Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Lý do chọn đề tài Một trong các ứng dụng cơ bản của đạo hàm là khảo sát tính đơn điệu của hàm số.Bằng việc khảo sát được tính đơn điệu của hàm số ta giải quyết được nhiều dạngtoán liên q

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tác giả: Lê Anh Tuấn

Điện thoại: 0913389665

Email: leanhtuan@gmail.com

Mã sáng kiến: 05.52

Vĩnh Phúc, tháng 12 năm 2019

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 4

5 Mô tả sáng kiến 4

6 Bố cục 4

PHẦN B: NỘI DUNG 6 I Một số vấn đề lý thuyết liên quan 6 II Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số 6 1 Chứng minh bất đẳng thức 6

2 Giải các phương trình, bất phương trình……… 18

3 Giải các hệ phương trình 23

III Một số bài tập vận dụng 35 PHẦN C: KẾT LUẬN 38 1 Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài……… 38

2 Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến ……… 38

3 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến ………… 38

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Một trong các ứng dụng cơ bản của đạo hàm là khảo sát tính đơn điệu của hàm số.Bằng việc khảo sát được tính đơn điệu của hàm số ta giải quyết được nhiều dạngtoán liên quan như chứng minh bất đẳng thức, giải các phương trình, hệ phươngtrình Vì vậy có thể nói tính đơn điệu của hàm số có rất nhiều ứng dụng và rất quantrọng trong chương trình giải tích ở trường THPT

Báo cáo kết quả nghiên cứu này, tôi sẽ trình bày một số ứng dụng của tính đơn điệuhàm số để giải một số dạng toán thường gặp trong các kì thi THPTquốc gia vàtrong các kì thi chọn học sinh giỏi bậc trung học phổ thông

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài "Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số" được tác giả chọn viết nhằm

giới thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phương phápcủa chúng tôi khi giảng dạy về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toánTHPT, qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của nó qua các ứng dụng, đặc cácbài toán được lấy từ các đề thi THPT quốc gia và kì thi học sinh giỏi về toán trongnhững năm gần đây

Đề tài này được coi như một chuyên đề để giảng dạy nâng cao cho học sinh THPT

và bồi dưỡng cho học sinh giỏi về Toán Tác giải rất mong nhận được góp ý trao

đổi của các thầy chuyên gia, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề có thể sâu sắc vàhoàn thiện hơn nữa Hy vọng đề tài sẽ góp một phần nhỏ để việc giảng dạy phầngiải tích đạt hiệu quả nhất

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong bản sáng kiến kinh nghiệm sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếusau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về ứng dụng tính đơnđiệu hàm số, đặc biệt từ các tạp chí trong và ngoài nước; tài liệu từ Internet

- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh khá giỏi toán)

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

4 Giải thuyết khoa học

Nếu học sinh được học chuyên sâu theo chuyên đề như trên sẽ phát triển năng lực

tư duy Toán học, đặc biệt là có phương pháp để giải quyết các bài toán về giảitích

5 Mô tả sáng kiến

5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

5.2 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Anh Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com

5.3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn

5.4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dùng để dạy cho các lớp ôn thi THPTquốc gia

và bồi dưỡng các đội tuyển HSG Toán tham dự kì thi HSG Tỉnh

5.5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 08/12/2019

5.6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

6 Bố cục

Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

B- NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

II Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

1 Chứng minh bất đẳng thức

2 Giải các phương trình, bất phương trình

3 Giải các hệ phương trình

III Một số bài tập vận dụng

C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

PHẦN B NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

1.1 Cho hàm số y f x( ) đồng biến trên  a b Với mọi ; x x1, 2� a b; ta luôn có

Ta thường sử dụng trực tiếp khái niệm về hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến

để suy ra các bất đẳng thức mà hai vế đối xứng (có một đặc trưng hàm số nào đó).Việc xét tính đồng biến nghịch biến của một hàm số được thực hiện đơn giản bằngviệc xét dấu đạo hàm Cụ thể ta sử dụng kết quả sau:

+ Nếu f x đồng biến trên [a; b] thì   f x   f a  với mọi x > a.

+ Nếu f x nghịch biến trên [a; b] thì   f x   f b  với mọi x < b.

