CỰC TRỊ HÀM SỐ

Tìm để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị sao cho hoành độ của chúng là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ Cho hàm số là tham số.. Tìm sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm

 Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Lưu ý:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D ; f x 0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng a b;  nào đó chứ điểm x0

số f

Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số f Điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số f

Điểm cực trị của hàm số

 Nếu f x'  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm

số đạt cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f x'  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm

số đạt cực đại tại điểm x0

 '

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a b;  chứa điểm x0, f x' 0  và 0

f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

 Nếuf '' x0  thì hàm số 0 f đạt cực đại tại điểm x0

 Nếuf '' x0  thì hàm số 0 f đạt cực tiểu tại điểm x0

Nếu f '' x i  thì hàm số 0 f đạt cực đại tại điểm x i

Nếu f '' x i  thì hàm số 0 f đạt cực tiểu tại điểm x i

DẠNG 1.TÌM CỰC TRỊ CHO BỞI BIỂU THỨC‐BBT Bài 1 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)



2

x y x

x

 



14

x y

x y

1

x x y

2

x y x

x y x







Bài 23 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Bài 24 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Bài 25 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm cực trị của hàm số

Bài 26 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm cực trị của hàm số

Bài 27 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm cực trị của hàm số

Bài 28 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm cực trị của hàm số

Bài 29 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm cực trị của hàm số

Bài 30 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Hàm số y f x  liên tục và xác định trên , có đạo hàm     2 

f x  x x Phát biểu nào sau đây đúng ?

A Hàm số có một điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị

C Hàm số có đúng một điểm cực trị D Hàm số không có điểm cực trị

Bài 31 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Đồ thị hàm số y x 33x21 có điểm cực đại là

A.I 2;3 B I 0;1 C I 0; 2 D Đáp án khác

Bài 32 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Số điểm cực trị của hàm số y x 42x32017 là ?

Bài 33 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Hàm số y x  2 2 x  2 có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 34 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm sốy f x  xác định và liên tục trên  Ta có bảng biến thiên sau:

x  –1 2 5 

f – 0 + – 0 –

f  3

1

–1 

Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 35 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Số cực trị của hàm số y3 x2 x là

1 3 2

y x x

y  x x

2 2

y



 



y x  x

2 4 2 2 9

yx  x x 

2sin

y x x

sin 3 cos

 

y f x

 

y f x

 

y f x

 

y f x

 Hàm số có hai điểm cực trị  phương trình y có hai nghiệm phân biệt 0     0

b Trong trường hợp    0, gọi A x y 1; 1 ,B x y là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị 2; 2hàm số  1 , trong đó x x1, 2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình y 0

Suy ra tọa độ ,A B thỏa mãn phương trình yr x 

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ,A B là yr x 

Công thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, (nếu có) của đồ thị

Chú ý: 

x x

a c

 Với những điều kiện liên quan tới tung độ (giá trị cực trị) thì trong trường hợp  là một số chính phương thì tìm được cụ thể hai nghiệm x x1; 2 và khi đó tung độ tương tứng là y1  f x 1 ; y2  f x 2  

 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:  

3

4e 16e AB

a



2 39

b ac e

 

 Trong trường hợp nghiệm y' “xấu” ta nên thay gián tiếp vào phương trình đường thẳng cực trị để biểu diễn giá trị cực trị ở dạng tổng quát. 

 Hàm  bậc  ba  y ax 3bx2cx d a  0  không  có  cực  trị  phương  trình 

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1, đạt cực đại tại x2 đồng thời x1x2 khi và chỉ khi: 

A. m5   B. m1 hoặc m5   C. m1 hoặc m5   D. m1 

00

00

 Hàm số có hai cực trị thỏa mãn điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số   cho trước. Dạng này ta nên áp dụng tính các kết quả của bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số hoặc đặt ẩn phụ đưa về dạng 

m m

g a

g a

Bài 6 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y x 33x24. Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trên nằm về hai phía của đường tròn  C :x2 y2 2x4ay a 2   1 0

3  

Cho hàm số ( là tham số) Tìm để đồ thị hàm số có 2 điểm

cực trị sao cho hoành độ của chúng là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ

Cho hàm số ( là tham số) Tìm sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm

số nằm bên phải trục tung

Bài 14 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục ?

