CỰC TRỊ hàm số VD HOÀNG TRUNG tú

Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị... Tuy nhiên, dễ thấy phương trình y ' = 0 có nghiệm vô tỷ nghiệm xấu nên việc viết phương trình đường thẳng d theo cách thông thư

1 NHÓM PI – GROUP LUYỆN ĐỀ ĐỀ ÔN LUYỆN CỰC TRỊ HÀM SỐ

THI THỬ NÂNG CAO Sưu tầm và biên soạn: Hoàng Trung Tú

NỘI DUNG ĐỀ

Câu 1: Gọi( ) đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 −3x2 −9x +1 Giá trị

của tham số m dương và gần giá trị nào nhất để ba đường thẳng ( ) ( ) ( ) , d1 , d2 với

d x y+ − = d m+ x y m− + − = đồng quy là

Lời giải

Xét hàm số y =x3 −3x2 −9x +1, ta có y'= 3x2 −6x −  9, x



Tọa độ giao điểm của ( ) và ( )d1 là

1

;2 2

M



Vì ( ) ( ) ( ) , d1 , d2 đồng quy nên M ( )d2 suy ra 2 0 1 73

m

m

gần giá trị 2 nhất

Chọn C

Câu 2: Cho hàm số y =x3 −2x2 +2x +1 Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng

( ) : 36m x2 −9y+9m+10 =0

2

3

m =

3

m = −

3

m =



Lời giải

Xét hàm số y =x3 −2x2 +2x +1, ta có y'= 3x2 −4x +2 và y'' =6x −  4; x

Tuy nhiên, dễ thấy phương trình y ' = 0 có nghiệm vô tỷ (nghiệm xấu) nên việc viết phương

trình đường thẳng (d) theo cách thông thường thì sẽ dài và tốn thời gian Vậy trong trường hợp

này ta sẽ dụng công cụ tổng quát ( ) ' ''

:

18

y y

a

18

là đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Theo bài ra, ta có ( ) ( )

2

9

3

m m

m m

=





Chọn A

Câu 3: Gọi a, b, c là các giá trị sao cho hàm số f x( ) =x3 +ax2 +bx c+ đạt cực trị bằng 0 tại điểm

2

x = − và đồ thị hàm số của nó đi qua điểm M( )1; 0 Tính tổng a2 +b2 +c2

Lời giải

Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( )1; 0 suy ra

f =  + + + =  + + = −a b c a b c

Xét hàm số f x( ) =x3 +ax2 +bx c+ , ta có f x'( ) =3x2 +2ax b x+  ;

Hàm số đạt cực trị tại x = −2 và f ( )− =2 0 suy ra

3 ( )

2

f





Chọn C

Câu 4: Biết hai điểm M( ) ( )0;2 , N 2; 2− là điểm cực trị của đồ thị hàm số y =ax3 +bx2 +cx d+

Tính giá trị của hàm số tại x = −2

A y( )− =2 2 B y( )− =2 22 C y( )− =2 6 D y( )− = −2 18

Lời giải

Xét hàm số y =ax3 +bx2 +cx d+ , ta có y' = 3ax2 +2bx c x+  ;

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm cực trị M( ) ( )0;2 , N 2; 2− khi và chỉ khi

0; 2

0; 2

 Vậy giá trị của hàm số tại x = −2 là f ( )− = −2 18

Chọn D

Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y =4x3 +mx2 −12x đạt cực tiểu tại điểm

2

x =

Lời giải

Xét hàm số y = 4x3 +mx2 −12x , ta có y' =12x2 +2mx −12 và

'' 24 2 ;

y = x + m  x

Theo bài ra, ta có ( )

( )

2

9

24 0 24.2 2 0

'' 2 0

m m

m y



4

Chọn A

Câu 6: Cho hàm số y = −2x3 +(2m−1)x2 −(m2 −1)x +2 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị

Lời giải

Xét hàm số y = f x( ), ta có y'= −6x2 +2 2( m−1)x m− 2 +  1; x

Phương trình y'= 0 6x2 −2 2( m−1)x m+ 2 − =1 0 ( )*

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị  phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

( )*

 có hai nghiệm phân biệt

 −   − Mà m suy ra m = − − − 3; 2; 1;0;1

Chọn B

Câu 7: Cho hàm số y =x3 +ax2 +bx +2 Biết hàm số đạt cực tiểu tại x =1, tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức T =a2 +b2

A 7

9

7

9 10

Lời giải

Xét hàm số y =x3 +ax2 +bx +2, ta có y' =3x2 +2ax b+ và y '' = 6 x + 2 ; a x  

Hàm số đạt cực tiểu tại ( )

( )