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng cos  �sin 1, với mọi 0;

2



 � ��� �

Lời giải Xét hàm số ( ) cos f x  x x � với sinx 0;

   Chứng minh rằng tanb� a a �tanb

tan 2 sin 2cos

f a  f b với 0

2

a b 

   (đpcm)

Nhận xét Từ cách giải bài toán ta suy ra một kết quả có nhiều ứng dụng trong việc

chứng minh bất đẳng thức sau đây: Với mọi x � ta có sin x x0 �

Tiếp theo là một ví dụ áp dụng kết quả cơ bản trên

Bài toán 1.3 Cho 0 π



� (đpcm)

Như vậy ta có một bất đẳng thức kẹp cho sinx:

Với mọi x  ta có 0 3 sinx

6

x

x  x .

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng với mọi x� ta có 0 e x �1x

Lời giải Xét hàm ( ) f x    với e x x 1 x� Ta có '( )0 f x   � với mọie x 1 00

x�

Suy ra hàm f(x) đồng biến trên 0; � f x( ) f(0) 0 Vậy e x �1x

Đẳng thức xảy ra khi x=0

Nhận xét Bằng việc xét đạo hàm nhiều lần và sử dụng kết quả bài toán 1.4 ta có

kết quả tổng quát hơn như sau:

Kết quả 1:

21

nên ( )f x là hàm nghịch biến trên 0;� Do đó  f a  �f b  (đpcm).

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng với mọi ,x y phân biệt thuộc khoảng  0;1 ta có

Suy ra f(t) đồng biến trên (0;1) Từ đó ta suy ra ngay điều phải chứng minh.

Bài toán 1.7 Cho các số , ,a b x dương và a b � Chứng minh rằng

Bài toán 1.8 ( Đề thi HSG Quốc gia năm 1992) Chứng minh rằng với mọi số tự

Vậy f(x) nghịch biến (0;1) nên f(x) < f(0) = 2,  �x  0;1 (đpcm)

Bài toán 1.9 Cho n là số nguyên lẻ lớn hơn 3 Chứng minh rằng với mọi x� ta0có

f’(x) + 0 f(x)

-Vậy

2

2 1 (0;1)

(2 )max ( )

(2 1)

n n

n

n   ne

Thật vậy,

2 1 2

2 1

n n

Từ (1), (2) ta suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét Việc kết hợp thêm định lý Lagrange giúp cho các bước đánh giá trung

gian nhanh hơn Ta xét thêm một ví dụ có sử dụng định lý này trong việc đánh giá

Bài toán 1.11 Chứng minh rằng

Lời giải Trước tiên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng về dạng quen đơn giản

đồng biến trên 0;� � f x  1 f x  Bài toán được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét Trong bài toán trên thực chất của vấn đề là ta đi chứng minh hàm số

1( ) 1

Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng cách khác như sau:

Xét hàm số ( ) ln(1F x   Với mọi cặp số thực dương x, y bất kì thỏa mãn x)

x y , theo định lí Lagrange, luôn tồn tại x0�(0; ),x y0�( ; )x y sao cho:

Lời giải Áp dụng BĐT Côsi ta có 2s inx 2t anx �2 2 2sinx t anx

Ta chứng minh 2 2 2s inx t anx �۳� �2x1  2sinx t anx 22x sinx t anx 2x

Xét hàm số ( ) sinf x  xtanx2x liên tục trên 0;

�� �� � Bài toán được chứng minh

Bài toán 1.13 Chứng minh rằng

3sinx

� � Bằng việc áp dụng vào tam giác ABC với tổng ba

góc A B C   ta thu được kết quả khá hấp dẫn sau:

Với , ,A B C là ba góc của một tam giác nhọn bất kì ta có:

2 sinAsinBsinC  tanAtanBtanC 3 

Bài toán 1.14 (Đề thi HSG Hà Nội năm 2017) Cho hàm số f xác định trên tập số

thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện

cot  sin 2 cos 2 , 0; 

f x  x x  �x  .

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x   f sin2x f  cos2 x

trên tập số thực

Lời giải Ta có

cot sin 2 cos 2 , 0;

2cot cot 1 cot 2cot 1

1 0;

4 25

h u h� �� �

Vậy ming x    , đạt được chẳng hạn khi x = 0 và 1 max   1

2 Giải các phương trình, bất phương trình

Để giải một phương trình hay bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơnđiệu ta thường có hai hướng tiếp cận như sau:

Hướng 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m, nhẩm được một nghiệm rồi

chứng minh hàm f(x) đồng biến (nghịch biến) Từ đó suy ra phương trình có

nghiệm duy nhất

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v), trong đó hàm f(x) đồng biến

(nghịch biến) Khi đó ta được u = v.