Bài 15 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm

có hai điểm cực trị và nằm khác phía và cách đều đường thẳng Tính tổng các phần tử thuộc

A. m0 hoặc m 2      B. m 1 hoặc m 3 

y x mx  m  x A B

Cho hàm số y x 33x2m22x m 2 có đồ thị là đường cong  C Biết rằng tồn tại hai

số thực m1, m2 của tham số m để hai điểm cực trị của  C và hai giao điểm của  C với

trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tính 4 4

T m m

Bài 9 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y x 33mx23m21x m 3 có đồ thị m  C và điểm I 1;1 Biết rằng

có hai giá trị của tham số m (kí hiệu m1, m2với m1m2) sao cho hai điểm cực trị của  C

cùng với I tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5 Tính

1 5 2

P m  m

A B M

A      B.  min

72

A        C.  min

52

A      D.  min

112

N  

  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (Cm) lớn nhất 

y x  mx cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R  1 tại hai điểm phân biệt ,A B sao

cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Bài 9 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M2m m tạo với hai điểm cực đại, cực 3; 

tiểu của đồ thị hàm số y2x33 2 m1x26m m 1x1  C một tam giác có diện tích nhỏ nhất

A.m3    B.m2      C.m1    D.m0 

Chuyên đề TÍNH CHẤT NÂNG CAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

1 Tính chất 1 Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Trước hết chúng ta tìm hiểu 1 số khái niệm điểm uốn, tâm đối xứng

* Định nghĩa điểm uốn của đồ thị hàm số

Cho hàm số y f x  Điểm U x y 0; 0 được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng  a b; chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng a x; 0

và x b0; thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng

còn lại tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

  0

f x  và f x  đổi dấu khi x đi qua điểm x0 thì điểm U x f x 0; ( )0  là điểm uốn của

đồ thị hàm số y f x 

* Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Cho hàm số y f x có đồ thị  C Giả sử I là một điểm thỏa mãn tính chất: bất kì một điểm A thuộc đồ thị  C nếu lấy đối xứng qua I ta được điểm A cũng

thuộc  C thì ta nói I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y f x 

Tính chất:

+ Cho hàm số y f x  Khi đó hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O 0;0 thì

 

f x là hàm số lẻ: f   x f x .+ Giả sử hàm sốy f x  nhận điểm I x y 0; 0 làm tâm đối xứng thì khi đó ta có tính chất:f x x  0 f x x02y0 với mọi x 

Tâm đối xứng có thể nằm ngoài hoặc nằm trên đồ thị hàm số Nếu hàm số y f x  liên tục trên  thì tâm đối xứng của nó (nếu có) là một điểm thuộc đồ thị hàm số đó

* Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số đa thức

Để xác định tâm đối xứng của hàm số y f x  ta thực hiện các bước sau đây:

Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ OxyOI IXY Khi đó: 0

Khi đó đồ thị hàm số nhận điểm I x y 0; 0 là tâm đối xứng

Trở lại bài toán

Xét hàm số bậc ba y ax 3bx2 cx d a 0 có đồ thị  C

Ta sẽ chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

+ Trước hết ta đi tìm điểm uốn của đồ thị

Trước khi chứng minh, ta đưa ra vài nhận xét (với đa thức khác hằng):

Hàm đa thức khả vi liên tục trên 

Hàm đa thức f không có cực trị khi và chỉ khi f đơn điệu

Chứng minh chiều  Điều này hiển nhiên )

Chứng minh chiều  Vì f không có cực trị nên '( ) 0) f x  với mọi x hoặc '( ) 0f x với mọi x Hơn nữa, vì vì 'f là một đa thức khác đa thức 0 nên phương trình '( ) 0f x 

có hữu hạn nghiệm Chính vì thế, áp dụng điều kiện đủ về tính đơn điệu, ta nhận được f là

hàm đơn điệu

Bây giờ, ta quay lại chứng minh Tính chất 2

Vì f đơn điệu nên đồ thị hàm f cắt trục hoành tại tối đa một điểm (1)

Hơn thế nữa,vì f không có cực trị nên '( ) 0 f x  với mọi x hoặc '( ) 0f x  với mọi



x

Do đó, 'f là một đa thức bậc chẵn Ta suy ra f là đa thức bậc lẻ Vì thế, đồ thị hàm f cắt

trục hoành tại ít nhất một điểm (2)

Từ (1) và (2), ta nhận được điều cần chứng minh

Nhận xét 1 Kết luận trên không đúng khi thay hàm đa thức bởi hàm có đạo hàm cấp một liên tục trên

 Thí dụ: Hàm f x( )e xx không có cực trị và không cắt trục hoành tại điểm nào

Nhận xét 2 Một cách tổng quát thì chiều ngược lại không đúng Thí dụ: Hàm f x( )x4có đồ thị cắt

trục hoành đúng một điểm nhưng cô ấy không đơn điệu

Nhận xét 3 Ta có một kết quả khác về sự liên hệ giữa tính đơn ánh và sự đơn điệu: Hàm f liên tục và

là đơn ánh thì hàm số số điệu

Như vậy, ta có thêm một tính chất: Nếu đa thức khác đa thức hằng là đơn ánh thì đồ thị của đa thức này

cắt trục hoành đúng một điểm

Nhận xét 4 Một phát biểu đủ đơn giản (chứng minh nhẹ nhàng) vừa đủ dùng trong một số trường hợp:

“Nếu hàm đơn điệu và có ( )f a  f b( ) f c thì ( ) a b c  ”

Cho hàm số bậc ba f x ax3bx2 cx dđồng biến trên 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 2 b c2 1

điểm cực trị tứcx x1, 2 Khi đó f x( ) ( x x x x g x 1)(  2) ( ) với ( )g x là một biểu thức khác 0

với mọi 𝑥 thuộc 𝐷

Khi đó f x( ) ( x x g x 2) ( ) ( x x g x1) ( )(x x 1)(x x g 2) (x)

f x  x x x g x  x x x x g  x

Đến đây thì không thể tìm được nghiệm cho lớp bài toán tổng quát của hàm số y=f(x)

Do đó chỉ xét TC3 cho lớp bài toán hàm số bậc 3 mà thôi

Câu 10: (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số bậc ba y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới với m n, là các số nguyên thuộc đoạn 10 10;  Có bao nhiêu cặp m n;  để phương trình f x 35 có bốn nghiệm phân biệt ?

M

b ac k

a

  (hoành độ điểm uốn)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất

2 min

33

b ac k

M

b ac k

a

  (hoành độ điểm uốn)

b ac k

Cho hàm số y= - +x3 3x2+6x+1 có đồ thị (C) Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị  C có hệ

số góc lớn nhất Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng ?

P  

 . D Q 9;1

Câu 13: (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y x 32x2m1x2m có đồ thị là  C m Biết m m 0 thì tiếp tuyến có hệ

số góc nhỏ nhất của đồ thị  C m vuông góc với đường thẳng : y3x Khẳng định nào 5

2

m   Câu 14: (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y x 33x26x5 có đồ thị là  C Tiếp tuyến của  C có hệ số góc nhỏ nhất

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

Lấy điểm M m f m ;    là điểm bất kỳ thuộc đồ thị  C

Đường thẳng đi qua Mcó hệ số góc k là y k x m    f m  Để đường thẳng này là tiếp tuyến với đồ thị  C thì hệ sau có nghiệm

Khi đó M chính là điểm uốn của  C

Với mọi điểm M C và không phải là điểm uốn ta luôn vẽ được hai tiếp tuyến đến  C

Cho hàm số  C y x:  33x2 Điểm A x y( ; )0 0 M là số tiếp tuyến lớn nhất của đồ thị hàm

số  C , m là số tiếp tuyến nhỏ nhất của đồ thị hàm số  C Giá trị của M m là

không cùng nằm về một phía so với  khi và chỉ khi  qua I

Bổ sung: Đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi chỉ

khi đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Chứng minh:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 