1

'' 1 0

x

y



T =a +b =a + − −a =a + a + a + = a + a +

Xét hàm số f a( ) =5a2 +12a +9 với a  −3 ta có

5

f a = a + f a =  = −a

5

→+

Chọn B

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f x( )= 2x3 −3x2 −m có giá trị cực trị trái

dấu

A −1 và0 B (−;0) ( − +1; ) C ( )−1;0 D 0;1

Lời giải





Yêu cầu bài toán m m( +1)   − 0 1 m 0

Chọn C

Câu 9: Gọi x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số y =x3 −3mx2 +3(m2 −1)x m− 3 +m Giá trị của

tham số m để x12 +x22 −x x1 2 = 7 là

2

2

m =  D m = 2

Lời giải

Ta có y' = 3x2 −6mx +3(m2 −1) =3x2 −2mx +(m2 −1)

Do  =' m2 −m2 + = 1 1 0,  x nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x x1, 2

Theo hệ thức Viet, ta có 1 2 2

1 2

2 1



Yêu cầu bài toán

Chọn D

6

Câu 10: Hàm số y =ax3 +bx2 +cx d+ đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 nằm hai phía trục tung khi và

chỉ khi

A a  0,b  0,c  0 B a,c trái dấu C b2 −12ac  0 D b2 −12ac  0

Lời giải

Đạo hàm: y' = 3ax2 +2bx c+

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình ' 0

y = có hai nghiệm x x1, 2 trái dấu Suy ra a và c trái dấu

Chọn B

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 3 2 ( )

2 3

y = x −mx + m+ x có hai điểm cực trị

nằm trong khoảng (0;+)?

Lời giải

Ta có y' =x2 −2mx m+ +2

Yêu cầu bài toán  y ' = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

2

1 2

2

m





Chọn A

Câu 12: Cho hàm số y = 2x3 −3(m+1)x2 +6mx m+ 3 Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm

số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = 2

A m = 0 B m = 0 hoặc m = 2

Lời giải

 =



7

Để hàm số có hai điểm cực trị m 1

Tọa độ các điểm cực trị là A(1;m3 +3m −1) và B m m( ; 3 2)

Theo bài ra ta có

2

0

m

m

 =

mãn)

Chọn B

Câu 13: Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx m+ −2 với m là tham số, có đồ thị là ( )C m Xác định tham

số m để ( )C m có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành?

Lời giải

Đạo hàm y' = 3x2 +6x m+ Với  = −y' ' 9 3m

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi:   'y' 0 m  3

= +  + −  + − 

Gọi x x1, 2 là hoành độ của 2 điểm cực trị khi đó:

 =  −  + − 

 Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi:

2

2

2

m

8

2

3

m

m

 

Chọn C

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1 2

1

y = x − x +ax + đạt cực trị tại

1, 2

x x thỏa mãn điều kiện ( 2 )( 2 )

x +x + a x +x + a =

Lời giải

Xét hàm số 1 3 1 2

1

y = x − x +ax + , ta có y' =x2 − +  x a; x

Phương trình y'= 0 x2 − + =x a 0 ( )* , có ( )2

1 4a 1 4a

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt 1

4

a

 

Khi đó, gọi x x1, 2 lần lượt là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

x +x + a x +x + a =

x +x = x +x  x +x − x x  = − a

x +x = x +x − x x = − a

4

a

a

 =

Kết hợp với điều kiện 1

2 4

a  → =a là giá trị cần tìm

Chọn A

9

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1( ) 2

5

y = x − m + x +mx có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện x CD −x CT =5

Lời giải

Xét hàm số 1 3 1( ) 2

5

y = x − m + x +mx , ta có y'=x2 −(m+5)x m+ ;  x

Phương trình y'= 0 x2 −(m+5)x m+ =0 ( )* , có

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị  y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

( )*

Khi đó, gọi x CD, x CT lần lượt là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Theo hệ thức Viet, ta có 5

CD CT

CD CT



6

CD CT CD CT

m

m

 =



Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0; 6−

Chọn D

Câu 16: Cho hàm số y = x3 +(2m−1)x2 +(m+1)x Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m

sao cho đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị đồng thời hoành độ của điểm đại không nhỏ hơn −1

4

− − 

4

1

; 4

− −

4

− − 

10 Xét hàm số y =x3 +(2m−1)x2 +(m+1)x, ta có y =x3 +(2m−1)x2 +(m+1)x

Phương trình y'= 0 3x2 +x m(2 −1)x m+ + =1 0 ( )*

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị  y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

( )*

2

4

m

m

 





Vì hệ số a = 1 0 nên x CD x CT suy ra

2

3

CD

x

a

Theo bài ra, ta có

2

2

3

CD

2

1

2

m

m









Kết hợp (I), ta được 1

; 4

 − − 

Câu 17: Cho hàm số y =x4 −2x2 +m có đồ thị ( )C Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số ( )C ,

điểm B m( −1;m2 −m) với m  −1 Gọi m m1, 2 là hai giá trị sao cho độ dài AB ngắn nhất,

tổng m1+m2 bằng

A 1

1 1 2

−

Lời giải

1

x

x

 =



Vì hệ số a = 1 0 nên A( )0;M là điểm cực đại của đồ thị hàm số

1

11 Suy ra min 3

, 2

Chọn B

Câu 18: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số P =2(a2 −m2)−b2 chỉ có đúng một cực trị

