Biến đổi z2.. Phân tích hệ LTI trên miền Z CHƯƠNG 3: BIẾN ĐỔI Z... Biến đổi zTính chất của biến đổi z Vi phân trên miền z... Tính tương quan của:... Tính tương quan của:... Hàm hệ thống
Trang 11 Biến đổi z
2 Các tính chất
3 Biến đổi z hữu tỉ
4 Biến đổi z đơn hướng
5 Phân tích hệ LTI trên miền Z
CHƯƠNG 3: BIẾN ĐỔI Z
Trang 2nz)n(xX(z) =
Định nghĩa:
Ký hiệu:
) z ( X )
n
(
x ⎯→z
Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ
Miền hội tụ ROC (Region Of Convergence):
Trang 3Biến đổi z
x(n) = {1,2,5,7,0,1}
X(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5 hữu hạn khi z 0 → ROC = C\{0}
x(n) = {1,2,5,7,0,1}
X(z) = z2 + 2z + 5 + 7z-1 + z-3 hữu hạn khi z 0 và z → ROC = C\{0,}
Trang 7X2(z) thì: a1x1(n) + a2x2(n) ⎯→z
X(z) = a1X1(z) + a2X2(z)
(cos0n)u(n) ⎯→z
2 0
1
0 1
z cos
z 2 1
cos z
1
0 1
z cos
z 2 1
Trang 9z-kX(z)x(n) = 2nu(n - 1)
Trang 11X(a-1z), ROC: |a|r1 < |z| < |a|r2
(cos0n)u(n) ⎯→z
2 0
1
0 1
z cos
z 2 1
cos z
1
0 1
z a cos
az 2 1
cos az
Trang 12Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Đảo thời gian
Nếu:
x(n) ⎯→z
X(z), ROC: r1 < |z| < r2 thì: x(-n)⎯→z
Trang 13Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Vi phân trên miền z
−x(n) = nanu(n)
anu(n) ⎯→z
1
az1
1
az1
az
−
−
− , ROC: |z| > |a|
Trang 14Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Vi phân trên miền z
Trang 15X2(z) thì: x1(n) * x2(n) ⎯→z
X1(z)X2(z)Tích chập của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) thực hiện như sau:
Tính biến đổi z của x1(n) và x2(n) (tương ứng là X1(z) và X2(z))
Tính X(z) = X1(z)X2(z)
Biến đổi z ngược x(n) = Z-1{X(z)}, x(n) là tích chập của x1(n) và x2(n)
Trang 192 1
−
=
Tương quan của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) thực hiện như sau:
Tính biến đổi z của x1(n) và x2(n) (tương ứng là X1(z) và X2(z))
Tính X(z) = X1(z)X2(z-1)
Biến đổi z ngược x(n) = Z-1{X(z)}, x(n) là chuỗi tương quan của x1(n) và x2(n)
Trang 20Tính tương quan của:
Trang 21Tính tương quan của:
Trang 23Biến đổi z hữu tỉ
k k
M
0 k
k k
z a
z b )
z ( D
) z ( NX(z) =
0
1 0
1
0
1 0
a
a z
b
b z
b
b z
z a
z b
N N
N
M M
M
N M
+ + +
+ +
1 k
k
M
1 k
k M
N
) p z (
) z z ( Gz
X(z) =
Trang 24Biến đổi z hữu tỉ
Điểm cực của X(z): các giá trị z tại đó X(z) =
Biểu diễn: pk (pole)
Ký hiệu: xĐiểm không của X(z): các giá trị z tại đó X(z) = 0
Biểu diễn: zk (zero)
Ký hiệu: o
Trang 25( )
(
z X
z
Y z
k
a n
y
0 1
) (
) (
M
k
k k
z a
z b z
1
) (
Hệ LTI biểu diễn bằng phương trình saiphân hệ số hằng có hàm hệ thống là hàmhữu tỉ
Trang 26Hàm hệ thống của hệ LTI
Biến đổi z hữu tỉ
Xác định hàm hệ thống và đáp ứng xung của hệ thống biểu diễn bằng phươngtrình sai phân:
y(n) = ½ y(n – 1) + 2x(n)
Trang 27Biến đổi z ngược
M
k
k k
z a
z b z
z X
0
0
) (
M N: chia tử thức cho mẫu thức
M
k
k k N
M
k
k k
z a
z b z
c z
z X
0
0 '
0
1
) (
N M
) (
1
Chỉ xét
M < N
Trang 28Biến đổi z ngược
M
k
k k
z a
z b z
z X
0
0
) (
A p
z
A p
z
A z
1
k
p z
k k
z
z X p
z A
=
−
1 1
A z
p
A z
X
N N
1
1 1
1 1
1
1
) 1 (
) (
p z
n u p A z
p
A
n n z
Trang 29Biến đổi z ngược
Trang 30Biến đổi z ngược
Các điểm cực bậc cao
Trong trường hợp điểm cực bậc m, nghĩa là tồn tại hệ số (z – pk)m thì các hệ số
liên quan đến pk biểu diễn như sau:
k
mk k
k k
k
p z
A p
z
A p
( )
k
p z
m k
i m
ik
z
z X p
z dz
d i m
Trang 31Biến đổi z ngược
2 1 1
) 1
)(
1 (
1 )
− +
=
z z
z X
2
22 21
1 2
2
) 1 (
1 1
) 1 )(
1 (
=
− +
=
z
A z
A z
A z
z
z z
z X
) ( 1
1 2
z X
z X
) ( 1
2
2 2
z
z dz
d z
z X z
dz
d
A
Trang 32Biến đổi z ngược
1
1 1 1 2
1 1
1 1
) 1 (
) (
p z
n u np A z
p
z A
n
n z
Cách khác tính A21:
2
22 21
1 2
3
) 1 (
1 1
) 1 )(
1 (
) (
−
+
−
+ +
=
− +
=
z
z A z
z A z
z A z
z
z z
X
Cho z → : 1 = A1 + A21 → A21 = 1 – A1 = 1 – ¼ = 3/4
2 1
1 2 1 1
1
) 1
( 1
4 / 3 1
4 /
1 )
−
−
− + − + − +
=
z
z z
z
z X
Áp dụng kết quả:
Trang 33Biến đổi z ngược
Trang 34Biến đổi z đơn hướng
(
n
n
z n x z
n
z)n(
k
1 n
n
z ) n (
Trang 35Phân tích hệ LTI trên miền Z
Đáp ứng với điều kiện đầu khác 0
k
a n
y
0 1
) (
) (
) (
k
k
n
n k
a z
Y
0
) ( )
( )
( )
(
) (
) ( )
( ) ( 1
) ( )
( 1
z N z
H z X z
a
z n y z
a z
X z
a
z b z
k
k k
k
N
k
k k
M
k
k k
+
= +
−
− +
Yzs(z): zero state
Yzi(z): zero input
Trang 36Phân tích hệ LTI trên miền Z
y(n) = 0.9y(n – 1) – 0.81y(n – 2) + x(n)
với ngõ vào là hàm bước đơn vị với các điều kiện đầu: y(-1) = y(-2) = 1Xét hệ thống mô tả bằng phương trình sai phân:
M
k
k k
z a
z b z
A
1
1 ) (
a z
N
Trang 37Phân tích hệ LTI trên miền Z
Trang 38Phân tích hệ LTI trên miền Z
Đối với hệ thống nhân quả: h(n) = 0 với n < 0
H z = σ𝑛=0∞ ℎ 𝑛 𝑧−𝑛 hữu hạn khi |z| > r
Hệ LTI ổn định và nhân quả khi ROC của H(z)có dạng |z| > r với r < 1