Một số ứng dụng của định lý lagrange và định lý rolle

Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle 8 1.. Lý do chọn đề tài Định lý Lagrange là một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân, nó là một mở rộng của địn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

Mã sáng kiến: 61

Vĩnh Phúc, tháng 10 năm 2018

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 4

5 Mô tả sáng kiến 4 6 Bố cục 4

PHẦN B- NỘI DUNG 6 I Một số vấn đề lý thuyết liên quan 6 1 Định lý Rolle……… 6

2 Định lý Lagrange 7

II Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle 8 1 Giải phương trình ………. 8

2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 10

3 Chứng minh bất đẳng thức……… 22

4 Tìm giới hạn dãy số……… 29

III Một số bài tập vận dụng 37 C PHẦN KẾT LUẬN 39 1 Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài……… 39

2 Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến ……… 39

3 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến ………… 39

PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Định lý Lagrange là một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân,

nó là một mở rộng của định lý Rolle Trong sách giáo khoa giải tích lớp 12, định lý nàyđược thừa nhận vì phép chứng minh của nó vượt ra ngoài chương trình phổ thông Ứngdụng của định lý Lagrange rất quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết và giải quyếtmột số dạng toán trong chương trình giải tích ở trường THPT

Báo cáo kết quả nghiên cứu này, tôi sẽ trình bày phép chứng minh định lý Lagrange vàứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle để giải một số dạng toán thường gặptrong các kì thi THPTquốc gia và trong các kì thi chọn học sinh giỏi bậc trung học phổthông

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài "Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle" được tác giả chọn

viết nhằm giới thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phươngpháp của chúng tôi khi giảng dạy về định lý Lagrange trong chương trình toán THPT,qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của nó qua các ứng dụng, đặc biệt là các bàitoán được lấy từ các kì thi Olimpic về toán trong những năm gần đây

Đề tài này được coi như một chuyên đề để giảng dạy nâng cao cho học sinh THPT và

bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán Tác giải rất mong nhận được góp ý trao đổi

của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề có thể sâu sắc và hoàn thiệnhơn nữa Hy vọng đề tài sẽ góp một phần nhỏ để việc giảng dạy phần giải tích đạt hiệuquả nhất

3 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về định lý Lagrange và định

lý Rolle, đặc biệt từ các tạp chí trong và ngoài nước; tài liệu từ Internet

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

4 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được học chuyên sâu theo chuyên đề như trên sẽ phát triển năng lực tưduy Toán học, đặc biệt là có phương pháp để giải quyết các bài toán về giải tích Đây làphần còn khó với học sinh các trường THPT

5 Mô tả sáng kiến

5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

5.2 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Anh Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com

5.3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn

5.4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dùng để dạy cho học sinh các lớp ôn thi THPTquốc

gia mức vận dụng cao và bồi dưỡng các đội tuyển HSG môn Toán tham dự các kì thiHSG tỉnh, HSG Quốc gia

5.5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/2018.

5.6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

6 Bố cục

Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

B- NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

II Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

1 Giải phương trình

2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

3 Chứng minh bất đẳng thức

4 Tìm giới hạn dãy số

III Một số bài tập vận dụng

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1.Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài, sáng kiến

2.Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến

3.Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến

PHẦN B NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

1 Định lý Rolle

Cho hàm số f x xác định trên đoạn ( ) [ ]a b thoả mãn các điều kiện sau:;

1/ f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b;

2/ f x có đạo hàm trên khoảng ( ) ( )a b ;

3/ f a( ) = f b( ) =0

Khi đó tồn tại một điểm c thuộc khoảng ( )a b sao cho; f c'( ) =0

Chứng minh Nếu f x( ) = ∀ ∈0, x ( )a b; thì định lý hiển nhiên đúng, vì

f x < ∀ ∈x a b , ta lập luận tương tự trường hợp f x( ) > ∀ ∈0, x ( )a b;

Vì theo giả thiết f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b nên nó có giá trị dương lớn nhất trên;đoạn [ ]a b Do; f a( ) = f b( ) =0 nên f x đạt giá trị lớn nhất tại điểm( ) c∈( )a b; Chọn

Hệ quả 1 Nếu hàm số f x có đạo hàm trên ( ) ( )a b và ; f x có n nghiệm (n là số( )

nguyên dương lớn hơn 1) trên ( )a b thì '( ); f x có ít nhất 1 n− nghiệm trên ( )a b ;

Hệ quả 2 Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm trên( )a b và ; f x vô nghiệm trên '( ) ( )a b;thì f x có nhiều nhất 1 nghiệm trên( ) ( )a b ;

Hệ quả 3 Nếu f x có đạo hàm trên( ) ( )a b và ; f x có nhiều nhất n nghiệm (n là số'( )

nguyên dương) trên ( )a b thì ; f x có nhiều nhất 1( ) n+ nghiệm trên( )a b ;

2 Định lý Lagrange

Cho hàm số f x xác định trên đoạn ( ) [ ]a b thỏa mãn;

các điều kiện sau:

1) f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b;

2) f x có đạo hàm trên khoảng ( ) ( )a b;

Khi đó tồn tại một điểm c thuộc khoảng ( )a b sao cho;

Đường thẳng AB có phương trình là y kx m= + , với hệ số góc f b( ) f a( ).

