Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình

Mở đầuNhư ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chươngtrình phổ thông.. Nhiều bài tập nếu giả

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI- 2015

Mục lục

1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến 5

1.2 Đạo hàm 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Tính chất 6

1.2.3 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm 6

1.3 Định lí Rolle 7

1.4 Định lí Lagrange 7

1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai 7

1.5.1 Định nghĩa 7

1.5.2 Định lí 8

1.5.3 Biểu diễn hàm lồi và lõm 8

1.5.4 Định lí Karamata 8

1.6 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 9

1.6.1 Định nghĩa 9

1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;b] bằng đạo hàm 10

2 Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương trình 11 2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K 11

2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v) 16

2.3 Hệ phương trình 25

2.4 Áp dụng định lí Rolle 382.5 Bài tập 41

3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 44

Mở đầu

Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chươngtrình phổ thông Nhiều bài tập nếu giải bằng phương pháp thông thường sẽgặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu biết sử dụng phương pháp hàm số thì cácbài tập đó sẽ được giải quyết dễ dàng hơn

Hơn nữa một số năm gần đây trong các đề thi đại học cao đẳng; thi họcsinh giỏi thường xuyên gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bấtđẳng thức vận dụng phương pháp hàm số Chính vì vậy việc trang bị cho họcsinh kỹ năng ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bấtđẳng thức là rất cần thiết, giúp các em tự tin hơn trong các kỳ

thi, nên tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng

thức và giải phương trình, hệ phương trình " với mục đích

- Trang bị cho học sinh về phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức bằng ứng dụng hàm số

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó, học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung cũngnhư cách trình bày trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong cácthầy cô và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện

Nội dung chính của khóa luận bao gồm:

⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở

⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương trình

⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tìnhchỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015

Học viênNguyễn Thị Nhài

4

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên K ⊂ R(K là khoảng, đoạn

hoặc nửa khoảng)

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc

K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2):

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc

K mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2):

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số

đơn điệu trên K.

(Trích SGK 12 – Nhà XBGD - 2007)

1.2 Đạo hàm

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x o ∈ (a;

b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x o và

Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b)

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, có đạo

hàm bên trái tại b.

1.2.2 Tính chất

Định lí 1.1 Giả sử u = u(x); v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x

thuộc khoảng xác định Ta có

(u ± v) ′ = u ′ ± v ′ : (u:v) ′ = u ′ v + uv ′ :

= u ′ v − uv ′ (v = v(x) ≠ 0):

v v2

Định lí 1.2 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u ′ x và hàm số y = f(u) có

đạo hàm tại u là y ′ u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại

x là y ′ x = y ′ u :u ′ x

1.2.3 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

Nếu f ′ (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Định lí 1.4 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ (x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

hàm số f(x) đồng biến trên K.

Nếu f ′ (x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

hàm số f(x) nghịch biến trên K.

6

1.3 Định lí Rolle

Định lí 1.5 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại

mọi x thuộc khoảng (a;b) Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f’(c)=0.

Hệ quả

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) Khi đó, nếu phương trình f’(x) = 0 có không quá n-1 nghiệm phân biệt trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá n nghiệm phân biệt trên khoảng đó.

1.4 Định lí Lagrange

Định lí 1.6 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên

khoảng (a;b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f(b) − f(a) = f ′ (c):(b − a):

1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai

1.5.1 Định nghĩa

Ta ký hiệu I(a; b) ⊂ R là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp

sau: (a; b), [a; b), (a; b] và [a; b].

Định nghĩa 1.5 Hàm số f(x) được gọi là lồi trên tập I(a; b) nếu với mọi x1; x2

∈ I(a; b) và với mọi cặp số dương ; có tổng + = 1; ta đều có

1.5.2 Định lí

Định lí 1.7

Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a;b) thì f(x) là hàm lồi trên I(a;b) khi và chỉ khi f’(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a;b).

Định lí 1.8 Nếu f(x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f(x) lồi (lõm) trên

I(a; b) khi và chỉ khi f ′′ (x) ≥ 0(f ′′ (x) ≤ 0) trên I(a; b):

1.5.3 Biểu diễn hàm lồi và lõm

Nếu f(x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0; x ∈ I(a; b); ta đều

có

f(x) ≥ f(x0) + f ′ (x0)(x − x0): (1.3)

Dễ nhận thấy rằng (1.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x: Vậy ta có thể viết

(1.3) dưới dạng f(x) = min [f(u) + f ′ (u)(x

Dễ nhận thấy rằng (1.4) xảy ra đẳng thức khi x0 = x: Vậy ta có thể viết

(1.4) dưới dạng f(x) = max [f(u) + f ′ (u)(x − u)] :

f(x1) + f(x2) + · · · + f(x n ) ≥ f(y1) + f(y2) + · · · + f(y n ): (1.6)

Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức.

