xử lý tín hiệu slide c4

DFT Discrete Fourier Transform2.. FFT Fast Fourier Transform CHƯƠNG 4: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC.

1 DFT (Discrete Fourier Transform)

2 FFT (Fast Fourier Transform)

CHƯƠNG 4: BIẾN ĐỔI

FOURIER RỜI RẠC

DFT (Discrete Fourier Transform)

Định nghĩa



−

=

−

=

n

jn

e n x

X (  ) ( ) 

DFT-N điểm

−

=

−

= 1

0

/ 2

) ( )

(

N

n

N kn j

e n x k

Biến đổi Fourier ngược (Inverse DFT)

−

=

0

/ 2

) (

1 )

(

N

k

N kn j

e k

X N

n

- Chuỗi x(n) có N giá trị

- k = 0  N - 1

DFT (Discrete Fourier Transform)





=

khác

L

n n

x

0

0

1 )

(





=

−

−

=

−

−

=

0

/ 2 1

0

/ 2 1

0

/ 2

) ( )

(

L

n

n N k j L

n

N kn j N

n

N kn j

e e

e n x k

N L

k j N

k j

N kL j N

k j

N kL j

e N k

N kL e

N k

j

e N kL j

e

e k

/

/ 2

/ 2

) / sin(

) / sin(

) / sin(

2

) / sin(

2 1

1 )

−

−

−

=

=

−

−

















1 – e-jL = 1 – cosL + jsinL = 2sin2L/2 + j2sinL/2cosL/2 = 2sin(L/2)(sin(L/2) + jcos(L/2))

= 2jsin(L/2)(cos(L/2) – jsin(L/2)) = 2jsin(L/2)e-jL/2

DFT (Discrete Fourier Transform)

Xác định DFT – 10 điểm của tín hiệu:

) 10 0

( 5

3 sin )

2 3

10



x(n) =

FFT (Fast Fourier Transform)

DFT trực tiếp

−

=











0

2 sin

2 cos )

( )

(

N

kn j

N

kn n

x k

2N2 hàm lượng giác 4N2 phép nhân số thực 4N(N – 1) phép cộng số thực











N

kn j

N

kn n

sin

2 cos )

4 phép nhân số thực

2 phép cộng số thực

Một giá trị X(k) cần: 2N hàm lượng giác4N phép nhân số thực

4(N-1) phép cộng số thực

N giá trị X(k) cần:

Chương 4 6

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền thời gian



=

−

=

0

1

0

/ 2

) ( )

( )

(

N n

kn N N

n

N kn j

W n x e

n x k

𝑋 𝑘 = ෍

𝑛 𝑐ℎẵ𝑛

𝑁−1

𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 + ෍

𝑛 𝑙ẻ

𝑁−1 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛

෍

𝑛 𝑐ℎẵ𝑛

𝑁−1

𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 = ෍

𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑚)𝑊𝑁𝑘2𝑚 = ෍

𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑚) 𝑊𝑁2 𝑘𝑚 = ෍

𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑚)𝑊𝑁/2𝑘𝑚

n = 2m:

( j 2 / N )2 j 4 / N j 2 /( N / 2 ) N/2

2

W = −  = −  = −  =

n = 2m+1: ෍

𝑛 𝑙ẻ

𝑁−1 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 = ෍

𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑚 + 1)𝑊𝑁𝑘(2𝑚+1) = 𝑊𝑁𝑘 ෍

𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑚 + 1) 𝑊𝑁2 𝑘𝑚

= 𝑊𝑁𝑘 ෍

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑚 + 1)𝑊𝑁/2𝑘𝑚

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền thời gian

𝑋 𝑘 = ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥 2𝑛 𝑊𝑁

2

𝑘𝑛 + 𝑊𝑁𝑘 ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑛 + 1)𝑊𝑁/2𝑘𝑛

x(n) có N giá trị → x(2n) và x(2n + 1) có N/2 giá trị

−

=

−

= 1

0

/ 2

) ( )

