b 1,0 điểm Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. Tính ãBCO Câu 5 1,0 điểm Có ba chiếc hộp: một hộp chỉ đựng hai quả cam, một hộp chỉ đựng hai quả quýt; hộp cò
Trang 1PHòNG gd&Đt quảng trạch đề thi hsg lớp 9 - Môn Toán
NĂM HọC 2010 - 2011
Thời gian: 150 phút - (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức: A x x 4x x 4
x x 7x 14 x 8
− − +
=
− + −
a) (1,0 điểm) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A.
b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thoả mãn: x2 - 4y2 = 5
b) (2,0 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1
và x3 + y3 + z3 = 1 Tính giá trị biểu thức : M = x2009 + y2010 + z2011
Câu 3 (2,0 điểm)
Trên các cạnh Ox, Oy của góc nhọn xOy lần lợt lấy các điểm M và N di động sao cho OM + ON = m (m cố định, m > 0)
a) (1,25 điểm) Chứng minh rằng, trung điểm của đoạn thẳng MN chuyển động
trên một đoạn thẳng cố định, xác định đoạn thẳng đó
b) (0,75 điểm) Xác định vị trí của M và N để đoạn thẳng MN có độ dài bé nhất ? Câu 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A; àC 15= 0 Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO
= 2AC Tính ãBCO
Câu 5 (1,0 điểm)
Có ba chiếc hộp: một hộp chỉ đựng hai quả cam, một hộp chỉ đựng hai quả quýt; hộp còn lại chỉ đựng một quả cam và một quả quýt Khi đóng kín các hộp, ngời ta đã dán nhầm các nhãn CC (cam - cam), CQ (cam - quýt), QQ (quýt - quýt) nên tất cả các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng trong hộp Làm thế nào để chỉ cần mở một hộp và lấy một quả trong hộp đó mà không nhìn vào trong hộp có thể biết đợc chính xác các quả đựng trong mỗi hộp ?
Hết SBD:………
Trang 2Lu ý: + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu
+ Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm
Thi hs giỏi lớp 9 - Môn toán
Năm học 2010-2011
I Hớng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II Đáp án, biểu điểm:
Điểm thành phần 1a 1,0 đ Để A có nghĩa, trớc hết x 0≥ Đặt t = x t 0( ≥ )
3 2
t t 4t 4 t t 1 4 t 1
t 4t t 4 A
t 7t 14t 8 (t 8) (7t 14t) t 2 (t 2t 4) 7t t 2
− − +
(t 1) t 1 (t 4) (t 1)(t 1)(t 4) A
t 2 (t 5t 4) (t 2)(t 1)(t 4)
Để biểu thức A có nghĩa thì:
t 0, t 1, t 2, t 4 ≥ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≥ x 0, x 1, x 4, x 16 ≠ ≠ ≠ (*) Khi đó, rút gọn ta đợc: A t 1 x 1
t 2 x 2
= =
0,25 0,25
0,25 0,25
t 2 t 2 t 2
− + +
Để A là số nguyên thì t - 2 là ớc của 3 nên t -2 bằng ± 1 hoặc ± 3
- Nếu t 2 − = − ⇔ = 1 t 1 ( loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu t 2 − = − ⇔ = − < 3 t 1 0 (loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu t 2 1 − = ⇔ = ⇔ = t 3 x 9 và A = 4;
- Nếu t 2 3 − = ⇔ = ⇔ = t 5 x 25 và A = 2;
Vậy để A nhận các giá trị nguyên thì x = 9 hoặc x = 25
0,25 0,25 0,25
0,25
2a 1,0đ Ta có: x2 - 4y2 = 5 ⇔(x-2y)(x+2y) = 5
⇔
x 2y 1
x 2y 5
x 2y 1
x 2y 5
x 2y 5
x 2y 1
x 2y 5
x 2y 1
− =
+ =
− = −
+ = −
− =
+ =
− = −
+ = −
0,25
0,25
Trang 3⇒2x= ±6 ⇔ x= ±3 nên y= x2 5
4
−
Vậy các giá trị (x;y) cần tìm là: (1;3);(-1;-3);(-1;3);(1;-3)
0,25
0,25
2b 2,0đ Từ giả thiết x2 + y2 + z2 = 1 suy ra:
|x| ≤ 1; |y| ≤ 1; |z| ≤ 1; (1)
Ta có: x2 + y2 + z2 - (x3 + y3 + z3) = 0
⇔ x2(1 - x) + y2(1 - y) + z2(1 - z) = 0 (2)
Từ (1) suy ra: 1 - x ≥ 0; 1 - y≥ 0; 1 - z≥ 0;
Do đó: x2(1 - x) ≥ 0; y2(1 - y) ≥ 0; z2(1 - z) ≥ 0 (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
2 2 2
x (1 x) 0
y (1 y) 0
z (1 z) 0
Kết hợp với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1 suy ra một trong ba số x, y, z phải bằng 1, hai số còn lại bằng 0
Do đó: x2009 + y2010 + z2011 = 1
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
3a 1,25đ
y
x
h o
m
n
f
d
c b
a
0,25
Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA=OB =m
2 , ta
có đoạn thẳng AB cố định
Trên Oy lấy điểm C sao cho NC=OM thì
OC=NC+ON=OM+ON=m;
OB=OC=m
2 hay B là trung điểm của OC
Từ C kẻ đờng thẳng song song với Ox, trên đờng thẳng đó lấy F (F nằm ngoài góc xOy) sao cho: CF=NC=OM ; FN cắt Ox tại D
Ta có OMCF là hình bình hành (OM//=CF); B là trung điểm của
OC nên B cũng là trung điểm của MF
Ta lại có ãOBA =1800 Oà
2
− ; ãOND = ãFNC =1800 NCFã
2
− ;
Mà àO = ãNCF (so le trong) suy ra ãOBA = ãOND Nên AB//FD (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau)
0,25
0,25
0,25
Trang 4Khi M≡O thì trung điểm của MN trùng với B Khi N≡O thì trung điểm của MN trùng với A Vậy trung điểm của MN luôn chuyển động trên đoạn thẳng cố định AB
0,25
3b 0,75 đ Ta có: AM=AD (AB là đờng trung bình của ∆MFD)
Dựng hình bình hành AHNB (H ∈FD),
Ta có AB=HN;
∆ADH cân tại A (vì đồng dạng với tam giác cân ODN) nên AD=AH
Suy ra AM=AH =AD =MD
2 ⇒ ∆MHD vuông tại H Nên ∆MHN vuông tại H
Do đó MN≥HN hay MN≥AB Vậy MN nhỏ nhất bằng AB khi M và N trùng A và B
0,25
0,25
0,25
Trang 54 2,0 đ
Ta có: ∆ABC vuông tại A;
ãBCA = 150
(gt) => ãCBO = 750
Vẽ ∆MBC đều sao cho M và A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là
đờng thẳng BC
Từ đó ta có: ãOBM 15= 0 Gọi H là trung điểm của BO
Xét ∆HMB và ∆ABC có:
HB = AC (cùng bằng 1
2BO)
HBM ACB 15= = ;
MB = BC (vì ∆MBC đều);
Vậy ∆HMB = ∆ABC (c.g.c);
S uy ra: ãMHB BAC 90=ã = 0
hay MH ⊥OB, do đó MH vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyến của ∆OMB
Suy ra: ∆MOB cân tại M => ãBMO 150= 0
=> ãCMO 360= 0 −(1500 +60 ) 1500 = 0
Xét ∆OMB và ∆OMC có:
OM cạnh chung; ãBMO = ãCMO 150= 0 ; MB = MC (vì ∆MBC
đều) Vậy ∆OMB = ∆OMC (c.g.c) Suy ra: OB = OC hay ∆OBC cân tại O
Do đó ãBCO= ãCBO =750
0,25 (hình vẽ) 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5 1,0 đ Vì các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng
trong hộp nên hộp có nhãn CQ đựng 2 quả cam hoặc đựng 2 quả
quýt
Do đó ta lấy 1 quả trong hộp mà bên ngoài có ghi nhãn CQ thì cú cỏc khả năng sau:
- Quả lấy
ra là cam Đựng 2 quả cam Đựng 1 quả cam, 1 quả quýt Đựng 2 quả quýt
- Quả lấy
ra là quýt Đựng 2 quả quýt Đựng 2 quả cam Đựng 1 quả cam, 1 quả quýt
0,25 0,25
0,25 0,25
M
O
H
A
