skkn khai thác một số hướng sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh, đặc biệt là học sinh chuyên toán,học sinh các đội tuyển học sinh giỏi, học sinh chuẩn bị thi đại học một số hướngchứng minh bất đẳng thức sử dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

Giáo viên môn toán

NĂM HỌC 2013-2014

Thực trạng của vấn đề: Trong chương trỡnh toỏn Trung học học sinhđược làm quen với bài toỏn chứng minh bất đẳng thức từ lớp 8 Bài toỏn chứngminh bất đẳng thức thường xuyờn xuất hiện trong kỳ thi đại học, kỳ thi học sinhgiỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia, học sinh giỏi Quốc tế Khi xuất hiện trong cỏc

kỳ thi bài toỏn chứng minh bất đẳng thức thường là một trong những bài toỏnkhú Sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh, đặc biệt là học sinh chuyên toán,học sinh các đội tuyển học sinh giỏi, học sinh chuẩn bị thi đại học một số hướngchứng minh bất đẳng thức sử dụng đạo hàm, giỳp học sinh một hướng tiếp cậnvới bài toỏn chứng minh bất đẳng thức

í nghĩa và tỏc dụng của đề tài: Đổi mới phương phỏp giảng dạy mụn toỏn

trong giai đoạn hiện nay như thế nào? Cõu hỏi được đặt ra cho những người làmcụng tỏc giảng dạy toỏn trong trường phổ thụng Sỏng kiến kinh nghiệm nàyngoài việc cung cấp kiến thức cho học sinh cũn đề cập đến việc đổi mới phươngphỏp dạy học khi dạy cỏc chuyờn đề với mục tiờu nõng cao năng lực tư duy,phỏn đoỏn, biết đưa ra con đường hợp lý cho lời giải; phỏt huy vai trũ chủ động,sỏng tạo, tớnh tớch cực của học sinh trong học toỏn; học sinh cú thể giải một sốbài toỏn khỏc khi sử dụng bất đẳng thức, học sinh tự tỡm tũi, sỏng tạo ra nhữngbài toỏn mới Việc giảng dạy nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này khích lệhọc sinh tìm tòi, sáng tạo trong học toán và giải toán cũng nh nghiên cứu toánhọc khi ngồi trên ghế nhà trờng

Phạm vi nghiờn cứu của đề tài: Trong chương trỡnh THPT đạo hàm cú

nhiều ứng dụng để giải cỏc dạng toỏn khỏc nhau: Ứng dụng đạo hàm giảiphương trỡnh; hệ phương trỡnh; chứng minh bất đẳng thức; tỡm giỏ trị lớn nhất,giỏ trị nhỏ nhất, tớnh giới hạn, Cú nhiều phương phỏp khỏc nhau để chứngminh bất đẳng thức, trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chỉ đề cập đếnchứng minh bất đẳng thức cú ứng dụng đạo hàm và khai thỏc cỏc bất đẳng thứctrong việc giải quyết cỏc bài toỏn khỏc Đây cũng là một phần nội dung chuyên

đề về bất đẳng thức mà tác giả giảng dạy ở các lớp chuyên toán cũng nh đợcphân công giảng dạy tất cả các đội tuyển quốc gia của tỉnh Hng Yên trong nhiềunăm qua

Giáo viên và học sinh phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức tổng kết được

qua các bước thực hiện trên mỗi lớp chuyên, đội tuyển sau đây:

- Trang bị kiến thức cơ bản về đạo hàm

- Cung cấp trước một hệ thống bài tập để học sinh tự tìm tòi cách giải ở

nhà

- Sử dụng hệ thống bài tập đã cho học sinh làm, cùng học sinh tổng kết các

hướng chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm

- Liên hệ bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm trong các

NỘI DUNG A- Mục tiêu: Đề tài SKKN đảm bảo các nội dung sau

Sử dụng các bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm giải các bài toán khác và sáng tạo những bài toán mới từ các bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm.

