chuyên đề 3 cực trị hàm số

Tìm cực trị của hàm số... Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị hàm số luông có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20... Tìm m để 2 y = + có một điểm cực trị thuộc góc phần tư

CHUYÊN ĐỀ 3

 Cho hàm số y =f x( ) liên tục trên ( ; )a b và ( )f x có đạo hàm trên ( ; )a x0 và ( ; )x b0 Ta có:

x a x0 b

'( )

f x + 0 - ( )

f x CĐ

 Giả sử ( )f x có đạo hàm cấp hai trên ( ; )a b và x0 Î( ; )a b Khi đó nếu

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x

üï

= ï

ýï

< ïþ hàm số đạt cực đại tại x0

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

f x

üï

= ï

ýï

> ïþ hàm số đạt cực tiểu tại x0

 Cho hàm số y =ax3+bx2+cx +d a ( ¹0)

 Hàm số có CĐ, CT  phương trình y'=3ax2+2bx + =c 0 có 2 nghiệm phân biệt

 Đường thẳng qua 2 điểm cực trị được xác định như sau: Chia y cho ' y ta có:

2

2 '

=ççç + ÷÷ + çç - ÷÷ +ççç - ÷÷

ç

Gọi M x y( ; )0 0 là điểm cực trị ta có:

0

'( )

ç

=ç + ÷÷ + çç - ÷÷ +ççç - ÷÷= çç - ÷÷ +ççç - ÷÷

Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là:

2

2

= çç - ÷÷ +ççç - ÷÷

x a x0 b

'( )

f x - 0 +

( )

f x

CT

 Bài tập 1 Cho hàm số 1 3 2 2 2

3

y = x + m -m+ x + m + x+m- Tìm m để hàm

số đạt cực tiểu tại x = -2

 Hướng dẫn:

YCBT '( 2) 0

''( 2) 0

y y

ìï - = ï

 íï - >

 Bài tập 2 Tìm m để f x( )=2x3+3(m -1)x2+6(m-2)x-1 có đường thẳng đi qua CĐ,

CT song song với đường thẳng y =ax+b

f x =  g x =x + m - x+m- = + Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình ( )g x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt m¹3

+ Thực hiện chia ( )f x cho ( )g x ta có: f x( )=(2x+m -1) ( )g x -(m-3)2x-(m2-3m +3)

 PT đường thẳng qua CĐ, CT là: y = -(m-3)2x-(m2-3m +3)

 Bài tập 3 Tìm m để f x( )=2x3+3(m -1)x2 +6 (1m -2 )m x có CĐ, CT nằm trên đường thẳng :d y= -4x

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 g x( )=x2 +(m-1)x +m(1-2 )m =0

+ Thực hiện chia ( )f x cho ( )g x ta có:

2

f x = mx +m- g x - m- x+m m- - m

 PT đường thẳng qua CĐ, CT là: 2

y = - m- x+m m- - m

+ YCBT

2

1

m

m

-ïï

 Bài tập 4 Tìm m để f x( )=x3+mx2+7x +3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với :d y =3x-7

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 3x2 +2mx + =7 0

+ Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt  m > 21

+ Chia ( )f x cho '( )f x ta có: 1 2 2 7

m

f x = x+m f x + -m x + -

 PT đường thẳng qua CĐ, CT là: 2 2 7

m

y = -m x + -

f x = mx - m- x + m- x+ đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn: x1+2x2 =1

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 mx2-2(m-1)x +3(m-2)=0

+ Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt :

0

m

m

ìï ¹ ïïï

 í

ï - < < +

+ Khi đó ta có x x1; 2 là nghiệm phương trình '( )f x =0, kết hợp với yêu cầu bài toán ta có:

1 2

2

3

m

 Bài tập 6 Tìm m để 1 3 2

3

f x = x -mx +mx- đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn:

x -x ³

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 x2-2mx +m =0

+ Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt :

( ; 0) (1; )

m

+ Khi đó ta có x x1; 2 là nghiệm phương trình '( )f x =0, kết hợp với yêu cầu bài toán ta có:

2

1 2

2

2

8

2

m

x x

é

 Bài tập 7 Tìm m để y = -x3+3x2+3(m2-1)x-3m2-1 có CĐ, CT cách đều gốc tọa độ

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 x2-2x-m2 + =1 0

+ Để hàm số có CĐ, CT thì '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt m2 > 0 m ¹0

+ Khi đó 2 điểm cực trị là A(1-m; 2- -2m2); (1B +m; 2- +2m2)

