Một số ứng dụng của hàm số

Lời giới thiệu Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất GTNN, giá trị lớn nhất GTLN của một biểu thức là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ thôn

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LÊ XOAY

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LÊ XOAY

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LÊ XOAY

MỤC LỤC

2 Tên sáng kiến 4

3 Tác giả sáng kiến 4

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 4

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 4

6 Ngày sáng kiến được áp dụng thử 4

7 Mô tả bản chất sáng kiến 4

Cơ sở lí luận và thực tiễn 4

7.1 Nội dung của sáng kiến 5 A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 5

B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN 1 GTLN – GTNN của hàm số

2 GTLN – GTNN của biểu thức chứa nhiều biến 6 6 9 C Ứng dụng của GTLN – GTNN 1 Ứng dụng vào bài toán giải phương trình, bất phương trình chứa tham số 2 Ứng dụng vào bài toán thực tế 34 34 39 D Một số câu hỏi trắc nghiệm 45

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến 47

8 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 47

9 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến của tác giả

47 10 Danh sách những tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu

48

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó

ở chương trình phổ thông Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất Trong Sách giáo khoa Giải tích

12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số) Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến Thực tế trong bài tập thi bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất yêu cầu cao đa dạng đòi hỏi học sinh có nhiều kĩ năng Hơn nữa số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ Vì vậy để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ đó vận dụng để giải tốt bài tập về GTLN - GTNN, đạt được kết quả cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, tôi

đã quyết định chọn đề tài “Một số ứng dụng của hàm số”

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Trường THPT Lê Xoay - huyện Vĩnh Tường - tỉnh Vĩnh Phúc

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Giảng dạy và bồi dưỡng kỹ năng giải bài tập giải tích cho học sinh THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng thử: Từ tháng 10 năm 2016

7 Mô tả bản chất sáng kiến

Cơ sở lí luận và thực tiễn

Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số)

Các em học sinh còn lúng túng thậm chí bỏ qua bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến và trong các kì thi chọn học

sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, những bài toán này thường ở dạng khó ở mức vận dụng cao phải sử dụng kết hợp các phương pháp

Từ thực tế trên mục đích của đề tài là xây dựng được phương pháp tìm tòi có căn cứ để giải bài toán: dựa vào các bất đẳng thức, các hàm trung gian sau

đó kết hợp với phương pháp hàm số để tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

7.1 Nội dung của sáng kiến

A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Định nghĩa:

Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên tập D nếu:

2 Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

a Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn

đó

b Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng  a b tại đó '( ); f x bằng 0 hoặc không xác định

 Tìm tập xác định

 Tính '( ) f x Tìm các điểm x x1, , ,2 x mà tại đó '( ) n f x bằng 0 hoặc không xác định

 Sắp xếp các điểm x x1, , ,2 x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên n

 Từ bảng biến thiên kết luận về GTLN, GTNN của hàm số trên  a b ;

3

y

Nhận xét: Đây là bài toán không khó, học sinh hoàn toàn làm được

Ngoài cách làm tự luận tìm ra đáp án bài toán, nếu học sinh gặp bài toán này dạng trắc nghiệm học sinh có thể sử dụng máy tính casio để giải như sau:

Start 0 end 2 step 0.5

Từ bảng hiện trên máy tính suy ra giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

29 17

Nhận xét: Sử dụng đạo hàm đối với bài này là không khó Tuy nhiên học sinh lại

khá lúng túng trong việc giải phương trình f x  0 Thế nhưng khi chuyển thành bài toán trắc nghiệm thì học sinh dễ dàng tìm ra được đáp án Cách sử dụng máy tính casio để tìm GTLN, GTNN của hàm số giống với bài 1

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 2

x x

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3. 3 4 1 1

1.2 Sử dụng phương pháp đổi biến tìm GTLN – GTNN của hàm số

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nhận xét: Bài toán sau khi đặt ẩn phụ trở thành bài toán quen thuộc học sinh

làm dễ dàng Với bài toán trắc nghiệm thì việc tìm GTLN, GTNN của hàm số là

dễ với cách sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x  4 4  x 4 (x 4)(4  x) 5

