Làm thế nào để chỉ cần mở một hộp và lấy một quả trong hộp đó mà không nhìn vào trong hộp có thể biết đợc chính xác các quả đựng trong mỗi hộp?. ---- HÕt ----.[r]
Trang 1PHòNG gd&Đt quảng trạch đề thi hsg lớp 9 - Môn Toán
NĂM HọC 2010 - 2011
Thời gian: 150 phút - (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
x x 4x x 4 A
x x 7x 14 x 8
a) (1,0 điểm) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A.
b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2 (3,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thoả mãn: x2 - 4y2 = 5
b) (2,0 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1
và x3 + y3 + z3 = 1 Tính giá trị biểu thức : M = x2009 + y2010 + z2011
Câu 3 (2,0 điểm)
Trên các cạnh Ox, Oy của góc nhọn xOy lần lợt lấy các điểm M và N di động sao cho OM + ON = m (m cố định, m > 0)
a) (1,25 điểm) Chứng minh rằng, trung điểm của đoạn thẳng MN chuyển động
trên một đoạn thẳng cố định, xác định đoạn thẳng đó
b) (0,75 điểm) Xác định vị trí của M và N để đoạn thẳng MN có độ dài bé nhất ? Câu 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A; C 15 0 Trên tia BA lấy điểm O sao cho
BO = 2AC Tính BCO
Câu 5 (1,0 điểm)
Có ba chiếc hộp: một hộp chỉ đựng hai quả cam, một hộp chỉ đựng hai quả quýt; hộp còn lại chỉ đựng một quả cam và một quả quýt Khi đóng kín các hộp, ngời ta đã dán nhầm các nhãn CC (cam - cam), CQ (cam - quýt), QQ (quýt - quýt) nên tất cả các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng trong hộp Làm thế nào để chỉ cần mở một hộp và lấy một quả trong hộp đó mà không nhìn vào trong hộp có thể biết
đợc chính xác các quả đựng trong mỗi hộp ?
Hết
Lu ý: + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu
+ Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm
Thi hs giỏi lớp 9 - Môn toán
Năm học 2010-2011
I Hớng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
SBD:………
Trang 23) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II Đáp án, biểu điểm:
Điểm thành phần 1a 1,0 đ
Để A có nghĩa, trớc hết x 0 Đặt t x t 0
t t 4t 4 t t 1 4 t 1
t 4t t 4 A
t 7t 14t 8 (t 8) (7t 14t) t 2 (t 2t 4) 7t t 2
(t 1) t 1 (t 4) (t 1)(t 1)(t 4) A
t 2 (t 5t 4) (t 2)(t 1)(t 4)
Để biểu thức A có nghĩa thì:
t 0, t 1, t 2, t 4 x 0, x 1, x 4, x 16 (*)
Khi đó, rút gọn ta đợc:
t 1 x 1 A
t 2 x 2
0,25
0,25
0,25 0,25
1b 1,0 đ t 1 t 2 3 3
t 2 t 2 t 2
Để A là số nguyên thì t - 2 là ớc của 3 nên t -2 bằng 1 hoặc 3
- Nếu t 2 1 t 1 ( loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu t 2 3 t 1 0 (loại vì không thoả mãn điều kiện (*))
- Nếu t 2 1 t 3 x 9 và A = 4;
- Nếu t 2 3 t 5 x 25 và A = 2;
Vậy để A nhận các giá trị nguyên thì x = 9 hoặc x = 25
0,25 0,25 0,25
0,25
2a 1,0đ Ta có: x2 - 4y2 = 5 (x-2y)(x+2y) = 5
x 2y 1
x 2y 5
x 2y 5
x 2y 1
0,25
0,25
2x6 x3 nên y=
2
4
=1 Vậy các giá trị (x;y) cần tìm là: (1;3);(-1;-3);(-1;3);(1;-3)