2

OA=OB OA =OB m= 

 Bài tập 8 Tìm m để f x( )=x3+2(m -1)x2 +(m2-4m +1)x-2(m2 +1) đạt cực trị tại

1; 2

x +x = +

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 3x2+4(m-1)x +(m2-4m +1)=0

+ Để hàm số có CĐ, CT thì '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt 2 3

m m

é < -ê

 ê

ê > - + ë

1 2

1 0

2 2

5

m

x x

x x

x x

m

é = ê

ê

3

f x = x + m- x + m+ x+ m+ đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn: x1 < <2 x2

 Hướng dẫn: f x'( )= 0 x2 +2(m -2)x+5m + =4 0

+ Để hàm số có CĐ, CT thì '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt 0

9

m m

é <

ê

 ê >êë + Ta có: x1 < <2 x2 (x2-2)(2-x1)> 0 m <0

 Bài tập 10 Cho hàm số 1 3 2

1 3

y = x -mx - +x m+ Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực trị của hàm số là nhỏ nhất

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì '( )f x =0 phải có 2 nghiệm phân biệt  "m

+ Chia ( )f x cho '( )f x ta có: 1 1 2( 2 ) 2

f x =æçç x- m f xö÷÷ - m + x + m+

÷

 PT đường thẳng qua CĐ, CT là: 2( 2 ) 2

y = - m + x+ m+

+ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:

AB = x -x + m + x -x = m + æçç m + ö÷÷³

÷

2

 Bài tập 11 Cho hàm số y = -x3+3mx2 +3(1-m x2) +m3-m2 Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị

Đáp số: y =2x-m2 +m

 Cho hàm số y =ax4 +bx3 +cx2+dx +e a ( ¹0)

Xét phương trình

có đúng 1 nghiệm

1 nghiệm kép có đúng 1 cực trị có đúng 2 nghiệm:

1 nghiệm đơn có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ, CT

' 0 :

y

ê

ë

 Bài tập 1 Cho hàm số y =f x( )=x4-6x2-8x+1 Tìm cực trị của hàm số

 Bài tập 2 (B_2002) Tìm mđể y =mx4+(m2-9)x2+10 cĩ 3 điểm cực trị

 Hướng dẫn: y'= 0 4mx3+2(m-9)x =0

+ YCBT  phương trình 'y = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt 3

m m

é < -ê

 ê < <êë

f x =x - mx + m +m cĩ CĐ, CT lập thành tam giác đều

 Hướng dẫn: ' 0 x2 0

y

é = ê

=  ê =êë + Để hàm số cĩ CĐ, CT thì phương trình 'y =0 phải cĩ 3 nghiệm phân biệt m >0

+ Khi đĩ 3 điểm cực trị là: A(- m m; 4-m2 +2 ),m B(0;m4+2 ),m C( m m; 4-m2 +2 )m

+ Để ABCD đều thì AB=BC =AC  m4 +m =2 m m= 33

 Bài tập 4 Tìm m để f x( )=x4-2m x2 2 +1 cĩ 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuơng cân

 Hướng dẫn: y' 0 x2 0 2

é = ê

=  ê =êë

+ Để hàm số cĩ 3 cực trị thì phương trình 'y =0 phải cĩ 3 nghiệm phân biệt  m ¹0

A B m- -m C m -m  AB =AC

+ Để ABCD vuơng cân thì AB AC  = 0 m = 1

 Cho hàm số y ax2 bx c

mx n

=

 Hàm số có cực trị  hàm số có CĐ, CT  '( )f x = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị được xác định như sau:

Đặt u x( )=ax2+bx+c, v x( )=mx+n ( )

( )

u x y

v x

 = Gọi M x y( ; )0 0 là điểm cực trị Khi đó ta có:

'( ) 0

'( ) ( )

 Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y 2 x b

 Bài tập 1 Tìm m để ( ) 2 3

4

y f x

x

- có yCÑ-yCT =4

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì pt '( )f x = 0 có 2 nghiệm phân biệt  -x2+8x-m-12=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 4m<4

+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là : y = -2x+3 Gọi 2 điểm cực trị là

( ; 2 3), ( ; 2 3)

A x - x + B x - x + Ta có yCÑ-yCT = 4 x1-x2 = 2 m =3

1

y

x

=

- có CĐ, CT nằm về 2 phía của Ox

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì pt '( )f x =0 có 2 nghiệm phân biệt ; 1 (0; )

6

m æç ö÷÷

 Î -¥ -çç ÷÷È +¥

+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là : y =2mx +3m Gọi 2 điểm cực trị là