Vậy  

4;4

maxy f(2 2) 5 2 2

Nhận xét: Sau khi đổi biến thì việc tìm tập giá trị của biến mới luôn là phần khó

và quan trọng, nếu không tìm đúng tập giá trị của biến mới sẽ dẫn đến đáp số sai Khi tìm được tập giá trị của biến mới rồi thì bài toán trở nên dễ dàng khi đưa về dạng thường gặp

2 GTLN – GTNN của biểu thức chứa nhiều biến

2.1 Đưa trực tiếp biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa 1 biến

Nhận xét: Bài toán trên có thể cho học sinh lớp 10 làm được bằng cách sử dụng

bất đẳng thức Cosi thế nhưng cái khó của bài toán là tìm điều kiện ẩn x, y để P đạt GTNN Nhưng khi thế y theo x vào biểu thức thì biểu thức thành 4 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5

Bài 2 Cho ba số thực x y z, ,  1;4 và xy x, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Từ giả thiết x y 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ?

Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x y để sử dụng giả thiết

x y  xy  xy x y  xy x xyy

Sau khi khai triển và thế vào x y 1, ta có S16x y2 22xy12

Vậy đến đây ta nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu đặt txy

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5

Suy ra T f c( )  f(1)  13 khi c=1; a=1; b=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 13 khi a=b=c=1

Bài 2 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ

4

3 5 ) ( 5 ) (

2 2

2 2

2

b a ca a

c

b bc

c b

Do a + b+ c = 1nên ta biểu diễn a + b = 1- c

Như vậy ta có thể biểu diễn P theo c không?

Tương tự, ta có

4

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y z 0 và x2  y2 z2 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x  5 y5 z 5

2 Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2  y2 z2 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 6y z x   27xyz

2.2.2 Đưa biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa 1 biến là biến mới

2.2.2.1 Đánh giá qua hàm trung gian

Bài 1: (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018)

Cho a b, là các số thực dương thoả mãn 2(a2b2)  ab (a b ab)( 2) Tìm GTNN của biểu thức



đẳng thức xảy ra

1 21

4 16

1 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  12

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  , Dấu bằng khi và chỉ khi a  b c 2

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 216

Bài 5 (Đề thi HSG 12 – Tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2015-2016)

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1;9 và xy x, z Tìm giá trị nhỏ nhất của

( )

f x 216

326716

t t

12

54

Bài 9 (Đề khảo sát giáo viên tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 – 2018)

Cho hai số thực a b, thỏa mãn 1 1

3   b a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

log 1 log

Suy ra P ³ 6, dấu “=” xảy ra khi

3 Cho các số thực dương a b c, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4 (Đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn  1;4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1 (THPT Quốc gia 2016- 2017)

g x   x  Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có min 2 11 3

3



Bài 2 (Đề thi HSG – tỉnh Vĩnh Phúc – năm học 2016-2017)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ bảng biến thiên ta được f x( )  f(1)    0; x 0

Thay x lần lượt bằng a,b,cta được: f a( )  f b( )  f c( )  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi a  b c 1

Bài 3 Cho , , x y z là các số thực không âm thỏa mãn

ï < + + £ïî

Xét hàm số ( ) 4 3 1, [0;3]

t

g t = - -t tÎ Ta có ( ) 1 3

' 4 ln 4 1 3

Suy ra 21,

4

P £ dấu “=” xảy ra khi x= 3,y= z= 0 hoặc các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21

4

Bài 4 Cho hai số thực thỏa mãn và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0   b a 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 1 2

Cho hàm số f ( x )liên tục và có đạo hàm cấp hai trên đoạn  a;b

Nếu f "(x) 0, x   a,b ta luôn có f(x) f '( x ) x 0  x 0 f(x ), x 0  0  a,b

Nếu f "(x) 0, x   a,b ta luôn có f(x) f '( x ) x 0  x 0 f(x ), x 0  0  a,b

Đẳng thức xảy ra trong hai bất đẳng thức trên khi và chỉ khi x  x0

Với bài toán sử dụng tính chất tiếp tuyến này thì việc chọn điểm rơi x  x0 là khó, để tìm được điểm này thường chúng ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi các biến có giá trị bằng nhau

Bài 1 Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 2 2 2 2 2 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi 1

4

a   b c d

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

4 17 16

  luôn đúng với mọi x>0

Thay x bởi a,b,cta có 6 54 27 54 27 54 27 3

C Ứng dụng của GTLN – GTNN

1 Ứng dụng vào bài toán giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

Bài 1 Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

 1 1 3 2 1 2 5 0

m  x   x x   có đúng hai nghiệm thực phân biệt

Bài 2 (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3 3

3 3sin sin

m m x  x có nghiệm thực

Giải:

Ta có 3 3 3 3

3 3sin sin 3 3sin sin

3 3

3sin 3 3sin sin 3sin (1)

Vậy để phương trình có nghiệm thì    2 m 2

Bài 3 Cho phương trình:

ê = - Î -çç ú

ê çè úûë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi    4 m 1

Bài 4 Tìm các giá trị thực của tham sốmđể phương trình

 

 

 Giải

6

+ 

1 4 -1

-2

- 

f(t) f'(t)

t

4 4

0 1

    t  1;1  Hàm số đồng biến trên đoạn   1;1

Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị ym y;  f t  cắt nhau   t  1;1

2 Ứng dụng vào bài toán thực tế

2.1 Bài toán liên quan đến quãng đường

Bài 1 (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016 -2017)

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một

khoảng AB  4( km ). Trên bờ biển có một cái kho ở

vị trí C cách B một khoảng BC  7( km ) Người

canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M

trên bờ biển với vận tốc 6( km h ) rồi đi xe đạp từ M

C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được

15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30m Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C

Thời gian làm đường đi từ A đến C là

2 2

(25 ) 100 100

2.2 Bài toán liên quan đến diện tích, thể tích hình học

Bài 1 (Đề THPT Quốc Gia 2018)

x 25m

Ông A dự định sử dụng hết 6,5m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình 2

hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

39 6

Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm tìm được thể tích là hàm số theo biến x ta sử dụng

máy tính để tìm GTLN của thể tích mà không cần giải theo tự luận và rút ngắn được thời gian làm bài mà vẫn đảm bảo đáp số đúng

Bài 2 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông

bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp Tìm cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất?

Giải

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt 0

2

a x

Giả sử 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c Giả sử a £ b£ c

= Û ê

ê = ë

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật là 8 2

2.3 Bài toán kinh tế

Bài 1 Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể

tích là (như hình vẽ bên) Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm Tính chi phí thấp nhất để làm bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một

Gọi lần lượt là bán kính đường tròn đáy và đường cao của

Khi đó chi phí làm nên bồn chứa thóc được xác định theo hàm số:

(nghìn đồng)

Bảng biến thiên:

2 Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm và ước tính rằng với q sản phẩm được sản xuất thì tổng chi phí sẽ là C q  q2  q

3 72 9789 (đơn vị tiền tệ) Giá mỗi sản phẩm công ty sẽ bán với giá p q  180 3  q Hãy xác định số sản phẩm công ty cần sản xuất sao cho công ty thu được lợi

nhuận cao nhất ?

3 Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm và

chiều rộng 6cm Thực hiện thao tác gấp góc dưới

bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh

chiều dài còn lại Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp

y x

7 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km Vận tốc

dòng nước là 6 km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức 3

E v cv t

trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun Vận tốc bơi của cá khi nước đứng

yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất bằng

A 6 km/h B 8 km/h C 7 km/h D 9 km/h

8 Cho ABC đều cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh

MN nằm trên BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB

của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện

các tông theo mẫu như hình vẽ Hộp có đáy

là một hình vuông cạnh x cm, chiều cao h cm

và có thể tích 500 cm3 Giá trị của x để diện

tích của mảnh các tông nhỏ nhất bằng

x

x h

h

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến có thể áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia hoặc học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh

8 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

- Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu tham khảo và sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc

- Chọn lọc biên soạn theo hệ thống bài dạy

- Nghiên cứu các đề thi và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

9 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến của tác giả

- Khi áp dụng đề tài vào thực tế dạy học tôi thu được kết quả:

+ Học sinh được phát triển tư duy và kỹ năng liên hệ các vấn đề toán học Học sinh hình thành lời giải một cách nhanh nhẹn, sáng tạo

+ Qua đây các em không chỉ được rèn luyện củng cố các kiến thức về giải bài toán tìm GTLN – GTNN, mà còn được trang bị thêm phương pháp tiếp cận những bài tập nâng cao, khó trong đề thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh