Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình

Mở đầuNhư ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chươngtrình phổ thông.. Nhiều bài tập nếu giả

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI- 2015

Mục lục

1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến 5

1.2 Đạo hàm 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Tính chất 6

1.2.3 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm 6

1.3 Định lí Rolle 7

1.4 Định lí Lagrange 7

1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai 7

1.5.1 Định nghĩa 7

1.5.2 Định lí 8

1.5.3 Biểu diễn hàm lồi và lõm 8

1.5.4 Định lí Karamata 8

1.6 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 9

1.6.1 Định nghĩa 9

1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;b] bằng đạo hàm 10

2 Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương trình 11 2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K 11

2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v) 16

2.3 Hệ phương trình 25

2.4 Áp dụng định lí Rolle 382.5 Bài tập 41

3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 443.2 Áp dụng định lí Lagrange và định lí Karamata 583.3 Bài tập 64

Mở đầu

Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chươngtrình phổ thông Nhiều bài tập nếu giải bằng phương pháp thông thường

sẽ gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu biết sử dụng phương pháp hàm sốthì các bài tập đó sẽ được giải quyết dễ dàng hơn

Hơn nữa một số năm gần đây trong các đề thi đại học cao đẳng; thi họcsinh giỏi thường xuyên gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình,bất đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số Chính vì vậy việc trang bịcho học sinh kỹ năng ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phươngtrình, bất đẳng thức là rất cần thiết, giúp các em tự tin hơn trong các kỳ

thi, nên tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh

bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình " với mục

Nội dung chính của khóa luận bao gồm:

⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở

⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương

trình

⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn vàtận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, ĐạiHọc Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình họctập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Nhài

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên K ⊂ R(K là khoảng,

đoạn hoặc nửa khoảng)

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

x o ∈ (a; b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm

x o và kí hiệu là f ′ (x+o ).

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim

x →x − o

f (x) − f(x o)

x − x o

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm

x o và kí hiệu là f ′ (x − o ).

Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng

(a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, có đạo hàm bên trái tại b.

Định lí 1.2 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u ′ x và hàm số

y = f (u) có đạo hàm tại u là y ′ u thì hàm hợp y = f (g(x)) có đạo hàm tại

x là y ′ x = y ′ u u ′ x

1.2.3 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K Nếu f ′ (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Định lí 1.4 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ (x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

Nếu f ′ (x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

1.3 Định lí Rolle

Định lí 1.5 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm

tại mọi x thuộc khoảng (a;b) Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ (a; b) sao cho f’(c)=0.

Hệ quả

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) Khi đó, nếu phương trình f’(x) = 0 có không quá n-1 nghiệm phân biệt trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá n nghiệm phân biệt trên khoảng đó.

Định lí 1.6 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm

trên khoảng (a;b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) được gọi là lồi trên tập I(a, b) nếu với mọi

x1, x2 ∈ I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1 + βx2) ≤ αf(x1) + βf (x2). (1.1)

Nếu dấu đẳng thức trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm

số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I(a; b)

Hàm số f (x) được gọi là lõm trên tập I(a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ I(a, b)

và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1 + βx2) ≥ αf(x1) + βf (x2). (1.2)

Nếu dấu đẳng thức trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm số f (x) là hàm lõm thực sự (chặt) trên I(a; b)

1.5.2 Định lí

Định lí 1.7.

Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a;b) thì f(x) là hàm lồi trên I(a;b) khi

và chỉ khi f’(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a;b).

Định lí 1.8 Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f (x) lồi (lõm) trên

I(a, b) khi và chỉ khi f ′′ (x) ≥ 0(f ′′ (x) ≤ 0) trên I(a, b).

1.5.3 Biểu diễn hàm lồi và lõm

Nếu f (x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0, x ∈ I(a; b), ta đều có

1.6.1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R.

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f (x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x o ∈ D sao cho f (x o ) = M Kí hiệu M = max

[a;b] f (x)

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f (x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x o ∈ D sao cho f (x o ) = m Kí hiệu m = min

[a;b]

f (x)

1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;b]

+ Chỉ ra được f(x) đơn điệu trên K

+ Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = x0

Bài tập 2.1 Giải phương trình

suy ra f(x) đồng biến trên [1; +∞)

Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét:

Kinh nghiệm khi nhẩm nghiệm ta thường nhẩm các nghiệm trong tập xác định và làm cho các căn thức có thể khai căn được hoặc triệt tiêu Bài này có thể làm theo phương pháp bình phương hai vế , nhưng sẽ dài hơn Ta cũng có thể làm bằng phương pháp nhân liên hợp.

Bài tập 2.2 Giải phương trình

Điều kiện −2 ≤ x ≤ 4

Khi đó phương trình (1) ⇔ √ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − √4− x = 2 √3Xét hàm số f(x) = √

2x3 + 3x2 + 6x + 16 − √4− x liên tục trên đoạn[-2;4]

Nhận xét:

Biểu thức trong căn cồng kềnh, nếu sử dụng các phương pháp khác sẽ phức tạp trong việc biến đổi, bằng cách loại trừ ta sẽ nghĩ đến phương pháp hàm số.