( ;2 3 ), ( ;2 3 )

A x mx + m B x mx + m

+ CĐ, CT nằm về 2 phía của Ox (2mx1+3 )(2m mx2 +3 )m =m m( -4)<  <0 0 m<4

 Bài tập 3 Tìm m để 2 2 5

1

x mx y

x

-=

- có CĐ, CT nằm về 2 phía của y=2x

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì pt '( )f x =0 có 2 nghiệm phân biệt m<3

+ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là : y = -2x+2m Gọi 2 điểm cực trị là

A x - x +m B x - x +m

+ CĐ, CT nằm về 2 phía của y =2x (2x -y )(2x -y )< 0 m Î - -( 2 2 6; 2- +2 6)

 Bài tập 4 (A.2007) Tìm m để 2 2( 1) 2 4

2

y

x

=

+ có CĐ, CT cùng với gốc tọa

độ tạo thành một tam giác vuông tại O

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì pt '( )f x =0 có 2 nghiệm phân biệt m ¹0

+ Gọi ,A B là 2 điểm cực trị A(- -2 m; 2 ,- ) B(- +2 m m; 4 -2)

+ Để DOAB vuông tại OOAOB  = 0 m= - 4 2 6

1

y

x

=

+ Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị hàm số luông có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

 Bài tập 6 (B.2005) Cho y mx 1 (C m)

x

= + Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách

từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (C m) bằng 1

2

 Hướng dẫn:

+ Để hàm số có CĐ, CT thì pt '( )f x =0 có 2 nghiệm phân biệt m>0

+ Lập bảng biến thiên ta có điểm CT là A 1 ;2 m

m

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài tập 1 Cho hàm số 2

1

x mx y

x

+

=

- Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa chúng bằng 10

Đáp số: m =4

Bài tập 2 Tìm m để y 2x2 3x m

x m

=

- có CĐ, CT tại x x1, 2 sao cho y x( )2 -y x( )1 >16

Đáp số: 1 17

m m

é < -ê

ê

ê > + ë

Bài tập 3 Tìm m để 2

1

y

x

+ +

=

+ có CĐ, CT nằm về 2 phía đối với trục Oy

Đáp số: m >1

Bài tập 4 Tìm m để 2 2 3 ( )

x mx

x

=

+ có cực trị và khoảng cách từ 2 điểm cực trị đến đường thẳng x + + =y 2 0 bằng nhau

Đáp số: 1

2

m =

Bài tập 5 Tìm tham số m >0 để hàm số

y

x

độ x thỏa mãn x Î(0,2 )m

Đáp số:

1

1 2

3 2

m m

é

ê < <

ê ê

ê >

ê ë

Bài tập 6 Cho hàm

4

y

x

=

- Tìm m để y1 = +4 y2 với y y1, 2 lần lượt là các giá trị

CĐ, CT

Đáp số: m =3

Bài tập 7 Tìm m để y 2x2 3x m

x m

=

- có cực trị thỏa mãn yCÑ-yCT >8

m m

é < -ê

ê

ê < - + ë

Bài tập 8 Tìm m để

2

y

=

+ có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ hai và điểm cực trị còn lại thuộc góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ

2 5

m < -

Bài tập 9 Tìm m để

1

y

x

-=

- có cực trị và tích các giá trị cực trị bằng nhỏ nhất

Đáp số: 7

5

m =

y = x + x + m+ x +m có cực đại và cực tiểu tại điểm có

hoành độ x >m

4

m< - m ¹ -

y = x + -m x + m- x + có cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn

x + x =

Đáp số: 19 3 7

16

m= -

Bài tập 12 Tìm m để y =3x3 +3(m-3)x2+11 3- m có hai điểm cực trị tại ,A B sao cho

, , (0; 1)

A B C -

Đáp số: m =4

Bài tập 13 Tìm m để y =x4-2mx2 +2m-1 có 3 cực trị và các cực trị tạo thành một tam giác có chu vi bằng 4 1( + 65)

Đáp số: m =4

Bài tập 14 Tìm m để y =x3-mx2+ -x 5m+1 có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bé hơn 2

Đáp số:

Bài tập 15 Tìm m để y = - +x3 3x2 +3 (m m+2)x +1 có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 5

Đáp số:

Bài tập 16 Tìm m để y =x4-2mx2 +1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ

Đáp số:

Bài tập 17 Tìm m để 1 4 1( ) 2 2

1

y = x - m- x +m-m có 3 cực trị lập thành một tam giác đều

Đáp số: