Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau.. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4 điểm)
1 Giải phương trình: 3 1 cos 2x 3 1 sin cos x xsinx cosx 3 0
2 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 1 , ,
1
x y
xy yz zx
Câu II (2 điểm)
Giả sử A B C D, , , lần lượt là số đo các góc DAB ABC BCD CDA , , , của tứ giác lồi ABCD bất kì
1 Chứng minh rằng sin sin sin 3sin 3
A B C
A B C
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin 3 sin sin sin
A
P B C D
Câu III (1 điểm)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A
và số đó chia hết cho 9.
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A B C1, ,1 1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 tại điểm
I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC tại điểm N; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng
1 1
A C tại điểm P Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M Biết rằng BM MN và BAC 2ABC Tính các góc của tam
giác ABC.
Câu V (1 điểm)
Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện
1
2
f x f f x x
0
x Chứng minh rằng f x x với mọi x 0
-Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tên thí sinh: ………SBD: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên)
Đáp án gồm 5 trang
I
4điểm I.1 (2 điểm)
2
3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0
3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
3 sin 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0 sin cos 3 sin cos 1 0
0,5
1
3 sin cos 1
sin
x
x
0,5
4
4
6 6
2
0,5
I.2 (2 điểm)
+) Nếu x 0 ta đặt y ax z bx ; thay vào hệ ta được 0,25
2 2
2 2
2
1 2 1
a b
x a b
a a b a
a a ab b
x a ab b
0,5
Trang 3
2
1 1
1 2
a b
a a
0,5
+) Nếu
1 1
a b
+) Nếu
2
1 1
1 2
1
2 0
a b
b
thay
1 1
a b
vào (1) không thỏa mãn, thay 1
2 0
a
b
vào (1) ta có x 2 Do đó nghiệm của hệ là
; ; 2; 1 ;0 , 2; 1 ;0
x y z
0,25
II
2điểm
II.1 (1 điểm)
Nhận xét Nếu 0 ,0 ; 2
x y
thì sin sin 2sin cos 2sin
Dấu bằng xảy ra khi xy
0,25
Sử dụng nhận xét trên ta có
4
4
A B A B C
A B C
0,5
sin sin sin 3sin
3
A B C
A B C
Dấu bằng xảy ra khi A B C
0,25
II.2 (1 điểm)
B C D
t
2
Khi đó theo phần II.1 ta có
t
P t t t
0,25
Trang 4Khi đó
P t t
0,25
cos ; sin 2
t t
Vậy maxP 7 B C D t A , 2 3t (với t xác định bởi (1) và (2))
0,25
III
1điểm
+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau
thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có A97 cho 7 vị trí còn lại Vậy
9 97
+) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 9 nên số có
chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ
số đôi một khác nhau của các tập B\ 0; 9 ; \ 1; 8 ; \ 2; 7 ; \ 3; 6 ; \ 4; 5 B B B B
nên số các số loại này là A884.7.A77
0,5
Vậy xác suất cần tìm là
7 9
4.7 1
A
IV
2điểm * Dễ thấy
1 90
* IOP 2IC P CAB CC B 1 1 BC OP1//
Do đó CIA 1 BAC, mà
1 2
Vậy
2
0,5
Cùng với BAC2ABC ta được BACACB72 ;0 ABC 360 0,5
Trang 5O
I
N
P
A1
B1
C1
C
V
1điểm f x(3 )f 12 f (2 )x 2 (1)x
Từ (1) suy ra
f x f f f x x
0,25
Khi đó
f x f f f f x
Xét dãy ( ) an , (n=1,2,…) được xác định như sau: 1
2 3
a
và
2 1
0,25
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n * luôn có
( ) n
f x a x với x 0 (3)
Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3)
Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k Khi đó
1
2 2
Vậy (3) đúng với n k 1
0,25
Tiếp theo ta chứng minh lima n 1 Thật vậy, ta thấy ngay an 1 n * Do đó: 0,25
Trang 61
( 1)( 2) 0 3
, suy ra dóy ( ) an tăng ngặt
Dóy ( ) an tăng và bị chặn trờn nờn hội tụ Đặt lima n l thỡ
2
với l 1,
suy ra l 1 Vậy lima n 1.Do đó từ (3) suy ra f x ( ) x
với mọi x 0 (đpcm).