Bài tập 2.3 Giải phương trình

Do đó phương trình (2.3) ⇔ f(x) = 14 có nghiệm duy nhất x = 9

Bài tập 2.4 Giải phương trình

3

√

5; +∞

).Vậy phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất x =1

Bài tập 2.5 Giải phương trình

2; +∞

)Suy ra f(x) nghịch biến trên

[1

2; +∞

).Mặt khác f(7) = - 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7

Bài tập 2.6 Giải phương trình

3x7 + x3 − √5− 4x = 3 (2.6.1)Xét hàm số f(x) = 3x7 + x3 − √5− 4x liên tục trên

(

−∞; 5

4]

(

−∞;5

4]

Nhận thấy x =1 là một nghiệm của phương trình (2.6.1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

suy ra f(x) đồng biến trên (2, + ∞)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3

Bài tập 2.8 Giải phương trình:

Xét hàm số f (x) = 3 √

3− 2x + √ 5

2x − 1 − 2x liên tục trên

(1

2;

32]

2;

32)

Hàm số f(x) nghịch biến trên

(1

2;

32

].Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Bài tập 2.9 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài tập 2.10 Giải phương trình :

suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [2 ; 4]

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài tập 2.11 Giải phương trình sau:

8log2(

x2 − x + 5) = 3(

x2 − x + 5) (2.11)

Lời giải

Nhận xét: Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu

trên mà ta phải biến đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét.

Từ đó, f(t) là hàm nghịch biến trên (e; + ∞).

x = 1− √13

2Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 +

)t+

(13

)t

= 1Xét hàm số f (t) =

(23

)t+

(13

)t Nhận thấy f(t) nghịch biến trên R

mà f(1) =1 nên t=1 là nghiệm ,thay vào (2) ta có x=16

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 16

trong đó u = u(x),v = v(x), u, v cùng thuộc K’ với mọi x ∈ K

+ Chỉ ra f(t) đơn điệu trên K’ (Khoảng, đoạn, nửa khoảng)

+ Phương trình tương đương u = v

Bài tập 2.13 Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = -2.

Nhận xét:Từ đặc điểm phương trình có biểu thức x3 + 3x2 + 3x − 1

ta nghĩ đến việc phân tích thành tổng trong đó có số hạng dạng (ax + b)3

Bài tập 2.15 Giải phương trình

f’(t) = 3t2 + 2 > 0 ∀t ∈ R

Suy ra f(t) đồng biến trên R

Nhận xét: Cố gắng làm xuất hiện hằng đẳng thức dạng (ax + b)3bên ngoài

căn để đưa về tình huống giống Bài tập 2.14.

Bài tập 2.16 Giải phương trình

t2 + 3) liên tục trên Rf’(t) = 2+√

5.

Nhận xét: Trong bài toán này đòi hỏi người làm toán phải có phân tích

sâu hơn, để ý √

9x2 + 3;√

1 + x + x2 có vai trò gần như nhau

Bài tập 2.17 Giải phương trình

Bài tập 2.20 Giải phương trình sau:

Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 và x=4

Bài tập 2.21 Giải phương trình

Bài tập 2.22 Giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3

Bài tập 2.23 Giải phương trình

(thỏa mãn điều kiện)Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 2

Bài tập 2.24 Giải phương trình

5x2+3 cos x − 5 x2 +4cos 3x = 8 cos 3x (2.24)

Hàm số f (t) đồng biến trên R nên phương trình

Lời giải

Điều kiện 4cos32x − cos 6x − 1 > 0 ⇔ 3 cos 2x − 1 > 0 ⇔ cos 2x > 1

3Phương trình

(2.25) ⇔ 2 co2x −1 + 1

2 = cos 2x + log4(3 cos 2x − 1)

⇔ 2 cos 2x + 1 = 2 cos 2x + log2(3 cos 2x − 1)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = ± π

)1−u2

Xét hàm số f(u) = log3(u + 2) +

(15

x = 3− √5

2(thỏa mãn điều kiện)Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 +

1 +√

x)( 2.27.1)Xét hàm số f(t)=log2t + √

3t với t > 0, f(t) đồng biến trên (0; +∞)

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 0; x = 1

Bài tập 2.28 Giải phương trình

log3 x

2 + x + 3 2x2 + 4x + 5 = 7x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −2 và x = −1

Bài tập 2.29 Tìm nghiệm dương của phương trình

[ln

Do đó (1)⇔ f(x + 1) = f(y) ⇔ y = x + 1 Thay y=x+1 vào (2) ta được

Bài tập 2.31 Giải hệ phương trình

Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình ( 2.31.1),từ đó y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ;y) là (2 ;1)

Bài tập 2.32 Giải hệ phương trình

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R

(3) ⇔ f(x-2)=f(y) ⇔ x-2=y ⇔ y=x-2

Thế vào phương trình (1) ta được

2 thì x

2 − x − 12 < 0

Từ đó y=0

Kết luận: Hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất (2;0)

Bài tập 2.34 Giải hệ phương trình

{

x3 − x2y = x2 − x + y + 1 (1)

x3 − 9y2 + 6(x − 3y) − 15 = 3 √3

6x2 + 2 (2) (2.34)

Bài tập 2.35 Giải hệ phương trình

[

y = 0

y7 + 2y4 + y − 4 = 0 (4)

Xét hàm số g(y) = y7 + 2y4 + y − 4 liên tục trên [0; +∞)

g’(y) = 7y6+ 8y3+ 1 > 0 ∀y ≥ 0 ⇒ hàm số g(y) đồng biến trên [0; +∞)

Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm duy nhất y =1

Với y = 0 ⇒ x = 1

Với y = 1 ⇒ x = 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là (1;0) và (2;1)

Bài tập 2.36 Giải hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (1;1)

Nhận xét: Đối với hệ phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm

xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp.

Bài tập 2.37 Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(3;1).

Bài tập 2.38 Giải hệ phương trình

(1) ⇔ (4x2 + 1)2x = (5 − 2y + 1)√5− 2y (3)Xét hàm số f(t) = (t2 + 1)t liên tục trên R

f’(t) = 3t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R suy ra f(t) đồng biến trên R

4x2 +

(5

(5

⇒ hàm số g(x) nghịch biến trên

(0; 34

).Mặt khác g

(12

)

=0, do đó (4) có nghiệm duy nhất x = 1

2, Suy ra y = 2Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) =

(1

2; 2

)

Bài tập 2.39 Giải hệ phương trình

⇒ f(t) đồng biến trên R Do đó (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y

Thay x = y vào (2) ta đươc

)

Nhận xét: Trong phương trình (1) thấy vai trò x và y là như nhau nên

nghĩ đến xét hàm số, cách làm này nhanh hơn so với cách phân tích thành nhân tử.

Bài tập 2.40 Giải hệ phương trình

[

−3

2;

32]

]

Do đó (1) ⇔ x-1 = y+1 ⇔ y =x-2 Thay vào (2) ta được

(1

2;−3

2

)và(

Xét hàm số f(t) = t + √

t2 + 1 liên tục trên Rf’(t) = 1 + √ t

Với x =1 ⇒ y = -2 thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (1;-2)

Bài tập 2.42 Giải hệ phương trình

)5

+ x

y = y

5 + y

Suy ra y = ±1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm (x;y) là (1; 1) , (1; −1)

Bài tập 2.43 Giải hệ phương trình

,kết hợp với phương trình thứ hai của hệ suy ra y > 0

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho x2 ta được

Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2),từ đó y = 1

2 .Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ;y) là

(1;12

)

Bài tập 2.44 Giải hệ phương trình

(2− x + 1) √2− x = (6y − 3 + 1)√6y − 3

⇔ √2− x +(√2− x)3 = √

6y − 3 +(√

6y − 3)3 (3)

Xét hàm số f (t) = t + t3 trên nửa khoảng [0; +∞)

Ta có f ′ (t) = 1 + 2t > 0 ∀t ≥ 0 , suy ra hàm số f(t) đồng biến trên nửakhoảng [0; +∞)

Phương trình (3) tương đương

3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình đã cho chỉ có một nghiệm (x;y) là

(1; 23

)

Bài tập 2.45 Giải hệ phương trình

{

e x − e y = x − y (1)log2x

f’(t) = e t − 1 > 0 ∀t > 0 ⇒ f(t) đồng biến trên (0; +∞)

(3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y.

Thay vào (2) được

log2x − 1 + 2log2(4x3) = 10 ⇔ log2x = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 (thỏa mãnđiều kiện)

Vậy hệ có một nghiệm (x;y) là (2;2)

Bài tập 2.46 Giải hệ phương trình

-Nếu t < 1 ,ta có 1− 5 t −1 > 0, 4 t −1 − 10 t −1 > 0 phương trình vô nghiệm

y3 + 2y + 3 + ln(y2 + y + 1) = 0 chỉ có một nghiệm y = −1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (0;-1)

Bài tập 2.47 Giải hệ phương trình

> 0, ∀t ∈ R

Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên R

> 0, ∀x ∈ R

Mà g(1) = 0 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là (1;1;1)

Nhận xét :Hệ phương trình đã cho là hệ hoán vị vòng quanh.

Bài tập 2.48 Giải hệ phương trình

y2 − 2y + 6 log3(6− x) = √ z

g ′ (t) = √ 6− t

(t2 − 2t + 6)3

> 0 ∀t ∈ (−∞; 6), suy ra g(t) đồng biến trên

khoảng (−∞; 6)

Do vai trò của x,y,z như nhau nên giả sử x ≥ y thì g(x) ≥ g(y) do đó

f (y) ≥ f(z),suy ra y ≤ z ,suy ra g(y) ≤ g(z) do đó f (z) ≤ f(x),suy ra

z ≥ x ,suy ra g(z) ≥ g(x) do đó f (x) ≥ f(y) ,suy ra x ≤ y

Từ đó suy ra x=y=z thay vào hệ ta được

Theo định lí Rolle phương trình f (x) = 0 có không quá 2 nghiệm, mà

f (0) = f (1) = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1

Bài tập 2.50 Giải phương trình