh ở trên có

dạng: Cho các số thực , , a b c  thỏa mãn 0 g a( )g b( )g c( )1 Chứng minh

4cos cos 6 cos

62arccos

5 10 6sin sin 6 sin

4

Dấu bằng xảy ra khi arccos 6; arccos 6; 2arccos 6

xảy ra khi , , a b c thỏa mãn hệ phương trình

353

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

t

t t

a b c Vậy ta có điều phải chứng minh

Thí dụ 8 [HSG Chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái, năm 2014]

Phân tích Vì xy yzzx xyz, x y z , , 0nên tồn tại 3 góc nhọn của một

xảy ra khi , , a b c thỏa mãn hệ phương trình

1 152arccos arcsin

9 152cos cos cos

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.4 Bài toán tổng quát 4

Cho các số thực , , a b c  thỏa mãn: D mg a( )ng b( ) pg c( )  k , với số thực k Chứng minh rằng m f a' ( )n f b' ( ) p f c' ( )   k

Để giải bài toán này ta cần biểu diễn m f a n f b p f c' ( ), ' ( ), ' ( ) qua

( ), ( ), ( )

mg a ng b pg c nên ta xét hàm số h t( ) f t( ) g t( ), t D

, m n p', ', ' ; m n p, ,  Số  được xác định sao cho hàm số h t( ) đạt cực

tiểu (hoặc cực đại) tại t0a b c, ,  thì h t '( )0 0 và suy ra 0

0

'( )'( )

( ) ( ) ( )' '( ) ' '( ) ' '( )'( ) '( ) '( )

Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được giá trị của các biến a, b, c từ đó

ta biết được đẳng thức xảy ra khi nào

Vậy ta có điều phải chứng minh

19

9

19

2 1

3311

2 1

3311

3 2 1

3311

12 40 11

4 2 1

3311

với a b c , , (0;1) Cộng vế theo vế 3 BĐT này lại với nhau ta có:

2 2 1 3 2 1 4 2 1 3 2 3 4  90 11 3 11 10

3311

xảy ra khi , , a b c thỏa mãn hệ phương trình

8 32

   (Đề thi Đại học Khối A 2011)

Bài 13 Xét các số thực dương a b c thỏa mãn , , abc  a c b Tìm giá trị lớn

Bài 14 Xét các số thực dương a b c thỏa mãn , , 21ab2bc8ac12 Tìm giá

x  y  z  (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh 2012)

Bài 16 Cho a0,b0;0  và thỏa mãn c 1 2 2 2

3

a b c  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 18 Cho tam giác ABC không tù Tính các góc của tam giác biết

cos 2A2 2 cosB2 2 cosC  (Đề thi Đại học khối A 2004) 3

Bài 19 Cho tam giác ABC nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PtanA2 tanB3tanC

Bài 20 Cho 2 số a b thỏa mãn điều kiện , 2 2

a b   a b Chứng minh rằng 4b3 a (Đề thi HSG tỉnh Bình Thuận 2015)

MỤC LỤC

PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Cơ sở thực tiễn 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Mục đích nghiên cứu 4

5 Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Giả thuyết khoa học của sáng kiến 5

8 Đóng góp của sáng kiến 5

9 Cấu trúc của sáng kiến 5

PHẦN II NỘI DUNG 6

1 Cơ sở lý luận 6

2 Giải pháp vận dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức 7

2.1 Bài toán tổng quát 1 7

2.2 Bài toán tổng quát 2 10

2.3 Bài toán tổng quát 3 13

2.4 Bài toán tổng quát 4 20

3 Bài tập tự luyện 25

4 Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng 28

4.1 Xử lý kết quả bằng thống kê toán học 28

4.2 Đánh giá định lượng kết quả 31

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 33

1 Kết luận 33

2 Khuyến nghị 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

PHỤ LỤC 37

CÁC BẢNG, HÌNH VẼ DÙNG TRONG SK

Bảng 1: Thống kê kết quả bài kiểm tra 29

Bảng 2: Kết quả xử lý để tính các tham số 29

Bảng 3: Các tham số đặc trưng 30

Bảng 4: Tần suất và tần suất lũy tích 30

Hình 1 Đồ thị phân phối tần suất 31

Hình 2 Đồ thị đường phân phối tần suất tích lũy 31

CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

ĐC Đối chứng

GV Giáo viên

HS Học sinh BĐT Bất đẳng thức

SK Sáng kiến

ĐK Điều kiện PTCT PT chính tắc

TN Thực nghiệm

THPT Trung học phổ thông

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP Tổng điểm: ………Xếp loại: ………

T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG

(Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)

HÀ QUANG VINH