Phần này đưa ra một số bài toán khác giải được trên cơ sở các bất đẳng thức

và tạo ra các bài toán mới từ các bất đẳng thức cơ bản chứng minh bởi công cụđạo hàm qua đó khích lệ học sinh tự sáng tác những bài toán mới

1.1.3 Điều kiện để hàm số lồi, lõm và bất đăng thức Jensen(*)

Định nghĩa hàm số lõm, hàm số lồi

Hàm số y  f (x) có đạo hàm cấp 2 trên D và f // (x) 0 xD ( // ( )

x

f trượt tiêu tại hữu hạn điểm) thì hàm số lõm trên D

Hàm số y  f (x) có đạo hàm cấp 2 trên D và f // (x) 0 xD ( f // (x) trượt tiêu tại hữu hạn điểm) thì hàm số lồi trên D

Bất đăng thức Jensen

Hàm số y  f (x) lõm trên D, x1 ,x2 ,x3 , ,x n D; i  0 ;i  1n thì

i i

n

i i i n

i

x f

1 1

1 1

)(

i i

n

i i i n

i

x f

1 1

1 1

)(





 thì f(x) f/ (x)(x x0)  f(x0) x0a;b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  x0

Ta có thể chứng minh a) như sau: Xét hàm số g(x) f(x)  f / (x)(x x0)  f(x0)trên a; b Ta có g/ (x) f/ (x)  f / (x0) // ( ) // ( ) 0

1.2 Các bất đẳng thức cơ bản chứng minh bằng đạo hàm

1.2.1 Bất đẳng thức liên quan tới sinx

sinxx x 0

! 5

! 3 sin

5 3

! 3 sin

! 4

! 2 1

! 2 1

cosx  x2 x 

1.2.3 Bất đẳng thức liờn quan tới tanx

2

; 0 ( tanx x x 

1.2.4 Bất đẳng thức liờn quan tới e x

! 1

1.2.5 Bất đẳng thức liờn quan tới lnx

x ln( 1 x) x 0

! 2 )

Nếu 0    1, x 0 thỡ x  x   1; Dấu bằng khi và chỉ khi x  1

Nếu   0 hoặc   1, x  0 thỡ x  x   1; Dấu bằng khi và chỉ khi x 1

Cỏc bất đẳng thức trờn đều chứng minh được bằng cụng cụ đạo hàm, việc

chứng minh dành cho học sinh tự làm như bài tập ở nhà để chuẩn bị cho phấn sau.

(*) Học sinh thi học sinh giỏi Quốc gia được sử dụng bđt Jensen; Trờbưsep và

Becnuli

II - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Một số hớng sử dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức (bđt)

1 Để chứng minh bđt dạng f(x) g(x) với x  D ; ( f(x) ;g(x) là các hàm số), ta xét hàm số h(x) f(x)  g(x) trên D Từ sự biến thiên của hàm số h ( x) trên D ta chứng minh h(x)  0 từ đó suy ra điều phải chứng minh (đpcm)

Ví dụ 1.

Cmr : ( 1 )

! 3

3

x x

2

; 0 ( 

3 )

(

x x x

) ( ) (

/ ) ( ) (

2 /

) (  x x g g x x   x

 ( x)đồng biến trên )

2

; 0 (   x)   ( 0 )  0  g x) đồng biến trên )

2

; 0 ( 

 g x) g( 0 )  0  f x)đồng biến trên )

2

; 0 (   f x)  f(0)  0  đpcm

Ví dụ 2 Cho x,y  0 ; xy

Cmr: ( 2 )

ln ln

y x y x

y x

y x y

1 2

) 1 (

2

2 /

)

t t

Nếu x  y ta chứng minh g (t) đồng biến

Nếu x  y ta chứng minh g (t) nghịch biến

y

x y

x y

2

1

1 ln 2 2

y

x y

2 )

2 /

) 1 (

2 :

t

t f

10 180 6

180

9 180

9 180 5

tg tg

)

4

; 0

( 



cos 2

2 sin 2

2 2

/ ) (   

x x

x x

f x

( vì 2x sin 2x x 0 )  f ( x) đồng biến trên )

4

; 0 ( 

Do đó: )