Bài toán 2.1 Giải phương trình  4 

f t � � � �� � � �

� � � � với t �� Dễ thấy ( ) f t là hàm số nghịch biến Khi

đó (2) trở thành ( )f t  f(1)�t 1� x81 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 81

Bài toán 2.2 Giải bất phương trình 2 32 1

Vậy tập nghiệp của bất phương trình đã cho là �;2

Nhận xét Trong các bài toán trên, việc phát hiện ra được hàm số đơn điệu khá dễ

dàng, tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta phải biến đổi khéo léo để có thể tìm rahàm số đơn điệu phù hợp Ta xét tiếp một số bài toán sau

Bài toán 2.3 Giải phương trình 3x   x 1 log 1 23  x

Bảng biến thiên của hàm số ( )g x như sau

Từ bảng biến thiên của hàm số ( )g x ta thấy phương trình ( ) 0 g x  có không quáhai nghiệm Dễ kiểm tra thấy (0)g g(1) 0 Suy ra phương trình (2) có đúng hainghiệm x và 0 x  1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 0 x 1

Bài toán 2.4 Giải bất phương trình 2 2 2



0

Lời giải Điều kiện

Bài toán 2.5 Giải pt:3 (2x  9x2  3) (4x2)( 1 x x2  1) 0

2

� �

� � Phương trình tương đương với

Bài toán 2.6 (Đề HSG Tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải phương trình

� ta được phương trình loga blog (a1 b1)

Đặt loga blog (a1 b  suy ra 1) y

Bài toán 2.7 (Đề ĐH năm 2010) Tìm nghiệm dương của phương trình sau

2 2

Và 1 0 1

f � �� � �x

� � là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài toán 2.8 Giải phương trình 4x3  x (x 1) 2x 1 0

Hướng dẫn Khó khăn nhất là biến đổi để phát hiện ra hàm số đặc trưng ở hai vế

ra được 2x y �2x  2x1, từ đó ta suy ra nghiệm x cần tìm.

Bài toán 2.9 Giải phương trình 8x3 36x2 53x25 3 3x5

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng:

(2x3) (2x 3) (3x 5) 3x5Lại xuất hiện hàm đặc trưng f t    nên suy ra được t3 t 2x 3 3 3x , từ đó5

x ax ax b a ax b Xét hàm f t( )  đơn điệu trên R Từ đó suy ra t3 at x 3 ax b

Ta tiếp tục với một phương trình khó hơn như sau:

Bài toán 2.10 Giải phương trình 7x2 13x 8 2x23 x x(3 23x1)

Bài toán 2.11 (Tạp chí THTT năm 2016) Giải PT: x33x2   x 2 33x4

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng

(x1)   (x 1) (3x 4) 3x4� 3x  4 x 1�(x1) 3(x 1) 1Sau đó đưa về giải PT a3 3a bằng phép thế lượng giác 1 a 2cost

Ta thu được các nghiệm là: 2cos 1;2cos5 1;2cos7 1

f u x  f v y , trong đó hàm f t là hàm đồng biến (nghịch biến) Từ đó 

cho ta một quan hệ mới giữa x và y Ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản sau

Bài toán 3.1 Giải hệ phương trình

sin sin 3 3

5

Xét hàm số f t  sint  với t �� thì dễ thấy hàm 3t f t nghịch biến nên 

Lời giải Điều kiện

2280

3

x y

x y   y  x  x � x  x  y  y

Hàm số f t   t2 2 t đồng biến trên 0;� nên ta thu được  x  2 y

Thay y x  vào hai của hệ ta được 2 4 x 2 22 3 x x28 (*)

Lời giải Điều kiện xác định:

Phương trình đầu của hệ được viết lại thành

4 2x1 3 2x 1 4 y1 3 y1

Hàm số f t( ) 4 t3  đồng biến trên 3t � nên suy ra 2x   1 y 1

Thay kết quả trên vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được

Bài toán 3.6.Giải hệ phương trình:

2 2

Lời giải Điều kiện y x� � 1

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x y  x   y x2 2 x 1 y2  y x2 2 x 1 y2 (y 1) 1

Do đó x2 2 x1�y2 2 y1 (*)

Hàm số f(t) = f t   t2 2 t1 (t � đồng biến nên ta được x y1) � Kết hợp

y x� ta được x y Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất    x y,  2,2