(

N n

N kn j

e n x k

DFT N điểm của x(n): - Chuỗi x(n) có N giá trị

- k = 0  N - 1

෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥 2𝑛 𝑊𝑁

2

𝑘𝑛 : DFT N/2 điểm của x(2n)

෍ 𝑛=0

𝑁

2 −1 𝑥(2𝑛 + 1)𝑊𝑁/2𝑘𝑛 : DFT N/2 điểm

của x(2n+1)

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền thời gian

𝑋 𝑘 = 𝐹1(𝑘) + 𝑊𝑁𝑘𝐹2(𝑘) k = 0  N/2 - 1

𝐹1 𝑘

𝐷𝐹𝑇−𝑁

2 đ𝑖ể𝑚

𝑓1 𝑛 = 𝑥(2𝑛) 𝐹2 𝑘

𝐷𝐹𝑇−𝑁

2 đ𝑖ể𝑚

𝑓2 𝑛 = 𝑥(2𝑛 + 1)

𝑋 𝑘 + 𝑁

2 = 𝐹1 𝑘 +

𝑁

2 + 𝑊𝑁

𝑘+𝑁2

𝐹2 𝑘 + 𝑁

2 = 𝐹1(𝑘) + 𝑊𝑁

𝑁

2𝑊𝑁𝑘𝐹2(𝑘)

𝑊𝑁

𝑁

2 = 𝑒−𝑗2𝜋/𝑁

𝑁

2 = 𝑒−𝑗𝜋 = −1

𝑋 𝑘 + 𝑁

2 = 𝐹1 𝑘 − 𝑊𝑁

𝑘𝐹2(𝑘)

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền thời gian

Cách tính DFT – N điểm của x(n):

B1: xây dựng 2 chuỗi N/2 giá trị từ x(n)

f1(n) = x(2n)

f2(n) = x(2n + 1)

B2: Tính DFT – N/2 điểm của f1 và f2

B3: DFT – N điểm của x(n):

𝑋 𝑘 = 𝐹1(𝑘) + 𝑊𝑁𝑘𝐹2(𝑘)

𝑋 𝑘 + 𝑁

2 = 𝐹1 𝑘 − 𝑊𝑁

𝑘𝐹2(𝑘)

k = 0  N/2 - 1

x(n) = {2, 2 – j, 2 + j, -1} Tính FFT – 4 điểm của x(n):

x(n) = {1,3,-1,-3,2,-3,-2,1} Tính FFT – 8 điểm của x(n):

FFT cơ số 2 trên miền thời gian

a b

A = a + W'Nb

B = a - W'Nb W'N -1

x(n) = {2, 2 – j, 2 + j, -1}

2-j

-1

1-j

3-j

W0

4 -1

X(k) = {5,-1-4j,3+2j,1+2j}

4+j+(1-j) = 5

-j -j(3-j) = -1-4j 4+j – (1-j) = 3 +2j

-j+j(3 – j) = 1 +2j

W0

4=1

W1

4=-j -1

-1

2

2+j

4+j

-j

W0

4 -1

2

3

-1

x(n) = {1,-1,3,-3,2,-2,-3,1}

3

-3

0

6

-1

-2

-3

1

-3

1

-2

-4

-1

-1

-1

-1

3

-1-6j 3

-1+6j

W0

8=1

W2

8=-j

-1

-1

-5

1+4j -1 1-4j

-1

-1

W0

8=1

W2

8=-j

-2 2.54 - 3.88j

2.54+3.88j

3+j -4.54+8.12j

-4.54-8.12j

8

3-j

W0

8=1

W1 8

W3 8

W2

8=-j -1

-1

-1 -1

W3

8 = − 1

2 − 𝑗 1

2

W1

8 = 1

2 − 𝑗 1

2

W0

8=1

W0

8=1

W0

8=1

W0

8=1

X(k) = {-2,2.54-j3.88,3+j,-4.54+j8.12,8,-4.54-j8.12,3-j,2.54+j3.88}

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền tần số



=

−

=

0

1

0

/ 2

) ( )

( )

(

N n

kn N N

n

N kn j

W n x e

n x k

𝑋 𝑘 = ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 + ෍

𝑛=𝑁2

𝑁−1 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛

( j N )kN jk ( )k

kN

W /2 = − 2/ /2 = −  = − 1

n = m+N/2:

෍ 𝑛=𝑁2

𝑁−1 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 = ෍

𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(𝑚 + 𝑁

2)𝑊𝑁

𝑘(𝑚+𝑁2 )

= ෍ 𝑚=0

𝑁

2 −1 𝑥(𝑚 + 𝑁

2)𝑊𝑁

𝑘𝑁2

𝑊𝑁𝑘𝑚

= ෍ 𝑚=0

𝑁

2 −1

−1 𝑘𝑥(𝑚 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

𝑘𝑚

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền tần số

𝑋 𝑘 = ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥 𝑛 𝑊𝑁𝑘𝑛 + −1 𝑘𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

𝑘𝑛 = ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥 𝑛 + −1 𝑘𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

𝑘𝑛

2 /

2

N

W =

𝑋 2𝑘 = ෍

𝑛=0

𝑁

2−1

𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

2𝑘𝑛 = ෍

𝑛=0

𝑁

2−1

𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁/2

𝑘𝑛 = ෍

𝑛=0

𝑁

2−1

𝑔1(𝑛)𝑊𝑁/2𝑘𝑛

𝑋 2𝑘 + 1 = ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

(2𝑘+1)𝑛

= ෍ 𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

𝑛𝑊𝑁/2𝑘𝑛

= ෍

𝑛=0

𝑁

2 −1

𝑔2(𝑛)𝑊𝑁/2𝑘𝑛

FFT (Fast Fourier Transform)

𝐺1 𝑘

𝐷𝐹𝑇−𝑁

2 đ𝑖ể𝑚

𝑔1 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + 𝑁

2)

𝐺2 𝑘

𝐷𝐹𝑇−𝑁

2 đ𝑖ể𝑚

𝑔2 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

𝑛

X(2k) = G1(k)

X(2k + 1) = G2(k) k = 0  N/2 - 1

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT cơ số 2 trên miền tần số

Cách tính DFT – N điểm của x(n):

B1: xây dựng 2 chuỗi N/2 giá trị từ x(n)

B2: Tính DFT – N/2 điểm của g1 và g2

B3: DFT – N điểm của x(n):

X(2k) = G1(k) X(2k + 1) = G2(k)

k = 0  N/2 - 1

𝑔1 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + 𝑁

2)

𝑔2 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + 𝑁

2) 𝑊𝑁

𝑛

Tính FFT – 4 điểm của x(n):

Tính FFT – 8 điểm của x(n):

x(n) = {2 – j, 1 – j, 1 + j, -2}

x(n) = {1,3,-1,-3,2,-3,-2,1}

a b

A = a + b

B = (a – b)W'N W'N

-1

FFT cơ số 2 trên miền tần số

x(n) = {2 – j, 1 – j, 1 + j, -2}

3 -1-j

2-j

4+j

W0 4

-1 1-2j

-1-3j

-5j

2+j

W0 -1

2-j

1-j

W0 4 -1

1+j

-2

W1 =-j -1

X(k) = {2-j,-5j,4+j,2+j}

-4.54 +8.12j

2.54

1-6j

3.54+2.12j

-1+6j

-3.54+2.12j

x(n) = {1,-1,3,-3,2,-2,-3,1}

W3

8 = − 1

2 − 𝑗 1

2

W1

8 = 1

2 − 𝑗 1

2

X(k) = {-2,2.54-j3.88,3+j,-4.54+j8.12,8,-4.54-j8.12,3-j,2.54+j3.88}

W0

8=1

3

-3

1

-1

3

-3

2

-2

-3

0

-2

0.7-0.7j -1

-6j

W1 8

W3 8

W2

8=-j

-1

-1

-1 -1

3

-5 3

j

W2

8=-j

-1

-1

-1

-1

W0

8=1

W2

8=-j

W0

8=1

-2

8

-1

3+j

3-j

-1

2.54 -3.88j

4.54 -8.12j

-1

-1