180 6 ( ) 180 5 (

0  f   f  ;   ) 

180 10 ( ) 180 9 (

Ví dụ 5: Tam giác ABC nhọn Cmr:

   (   )  

3

1 ) sin sin (sin 3

2

tgC tgB tgA C

2 ( A tgA A

3

1 sin 3

2 ( B tgB B



0 ) 3

( 



t ta có:

0 1 3 3

1 1 ) cos

1 cos (cos 3

1 1 cos 3

1 cos

3

2

2 2

/

t t

t t

Cmr:

2

3 3

2 2 2 2 2

a

b c

2

a a

a



 ) 1

2

b b

b

2

3 3 ) 1

2



 c c

c

) (

1

2

a a

2

3 3 ) 1 (

1

2

b b

2

3 3 ) 1 (

đó suy ra đpcm ( Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh :

3 3





x x tgx ; e x  1 x x 0

2

; 0 ( 2

1 cos

! 4

!

2

1

2 4

1 ln(

1 sin 2

3 2 1 4

3 sin 2 1 2

3 sin 

2

1 2

1 sin 2

10 8

1 2

1 8

5 2

1 sin

sin

! 3

x

x x

! 4

! 2 1

! 2 1 )

Nhận xột: Trong bđt cần chứng minh cú mặt esin x giỳp chỳng ta liờn hệ với bđt e x  1 x x 0 Ta cú esin2x  1 sin 2 x mà   

sin 1 ( x dx từ đú bài toỏn được giải quyết

5 Để chứng minh bất đẳng thức dạng a<b<c ta có thể :

- Xác định phơng trình nhận b làm nghiệm: f(x)  0 (*)

- Xét sự biến thiên của y  f ( x) trên D a; c

Chứng minh phơng trình (*) trên D có nghiệm duy nhất và phơng trình (*) trên  a; c cũng có nghiệm duy nhất từ đó suy ra ba;c

Ví dụ 10.

Chứng minh rằng:

60

11 10 sin 60

1 ( 0

2

1 0

1 (

 ( 9 ) có nhiều nhất là một nghiệm trên )

2

1

; 2

1 ( 60

11

; 60

10

; 10

60

11 10 sin 60

10 0

0 54000

11 ( ) 10 (sin )

60

10 ( )

60

11 ( )

1 (

1 1 9

1

1   



Sử dụng đạo hàm ta chứng minh được : x xx

2

tan sin

hay sinx tanx 2x

b A

a c

b

a     

Nhận xét: Nhìn vào bđt cần chứng minh ta liên tưởng tới bđt Trêbưsep Do đó

không mất tính tổng quát giả sử ABC với

;0 ,

;

0  bằng cách sử dụng bất đẳng thức

) 2

; 0 ( tanxx x 

Khi đó áp dụng bđt Trêbưsep ta có:

(ABC)(sinAsinBsinC)  3 (sinA sinB sinC)

 2R (ABC)(sinA AsinB BsinC C)  6R(sinA sinB sinC)

 ( ) 3 (a b c)

C

c B

2 2

3 2

- Liờn hệ bài toỏn với bất đẳng thức Becnuli:

Nếu   0 hoặc   1, x  0 thỡ x  x   1; Dấu bằng khi và chỉ khi x 1

- Dễ thấy dấu bằng xẩy ra khi tam giỏc ABC đều do đú điều chỉnh hệ số của

2

tan A để cú dấu bằng xẩy ra

- Liờn hệ với bđt trong tam giỏc: 

2 tan 2 A

 2 tan 2 B

1 2 tan 2

2 2

3 2

2 2

3 2 2 2 tan 3

Liờn hệ với bđt Jensen dẫn đến việc xột hàm số

f f

) ( ) (1 2

ta có thể sử

dụng định lý Lagrange nh sau:

Xét y  f (t) liên tục trên t1;t2, có đạo hàm trên (t1;t2)  c (t1;t2) : f(/c) 

t

f t/ 1) 

y  f (t) liên tục trên 2013;2014 , có đạo hàm trên

/ ( )

3 sin 4 sin 3

sin 2

6 cos 3 ( sin 3 ) 1 4 cos 3 ( sin 3 ) 1 cos 3 ( sin

Cho 3 số a,b,c khác nhau Đặt m mina;b;c và M  maxa;b;c Chứng minh rằng:

x x x x x x x x x

4

1

4 3 2 4 3 1 4 2 1 3 2 1 3

2

1y y x x x x x x x x x x x x

)

( 2

1

4 3 3

1 2 1 3

2 3

2 3 1 2

y y y y y y

Trong trường hợp bđt chưa có dạng trên cần lưu ý:

- Nếu bất đẳng thức có dạng f(a1). f(a2). f(a3) f(a n) K hoặc f(a1) ).

(a2

f f(a3) f(a n) K thì lấy loganepe hai vế

- Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc thì có thể chuẩn hóa Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta lụa chọn cách chuẩn hóa phù hợp

1 )

4 )

(

x x

48 )

(

5 //

f c

( ) ( ) ( ) / ( 1 )( 3 ) 3 ( 1 )

f c

b a f c f b f

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 3 Chứng minh rằng

2 /





x x

) 1 ( ) (

3 2 //

 lnP  3 ln( 1  2 )  P (  1 2 ) 3

III - MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI ĐƯỢC KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ

SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN MỚI TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

ĐƯỢC CHỨNG MINH BỞI CÔNG CỤ ĐẠO HÀM

1 Một số bài toán khác giải được khi liên hệ với bđt được chứng minh bởi công cụ đạo hàm

LimA = LimB = a Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn ta có kết quả

của bài toán Bất đẳng thức có liên quan đến lnx đợc nghĩ đến là: x -

Ta chứng minh f(x) > x x2

2  x 0 

1 1

- 1

4

2n 6

) 1 2 )(

1 (n n

n

n  + +

n n

n n

21





Bất đẳng thức đợc sử dụng ở đây là: 2k n1 <

k n

n 

+ +

n n

n n

21



= 1

n

k n

k n

n

k n

2 Sáng tạo các bài toán mới từ các bất đẳng thức được chứng minh bởi công

cụ đạo hàm

Xuất phát từ bđt cosx < cos x

2 với x ( 0; 

2 ) ta có bài toán sau:

Bài 1 Cho tam gi¸c ABC nhän Chøng minh r»ng:

cos A + cosB + cosC < cos A

2 (*) víi x  ( 0; 

2 )XÐt f(x) = cos2 x

T¬ng tù nh vËy ta gi¶i quyÕt bµi to¸n khã h¬n:

Xuất phát từ bđt cosx > 1 - 12 x 2 (*) víi x  ( 0; 2 ), ta có bài toán sau: Bài 2 Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng:

+ 1cos2

C C

> 2 1

B - 1

8 B

cos C

2 > 1 - 1

8C2  1cos2

C C

+ 1cos2

C C

+ 1cos2

B B

+ 1cos2

C C

+ 1cos2

C C

>

1 2

tg A +

1 2

tg B +

1 2

+ 1cos2

B B

+ 1cos2

C C

 3 3 ( §pcm)

Xuất phát từ bđt 2lnx -x 2 +1  0 (3) víi x > 0 ta có bài toán sau:

Bài 3 Tam giác ABC thỏa mãn

3

sin 2 ln

3

sin sin 2 ln

3

1 cos cos cos

1 )]

cos cos

(cos 1

[ 2

1

3

sin 2 ln

3

sin sin 4 ln

3

sin 2 ln

2C

- sin 1 3

x

1 2 2

3 sin

sin sin

1 3

sin 2 3

2sinB 3

MỘT SÔ BÀI TẬP LUYỆN TẬP

3) Cho 0  x,y 1 ;xy Cmr: ) 4

1

ln 1

y x y

a b

1 1



c c

11) Cho a,b,c12 thỏa mãn abc 2 Chứng minh rằng:

9

4 3

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1- Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này đã đợc giảng dạy cho học sinh các lớpchuyên toán và học sinh các đội tuyển Quốc gia trong những năm qua, góp phầnphát triển t duy, tính sáng tạo cho học sinh cũng nh kỹ năng tính toán; giúp họcsinh hiểu sâu sắc hơn kiến thức trong chơng trình

Học sinh rất hào hứng khi học chuyờn đề này, trong cỏc kỳ thi cú bài toỏn vềứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức học sinh đều làm khỏ tốt Chẳnghạn bài toỏn 2 trong đề thi chọn học sinh giỏi vũng 2 tham dự kỳ thi học sinhgiỏi Quốc gia năm 2000:

1 4

2 1 5

).

4 1

(

2 3

1 2 2

1 2

x y x

y

y x y

x y x

Học sinh làm tốt cỏc bài toỏn trong mục Đề ra kỳ này tạp chớ Toỏn học và tuổi trẻ Chẳng hạn:

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :

+ 1cos2

C C

1

(

log

2 ) (sin log ) cos 3

1

(

log

3 2

3 2

x y

y x

( TC THTT thỏng 3 năm 2003 )

2 Trong những năm qua sử dụng nội dung này giảng dạy cho học sinh các độituyển quốc gia đã góp phần tạo nên những kết quả rất đáng kích lệ:

Năm học 2002-2003 có 5/8 học sinh đội tuyển HSG quốc gia đoạt giải trong

đó có 4 giải ba, 3 học sinh đợc Bộ GD&ĐT triệu tập tham dự kỳ thi chọn đội

tuyển Olympic toán quốc tế năm 2003 Cũng trong năm học này có 12/12 họcsinh dự thi HSG tỉnh có giải trong đó có 3 giải nhất.

Năm học 2005-2006 có 8/8 học sinh đội tuyển HSG quốc gia đoạt giải trong

đó có 3 giải nhì, 3 giải ba và 2 giải khuyến khích, có 4 học sinh đợc Bộ GD&ĐTtriệu tập tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế năm 2006

Năm học 2007-2008 có 10/10 học sinh đội tuyển HSG tỉnh lớp 12 có giải, trong

đó có 2 giải nhất 5 giải nhì, 3 giải ba

Năm học 2008-2009 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển họcsinh giỏi quốc gia và có 3/6 học sinh đoạt giải

Năm học 2010-2011 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển họcsinh giỏi quốc gia và có 5/6 học sinh đoạt giải

Năm học 2011-2012 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển họcsinh giỏi quốc gia và có 6/6 học sinh đoạt giải

Năm học 2012-2013 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyển họcsinh giỏi quốc gia và có 8/8 học sinh đoạt giải

Năm học 2013-2014 cùng với các đồng nghiệp tổ toán giảng dạy đội tuyểnhọc sinh giỏi quốc gia và có 5/8 học sinh đoạt giải

KẾT LUẬN

Việc đổi mới phương phỏp giảng dạy mụn toỏn khi dạy cỏc chuyờn đề vớimục tiờu nõng cao năng lực tư duy, phỏn đoỏn, phỏt huy vai trũ chủ động, sỏngtạo, tớnh tớch cực của học sinh trong học toỏn qua việc khai thỏc kiến thức, tậpsỏng tạo cỏc bài toỏn mới là rất cần thiết, hy vọng có dịp tiếp tục trình bầy sángkiến kinh nghiệm về nội dung này trong những chuyờn đề khỏc, trong nhữngnăm học tiếp theo

Tụi xin cam đoan đõy là sỏng kiến kinh nghiệm của bản thõn tụi

viết, khụng sao chộp nội dung của người khỏc.

Hưng Yờn, ngày 15 thỏng 3 năm 2014

Tỏc giả

Nguyễn Thanh Giang

Ý nghĩa và tác dụng của đề tài

Phạm vi nghiên cứu của đề tài

2 Phương pháp tiến hành

2

3

Nội dung

A Mục tiêu

B Giải pháp của đề tài

I- Các định lý và bất đẳng thức cơ bản được chứng minh bằng

789

1011

13141517 III- Một số bài toán giải được khi sử dụng bđt và sáng tạo những

bài toán mới từ các bđt được chứng minh bởi công cụ đạo hàm 18