Bài toán 3.7.Giải hệ phương trình    

Dễ thấy hàm số f t  t1 1t2 đồng biến trên khoảng 0;�

Lời giải Trước tiên ta để ý vào phương trình đầu của hệ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y � Do đó 0  1 � x y � 0

Thay vào (2) ta được 2 2 3 2

3 5 2 4 5 (1 2 ) 63 2 2 7

x  x  x   x x  xĐây là một phương trình khó, để giải nó ta biến đổi để xuất hiện dấu hiệu ẩn phụnhư sau:

* Tính chất cơ bản: Nếu hai hàm f t g t cùng tính đơn điệu thì    , x y z  .Thật vậy, giả sử f t g t cùng tính đơn điệu tăng Không mất tính tổng quát, giả   ,

điệu thì ta luôn thu được x y z  Và đây cũng là phương pháp giải các hệ hoán

vị vòng quanh Ta bắt đầu với bài toán cơ bản sau:

Bài toán 3.11.Giải hệ phương trình

Lời giải Xét hàm số f t   t3 3t2  5t 1, g t   , dễ thấy ngay cả hai hàm4t

đều đồng biến trên � Do đó x y z  Thay vào hệ đã cho ta được

Do đó x y z  Thay vào hệ đã cho ta được

Bài toán 3.13. Giải hệ

2

3 2

3 2

Lời giải Điều kiện xác định , , x y z6.

Biến đổi hệ đã cho tương đương với

y z

z x

3 2

log (6 )

x x

 

  Phương trình này có nghiệm duy nhất x  Vậy hệ có nghiệm duy nhất3

60

36 2560

60

36 25

x y

x y z

y z x

Để khắc phục được điều này ta để ý đến các phương trình của hệ, dễ nhận thấyngay , ,x y z không âm Khi đó hàm f t đồng biến trên   0;� Do đó x y z   Thay vào hệ đã cho ta được

2 2

 Giải phương trình ta được x 0.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x y z, ,   0,0,0 

Bài tương tự:

Bài toán 3.14.1.Giải hệ phương trình

Hướng dẫn Nếu chỉ xử lý bằng việc đánh giá biến như ở trên thì chưa thể giải

quyết được bài toán này Ta có một hướng xử lý bằng cách biến đổi hệ như sau:

bằng các lý luận tương tự cách giải hệ hoán vị ta cũng suy ra được x y z  Từ

đó ta suy ra nghiệm của hệ đã cho

Bài tương tự: Giải hệ phương trình

đồng biến, tuy nhiên ta chưa biết sự biến thiên của hàm ( )f t Ta cần một đánh giá

và xử lý khéo léo hơn nữa

2

y x

x y

Bài 3 Giải hệ phương trình

x x

y y

z z

y z x

222

Bài 9 Giải hệ phương trình

222222

Bài 16 Giải hệ phương trình

PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài, sáng kiến:

Để giảng dạy có hiệu quả đề tài này, giáo viên cần phải trang bị cho học sinh đầy

đủ những kiến thức cơ bản của giải tích Khi giảng dạy, giáo viên cần chọn lọcnhững bài toán điển hình nhất thể hiện được cho phương pháp cụ thể

2 Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến:

Nâng cao chất lượng học sinh giỏi trong các kỳ thi cấp tỉnh, cấp quốc gia và chấtlượng học sinh thi vào đại học ở bộ môn Toán

3 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến : Số

1 Giáo viên giảng

dạy bộ môn Toán

Trường THPT Nguyễn

Thái Học

Bồi dưỡng học sinh thi vào đại học và thi chọn học sinh giỏi

2 Giáo viên giảng

dạy bộ môn Toán

Một số trường THPTtrong tỉnh Vĩnh Phúc

Bồi dưỡng học sinh thi vào đại học và thi chọn học sinh giỏi

[1] Nguyễn Trọng Tuấn, Các bài toán hàm số qua các kì thi Olympic, NXB Giáo

dục

[2] Teodora-Liliana T Rădulescu, Vicenţiu D Rădulescu, Titu Andreescu (2009),

Problems in Real Analysis Advanced Calculus On The Real Axis, Springer.

[3] Tuyển tập các đề thi THPT quốc gia các năm 2018, 2019

[4] Tuyển tập các đề thi HSG lớp 12 các tỉnh

[5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ

[6] Tài liệu từ Internet