Chứng minh

Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi

8

t1; :::; t n ∈ I(a; b)

cũng là một bộ số giảm, tức là

t1 ≥ t2 ≥ ::: ≥ t n :

Khi đó, để chứng minh (1.7), ta chỉ cần chứng minh rằng

x1f ′ (t1)+x2f ′ (t2)+:::+x n f ′ (t n ) ≥ y1f ′ (t1)+y2f ′ (t2)+:::+y n f ′ (t n ): (1.8) Sử dụng biếnđổi Abel

1.6.1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R.

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x o ∈ D sao cho f(x o ) = M Kí hiệu M=

max f(x)

[a;b]

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x o ∈ D sao cho f(x o ) = m Kí hiệu m= minf(x)

[a;b]

9

1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;b] bằng đạo hàm

Bước 1 Tìm các điểm x1; x2; :::; x n trên khoảng (a;b), tại đó f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định.

Bước 2 Tính f(a),f(x1); f(x2); :::; f(x n ); f(b).

Bước 3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có

M = max f(x); m = min f(x)

+ Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.

Bài tập 2.1 Giải phương trình

suy ra f(x) đồng biến trên [1; +∞).

Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét:

Kinh nghiệm khi nhẩm nghiệm ta thường nhẩm các nghiệm trong tập xác

định và làm cho các căn thức có thể khai căn được hoặc triệt tiêu.

Bài này có thể làm theo phương pháp bình phương hai vế , nhưng sẽ dài

hơn Ta cũng có thể làm bằng phương pháp nhân liên hợp.

Bài tập 2.2 Giải phương trình

Lời giải

11

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [5; +∞).

Do đó phương trình (2.3) ⇔ f(x) = 14 có nghiệm duy nhất x = 9.

Bài tập 2.4 Giải phương trình

do đó f(x) đồng biến trên (√35; +∞ ).

Vậy phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất x =1

12

Bài tập 2.5 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7

Bài tập 2.6 Giải phương trình

1x6

+

2x2+ √

.

4

13

Nhận thấy x =1 là một nghiệm của phương trình (2.6.1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

suy ra f(x) đồng biến trên (2; +∞).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3

Bài tập 2.8 Giải phương trình:

Hàm số f(x) nghịch biến trên ( 2 2; ].

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

14

Bài tập 2.9 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài tập 2.10 Giải phương trình :

suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [2 ; 4]

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài tập 2.11 Giải phương trình sau:

Nhận xét: Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu trên

mà ta phải biến đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét.

1 − ln t

Từ đó, f(t) là hàm nghịch biến trên (e; +∞).

mà f(1) =1 nên t=1 là nghiệm ,thay vào (2) ta có x=16 Vậy

phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 16

2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v)

trong đó u = u(x),v = v(x), u, v cùng thuộc K’ với mọi x ∈ K

+ Chỉ ra f(t) đơn điệu trên K’ (Khoảng, đoạn, nửa khoảng)

Bài tập 2.13 Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = -2.

Nhận xét:Từ đặc điểm phương trình có biểu thức x3 + 3x2 + 3x − 1 ta nghĩ đến việc phân tích thành tổng trong đó có số hạng dạng (ax + b)3

Bài tập 2.15 Giải phương trình

4x + 5

⇔ (2x + 3) + 1 = 2

√3 3

Nhận xét: Cố gắng làm xuất hiện hằng đẳng thức dạng (ax + b)3bên ngoài

căn để đưa về tình huống giống Bài tập 2.14.

Bài tập 2.16 Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −5

Nhận xét: Trong bài toán này đòi hỏi người làm toán phải có phân tích

Xét hàm số f(t)=t3 + 5t liên tục trên R f(t)

= 3t2 + 5t > 0; ∀t ∈ R:

suy ra f(t) đồng biến trên R:

18

Bài tập 2.18 Giải phương trình

Bài tập 2.20 Giải phương trình sau:

Bài tập 2.21 Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

20

Bài tập 2.22 Giải phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3

Bài tập 2.23 Giải phương trình

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 2

Bài tập 2.24 Giải phương trình

5x2+3 cos x − 5x2+4cos3x = 8 cos 3x

Lời giải

Ta biến đổi

(2.24) ⇔ 5 x2 +3 cosx − 5 x2 +4cos3x = 8(4cos3x − 3 cos x)

⇔ 5 x2 +3 cosx + 8(x2 + 3 cos x) = 5 x2 +4cos 3x + 8(x2 + 4cos3x)

( 2.24.1)

Xét hàm số f(t) = 5 t + 8t , f ′ (t) = 5 t ln 5 + 8 > 0 với mọi t∈ R Hàm

số f(t) đồng biến trên R nên phương trình

( 2.24.1) ⇔ f(x2 + 3cosx) = f(x2 + 4cos3x) ⇔ x2 + 3 cos x = x2

+ 4cos3x

⇔ cos 3x = 0 ⇔ x = 6 + k 3 ; k ∈ Z

,k ∈ Z.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 6 + k 3

Bài tập 2.25 Giải phương trình

1+ 2 = cos 2x + log4 (3 cos 2x − 1)