Đặt f x ax3bx2 cx d

b a

Lưu ý: Đẳng thức (1) xảy ra với mọi x

2/ Ta đã biết A B, là hai điểm cực trị của  C khi và chỉ khi các hoành độ x x A, B của A B,

là hai nghiệm phân biệt của phương trình 3ax22bx c 0 Lúc này ta có

3/ Với A B, đối xứng với nhau qua I ta thấy

+ Trường hợp một trong hai điểm A B, thuộc  Lúc này điểm còn lại cũng phải thuộc 

(tham khảo Hình 1)

Tức  qua I

+ Trường hợp A B, nằm về hai phía so với 

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, trên  và J là giao điểm của AB và HK ta được

Tức  qua I

Tóm lại, ta có điều cần chứng minh

VD minh họa: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 

Đồ thị hàm số y f x x33x2mx3 có hai điểm cực trị ,A B không cùng nằm một

phía và cách đều đường thẳng d y: m23m4x m  , khi đó phương trình đường 3thẳng d là

Cho hàm số y x 3m1x23m3x2m3 Có bao nhiêu số nguyên m    20;20 

để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?

cộng (hoặc tại 3 điểm cách đều nhau, hoặc AB BC ) khi và chỉ khi phương trình hoành

độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt và đường thẳng d đi qua điểm uốn

(chú ý: Đồ thị  C cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp

số cộng khi và chỉ khi y0 có hai nghiệm phân biệt và 0

3

b y a

+) Chiều thuận: Giả sử đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt , ,A B C có

hoành độ lập thành cấp số cộng (hoặc tại 3 điểm cách đều nhau, hoặc AB BC ) Khi đó, d không song song hoặc trùng với trục Oy Gọi phương trình của d là: y kx l 

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x  và d là:

Do đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt , ,A B C có hoành độ lập thành cấp

số cộng nên (1) có 3 nghiệm phân biệt là x x x A, ,B C lập thành cấp số cộng Theo định lý Viet,

+) Chiều nghịch: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt và đường

thẳng d đi qua điểm uốn Do đồ thị  C nhận điểm uốn ;

Vậy tính chất được chứng minh

số cộng khi và chỉ khi y có hai nghiệm phân biệt và 0 0

3

b y a

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ymx m 1 cắt đồ thị của hàm

số y x33x2  x 2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB BC

y x  x  x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ lập thành cấp số cộng theo một thứ tự nào đó Khi đó số các giá trị của m thoả

b x

a

b bc

a a

0 0

.3

Với hệ trục mới I X Y thì đường thẳng  qua ; ,  I x y có dạng  0; 0 YkX k,  

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của  và  C :

Câu 32: (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y  x3 3x24mx2m1 có đồ thị là  C và đường thẳng y3x Gọi 6 S

là tập giá trị của m để đường thẳng  d cắt đồ thị  C tạo thành hai phần hình phẳng có diện tích bằng nhau Số phần tử của tập S là

U x mx +n là điểm uốn của đồ thị hàm số

*Tiếp tuyến tại hai điểm ( ; ( ))A u f u và ( ; ( ))B v f v của ( )C song song với nhau Ta chứng

minh AB đi qua U

Vậy U là trung điểm của AB

* Ngược lại, ta chứng minh đường thẳng đi qua điểm uốn cắt ( )C tại hai điểm A B, thì tiếp tuyến tại A B, song song với nhau

D đi qua Ucắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, với ( ; ( ))A u f u và ( ; ( ))B v f v Vì U là trung điểm A B, nên u+ =v 2x0  =v 2x0-u u( ¹v)

Câu 34: (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y  x3 3x29x có đồ thị  C Gọi , , ,A B C D là bốn điểm trên đồ thị  C

với hoành độ lần lượt là , , ,a b c d sao cho tứ giác ABCD là một hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến tại A và C song song với nhau và đường thẳng ACtạo với hai trục tọa độ một tam giác cân Tinh tích abcd?