0

m m

 

 



Lời giải

TH1 Với m = 0, khi đó hàm số trở thành y = −1 x2 là hàm số bậc hai nên có duy nhất một điểm cực trị, hệ số a = − 1 0 nên hàm số có điểm cực đại

TH2 Với m  0, xét hàm số y =mx4 +(m−1)x2 +3m+1, ta có

3

2

0

x

 =

= −

Để hàm số chỉ có đúng một cực trị  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x =0 hoặc

phương trình (*) vô nghiệm Khi đó

1

1

0

0 2

m

m

m m

 



0

m m

 

 

 là giá trị của tham số m để hàm số đã cho chỉ có đúng một cực trị

Chọn D

Câu 19: Cho hàm số y =x4 −2x2 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho

và có hệ số góc m Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ hai

điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cho đến  là nhỏ nhất

2

Lời giải

12 Suy ra A( ) ( ) (0;0 , B 1; 1 ,− C − −1; 1) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

Phương trình đường thẳng  có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx  mx y − = 0

2

1

m

+

( ) (2 )2 2 2

+

0

1 0

ab

 = − 



Mặt khác

min

2

+

+

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 1 0

1

m



Chọn D

Câu 20: Tìm m để đồ thị hàm số y =x4 −2(m2 −m +1)x2 +m −1 có một điểm cực đại, 2 điểm cực

tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là ngắn nhất

2

2

2

2

m = −

Lời giải

Ta có y' = 4x3 −4(m2 −m+1)x = 4x x 2 −(m2 −m+1)

2

0

1

x

 =



Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là A(− m2 −m +1;y CT) và B( m2 −m +1;y CT)

13

Dấu “=” xảy ra 1

2

m

Chọn B

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số 1

2

m = có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân

A

3

1 9

3

1 9

Lời giải

Xét hàm số y =x4 +2mx2 +1, ta có y' = 4x3 +4mx; x 

2

0

= −

Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi −  m 0 m  0

Khi đó, gọi A( )0;1 , B( −m;1−m2) (,C − −m;1−m2) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số AB =( −m m;− 2),AC = − −( m m;− 2)

Tam giác ABC vuông cân tại A  AB AC = 0 m m+ 4 = 0 m = −1

Hoặc sử dụng công thức tính nhanh với hàm số

2

 = =





8a b+ =  +0 8 2m = 0 m = − 1 m = −1

Chọn B

Câu 22: Cho hàm số sao cho đồ thị hàm số y = − +x4 2mx2 −4 có đồ thị ( )C m Tìm tất cả các giá trị

thực của m để tất cả các cực trị của ( )C m đều nằm trên trục tọa độ

14

Lời giải

2

0

 =

=



Để hàm số có 3 cực trị m 0

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ( ) ( )

2 2



−



( )

2

 = −



=



Chọn B

4

y = x − m + x + m + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ

3

3

3

3

m =

Lời giải

2

0

x

 =



3

Khi đó đồ thị có 3 cực trị là

(0;2 1 ,) ( 2 3( 1 ; 9) 2 4 1 ,) ( 2 3( 1 ; 9) 2 4 1)

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là 2( 1) 2 9( 2 4 1)

0;

3

=

( )

2

1 3

2 3



=



 = −



15

Chọn D

Câu 24: Để đồ thị hàm số y = x4 −mx2 +m −2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính

đường tròn nội tiếp bằng 1 thì giá trị của m bằng

Lời giải

Xét hàm số y =x4 −mx2 +m −2, ta có y' =4x3 −2 x; xm  

2

x

 =

=

Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi m  0

Khi đó, gọi A(0;m−2 ,) ( ) ( )B x y C x y B; , C; là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

Với x x B, C là 2 nghiệm phương trình (*)

2

Tam giác ABC cân tại A có AB =AC suy ra 2

2

ABC

Mặt khác, bán kính đường tròn nội tiếp ABC bằng 1 suy ra SABC = p

Ta có

m

Thay các giá trị m ở đáp án, ta thấy m = 4là giá trị cần tìm

Chọn D

Câu 25: Đồ thị hàm số y =ax4 +bx2 +c có hai điểm cực trị A( ) ( )0;2 ; B 1;m Biểu thức

2

P = a −m −b đạt giá trị lớn nhất khi a b c m+ + + bằng

Lời giải

16 Xét hàm số y =ax4 +bx2 +c ta có y' =4ax3 +2 , xbx  

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A( ) ( )0;2 ,B 1,m

( ) ( )

2

' 1 0 2 0 1

c y





Lấy ( )1 − 2 ( )2 , ta được ( ) (2 )2 ( )2 2 2 ( )2

2a b+ −2 a b+ = −2 m−2 2a −b = −2 m−2

max

P = a −b − m = − m− − m = − − m−  − P = −

Dấu “=” xảy ra m =1 Vậy 2 0 1

2

 + = −  = −





Chọn B