0,25
0,25
2b 2,0đ Từ giả thiết x2 + y2 + z2 = 1 suy ra:
|x| ≤ 1; |y| ≤ 1; |z| ≤ 1; (1)
Ta có: x2 + y2 + z2 - (x3 + y3 + z3) = 0
x2(1 - x) + y2(1 - y) + z2(1 - z) = 0 (2)
Từ (1) suy ra: 1 - x 0; 1 - y 0; 1 - z 0;
Do đó: x2(1 - x) 0; y2(1 - y) 0; z2(1 - z) 0 (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
2 2 2
x (1 x) 0
y (1 y) 0
z (1 z) 0
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 3Kết hợp với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1 suy ra một trong ba số x, y, z phải bằng 1, hai số còn lại bằng 0
Do đó: x2009 + y2010 + z2011 = 1
0,25
3a 1,25đ
y
x
h
o
m
n
f
d
c b
a
0,25
Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA=OB =
m
2 , ta
có đoạn thẳng AB cố định
Trên Oy lấy điểm C sao cho NC=OM thì
OC=NC+ON=OM+ON=m;
OB=OC=
m
2 hay B là trung điểm của OC
Từ C kẻ đờng thẳng song song với Ox, trên đờng thẳng đó lấy F (F nằm ngoài góc xOy) sao cho: CF=NC=OM ; FN cắt Ox tại D
Ta có OMCF là hình bình hành (OM//=CF); B là trung điểm của
OC nên B cũng là trung điểm của MF
Ta lại có OBA=
0
2
; OND=FNC=
0
2
;
Mà O=NCF (so le trong) suy ra OBA=OND
Nên AB//FD (có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau)
Do đó AB là đờng trung bình của tam giác MNF hay trung điểm của MN thuộc đờng thẳng AB
Khi MO thì trung điểm của MN trùng với B Khi NO thì trung điểm của MN trùng với A Vậy trung điểm của MN luôn chuyển động trên đoạn thẳng cố
định AB
0,25
0,25
0,25
0,25
3b 0,75 đ Ta có: AM=AD (AB là đờng trung bình của MFD)
Dựng hình bình hành AHNB (H FD),
Ta có AB=HN;
ADH cân tại A (vì đồng dạng với tam giác cân ODN) nên
AD=AH
Suy ra AM=AH =AD =
MD
2 MHD vuông tại H
Nên MHN vuông tại H
Do đó MNHN hay MNAB Vậy MN nhỏ nhất bằng AB khi M và N trùng A và B
0,25
0,25
0,25
Trang 44 2,0 đ
Ta có: ABC vuông tại A;
BCA = 150 (gt) => CBO = 750
Vẽ MBC đều sao cho M và A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là
đờng thẳng BC
Từ đó ta có: OBM 15 0
Gọi H là trung điểm của BO
Xét HMB và ABC có:
HB = AC (cùng bằng
1
MB = BC (vì MBC đều);
Vậy HMB = ABC (c.g.c);
Suy ra: MHB BAC 90 0
hay MH OB, do đó MH vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyến của OMB
Suy ra: MOB cân tại M => BMO 150 0
=>
Xét OMB và OMC có:
OM cạnh chung; BMO = CMO 150 0 ; MB = MC (vì MBC
đều) Vậy OMB = OMC (c.g.c) Suy ra: OB = OC hay OBC cân tại O
Do đó BCO=CBO=750
0,25 (hình vẽ) 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5 1,0 đ Vì các nhãn dán ở ngoài hộp đều không đúng với các quả đựng
trong hộp nên hộp có nhãn CQ đựng 2 quả cam hoặc đựng 2 quả
quýt
Do đó ta lấy 1 quả trong hộp mà bên ngoài có ghi nhãn CQ thì cú cỏc khả năng sau:
- Quả lấy
ra là cam Đựng 2 quả cam cam, 1 quả quýtĐựng 1 quả Đựng 2 quả quýt
- Quả lấy
ra là quýt Đựng 2 quảquýt Đựng 2 quả cam cam, 1 quả quýtĐựng 1 quả
0,25
0,25
0,25 0,25
M
O
H
A