y x  x b có đồ thị  C Gọi M , N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc

 C sao cho tiếp tuyến với  C M , Ncó cùng hệ số góc bằng 3 Biết khoảng cách từ gốc

tọa độ O đến đường thẳng MNbằng 1 Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  2

2a  a2b

bằng

Câu 38: (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y x 33ax b có đồ thị  C Gọi M , N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc

 C sao cho tiếp tuyến với  C M , Ncó cùng hệ số góc bằng 3 Biết đường thẳng MN tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x x

a c

a

  +) Nhận thấy 1 2

11 Tính chất 11 Tiếp tuyến tại điểm M x( M,y M) cắt đồ thị tại điểm N x y( ,N N) thì

Phương trình tiếp tuyến tại M y:  f x M x x My M  

Phương trình hoành độ giao điểm của   và  C : f x  f x M x x My M

Giả sử tiếp tuyến  tại A của đồ thị ( )C có phương trình yx

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và 

VDMH: Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng và cùng thuộc (C): y = x3 – 3x – 2 Các tiếp

tuyến tại A, B, C cắt (C) tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng

+ Biến đổi (1) ta được: x Ax Bx C 0 2 

+ Tiếp tuyến tại A của (C) có phương trình: y3x2A3 x x Ax3A3x A2  d

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) ta được:

+ Tương tự ta có: x B' 2 ,x B x C' 2x C, khi đó x A'x B'x C'  2x Ax Bx C0 (3) Suy ra A’, B’, C’ thẳng hàng

13 Tính chất 13 Tiếp tuyến d1 tại điểm M x( M,y M) cắt đồ thị tại điểm N x y( ,N N) Khi

Do đó

3 2 0

3

M

ax b a

M

ax b a

M

a

t at ax b x a

a at ax b t

a ax b S

Gọi M m am ; 3bm2cm d  là tọa độ tiếp điểm của  và  C

Phương trình tiếp tuyến  là: y3am22bm c x m    am3bm2cm d

Hoành độ giao điểm của đường thẳng  và  C là nghiệm của phương trình

     hay điểm M là điểm uốn của đồ thị

 Nếu M khác điểm uốn thì đường thẳng  tiếp xúc với  C tại điểm

+) Đồ thị  C có đúng một điểm cực trị khiy có đúng một nghiệm0  ab 0

+) Đồ thị  C có ba điểm cực trị khi y có 3 nghiệm phân biệt0 ab 0

tam giác cân tại A

2 3

22

b a R

a b



3 điểm cực trị là   1 2

Cho hàm số (với là tham số) Tìm tất cả các giá trị thực của

để hàm số đã cho có ba điểm cực trị đều nhỏ hơn

Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y x 4m1x22m1 có ba điểm cực

trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120.

Cho hàm sốy x 42m1x2m2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị

của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Bài 14 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số yx44m1x22m có đồ thị1  C m Xác định tham số m để đồ thị

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.

Bài 15 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 42mx21 có ba điểm cực trị tạo

thành một tam giác có diện tích bằng 4 2

Bài 16 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số y x 42mx2 m 1 (1), với m là tham số thực Xác định các giá trị của

tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một

tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Bài 17 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm số 1 4 2 2

4

y x mx m Chứng minh rằng với mọi m0 đồ thị hàm số luôn có

ba điểm cực trị Gọi  P là đường parabol đi qua ba điểm cực trị đó Tìm các giá trị của

m để  P đi qua điểm I2; 24

Bài 18 (TÂN BK PLUS EDUCATION—THẦY DŨNG)

Cho hàm so y x 42mx2 m 1 (1), với m là tham so thực Xác định các giá trị của

tham so m đe hàm so (1) có ba cực trị, đong thời các điem cực trị của hàm so tạo thành

một tam giác có bán kı́nh đường tròn ngoại tiep bang 1

Cho hàm số y x4 – 8m x2 2 1 (1), với m là tham số thực Tìm các giá trị của m để hàm

số (1) có 3 cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64