⇔ 2 cos 2x + 1 = 2 cos 2x + log2 (3 cos 2x − 1)

⇔ 2 cos 2x + cos 2x = 3 cos 2x − 1 + log2 (3 cos 2x − 1) ( 2.25.1)Xét hàm f(t) = 2 t+t đồng biến trên R nên phương trình

⇔ cos 2x = 3 cos 2x − 1 ⇔ cos 2x = 1

2

⇔ x = ±6 + k ; k ∈ Z(2.25) ⇔2co2x−1

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = ±6 + k ; k ∈ Z Bài

tập 2.26 Giải phương trình

√

(

1)

27 1 )

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 0; x = 1

Bài tập 2.28 Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −2 và x = −1.

Bài tập 2.29 Tìm nghiệm dương của phương trình

− − √ − −

(Trích đề thi HSG LỚP 12 TP Hà Nội 2013-2014)

Lời giải

25

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho (x;y) là (0;1).

Bài tập 2.31 Giải hệ phương trình

f ′ (x) = √ 1

trên [1; +∞).

Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Vậy

hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x

Bài tập 2.32 Giải hệ phương trình

{

x3 − 5x = y3 − 5y (1)

x8 + y4 = 1 (2)Lời giải

( 2.31.1),từ đó y =

1 ;y) là (2 ;1)

(2.32)

Từ phương trình (2) ⇒ x; y ∈ [−1; 1]

Xét hàm số f(t) = t2 − 5t liên tục trên đoạn [−1; 1] f’(t)

= 2t-5 < 0 với ∀x ∈ [−1; 1] Suy ra f(t) nghịch biến trên [−1; 1]

26

Bài tập 2.34 Giải hệ phương trình

y liên tục trên

g’(y) = 7y + 8y + 1 > 0 ∀y ≥ 0 ⇒ hàm số g(y) đồng biến trên [0; +∞).

28

Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm duy nhất y =1

Với y = 0 ⇒ x = 1

Với y = 1 ⇒ x = 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là (1;0) và (2;1)

Bài tập 2.36 Giải hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (1;1)

Nhận xét: Đối với hệ phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp.

Bài tập 2.37 Giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(3;1).

Bài tập 2.38 Giải hệ phương trình

( )

⇒ hàm số g(x) nghịch biến trên 0;

3

Bài tập 2.40 Giải hệ phương trình

{

x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y

x2 + y2 − x + y =

12Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương

Điều kiện: y-xy+9 ≥ 0

Với x =1 ⇒ y = -2 thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (1;-2)

Bài tập 2.42 Giải hệ phương trình

( x)5

yy

33

Suy ra y = ±1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm (x;y) là (1; 1) ; (1; −1) :

Bài tập 2.43 Giải hệ phương trình

Do x = 0 thay vào không thỏa mãn hệ nên x > 0, suy ra x + ,kết

hợp với phương trình thứ hai của hệ suy ra y > 0 Chia hai vế

của phương trình thứ hai cho x2 ta được

biến trên khoảng (0; +∞)

34

Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2),từ đó y = 1

( )2Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ;y) là 1; 1

.2

Bài tập 2.44 Giải hệ phương trình

(1) ⇔ e x − x = e y − y (3)

Xét hàmt số f(t) = e t − t liên tục trên (0; +∞)

f’(t) = e − 1 > 0 ∀t > 0 ⇒ f(t) đồng biến trên (0; +∞)

35

(3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y.

Thay vào (2) được

log2x − 1 + 2log2(4x3) = 10 ⇔ log2x = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 (thỏa mãn

điều kiện)

Vậy hệ có một nghiệm (x;y) là (2;2)

Bài tập 2.46 Giải hệ phương trình

-Nếu t > 1 ,ta có 1 − 5 t−1 < 0; 4 t−1 − 10 t−1 < 0 phương trình vô nghiệm

-Nếu t < 1 ,ta có 1 − 5 t−1 > 0; 4 t−1 − 10 t−1 > 0 phương trình vô nghiệm Do

đó từ phương trình thứ nhất ta chỉ được 2x − y = 1 Thay 2x − y = 1vào

phương trình thứ hai của hệ ta được

y3 + 2y + 3 + ln(y2 + y + 1) = 0 Xét hàm số f(y) = y3 + 2y + 3 + ln(y2 + y + 1)

f ′ (y) = 3y2

> 0; ∀y ∈ R

+ 2 + y2 + y + 1 = 3y2 + y2 + y + 1 Suy ra hàm f(y) đồng biến trên R Lại có f(−1) = 0 nên phương trình y3 + 2y + 3

+ ln(y2 + y + 1) = 0 chỉ có một nghiệm y = −1 .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) là (0;-1)

Bài tập 2.47 Giải hệ phương trình