Xét hàm số g x trên đoạn ( ) [ ]a b ta nhận thấy :;

1) Hàm số g x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b vì nó là hiệu của hàm số; f x liên tục và một( )

đa thức

2) Hàm số g x có đạo hàm trên khoảng ( ) ( )a b , đạo hàm của nó là ; g x'( ) = f x'( ) −k

3) Khi x a= thì N và M trùng với A ⇒NM = AA= ⇒0 g a( ) =0

Tương tự ta cóg b( ) =0, suy ra g a( ) =g b( ) =0 Như vậy g x thoả mãn các giả thiết( )

của định lý Rolle trên đoạn [ ]a b Do đó tồn tại điểm ; c∈( )a b; sao cho

khẳng định tính duy nhất của điểm c.

- Ta thấy f c là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm '( ) C c f c thuộc cung »AB của đồ( ; ( ) )

thị và f b( ) f a( )

b a

−

− là hệ số góc của đường thẳng AB, như vậy ý nghĩa hình học của

định lý chứng tỏ rằng trên cung »AB của đồ thị hàm số luôn tồn tại một điểm C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó song song ( hoặc trùng) với đường thẳng AB.

II Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

1 Giải phương trình

Bài toán 1.1 Giải phương trình 3x = + +x 1 log 1 2 13( + x) ( )

Lời giải Ta có (1) ⇔ +3x log 33 x =2x+ +1 log 23( x+1 2) ( )

Xét hàm số f t( ) = +t log , 3t t∈(0;+∞) , dễ thấy f t là hàm số đồng biến bởi vì nó là( )

tổng của hai hàm số đồng biến Khi đó (2) trở thành f ( )3x = f (2x+1)

3x 2x 1 3x 2x 1 0

⇔ = + ⇔ − − = (3) Xét hàm số g x( ) = −3x 2x−1, ta thấy phươngtrình g x( ) =0 có không quá 2 nghiệm phân biệt Bởi vì giả sử phương trìnhg x( ) =0

có 3 nghiệm x1< <x2 x3 ⇒ g x( )1 =g x( )2 =g x( )3 =0, khi đó theo định lý Roll

( )

g x = có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trìnhg x"( ) =0 có một nghiệm , tức làphương trình ( )2

ln 3x =0 có nghiệm (điều này vô lý)

Vậy phương trình g x( ) =0 có nhiều nhất 2 nghiệm, dễ thấy x=0,x=1 thoả mãn

( )0 ( )1 0

g =g = cho nên phương trình (3) có đúng 2 nghiệm Suy ra phương trình (1)

có đúng 2 nghiệm là x=0,x=1.

Bài toán 1.2 Giải phương trình: 3x +2.4x =19x+3

Lời giải Phương trình đã cho tương đương

3x +2.4x −19x− =3 0.Xét hàm số y= f x( ) = +3x 2.4x −19x−3, x∈¡

Ta có f x'( ) =3 ln 3 2.4 ln 4 19x + x − và ( ) ( )2 ( )2

'' 3 ln 3x 2.4 ln 4x 0,

f x = + > ∀ ∈x R, suy

ra f x'( ) =0 có nhiều nhất 1 nghiệm, suy ra f x( ) =0 có nhiều nhất 2 nghiệm

Mà f ( )0 = f ( )2 =0 do đó phương trình f x( ) =0 có đúng hai nghiêm là x=0,x =2

Bài toán 1.3 Giải phương trình 3x + =5x 2.4x (1)

Lời giải Ta thấy ngay x=0;x=1 là các nghiệm của phương trình (1)

Gọi x là một nghiệm bất kì của 0 phương trình đã cho Khi đó

Xét hàm số f t( ) (= +t 1)x0 −t x0, ta có (2)⇔ f ( )4 = f ( )3

Vì f t là hàm liên tục trên ( ) [ ]3;4 và có đạo hàm trong khoảng ( )3;4 , nên theo định lí

Roll tồn tại c∈(3;4) sao cho ( ) ( ) 0 1 0 1 0

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x=0 và x=1

Bài tương tự Giải phương trình: 2017 x +2019x =2.2018x

Bài toán 1.4 Giải phương trình: (1 cos )(2 4+ x + cosx) =3.4cos (1)x

3x +5x =2.4x ⇔5x −4x =4x −3 (2)x

Lời giải Đặt t =cos , x t∈ −[ 1;1] thì (1) trở thành:

(1+t) (2 4+ t) =3.4t ⇔ +(1 t) (2 4+ t) −3.4t =0Xét hàm số f t( ) (= +1 t) (2 4+ t) −3.4 , t t∈¡

Suy ra f t'( ) = + +2 4t (t- 2 4 ln 4, '') t f t( ) =2.4 ln 4t +(t- 2 4 ln 4) t 2

Ta có ''( ) 0 2 2

ln 4

f t = ⇔ = +t ⇒ f t''( ) =0 có một nghiệm duy nhất, suy ra f t'( ) =0

có nhiều nhất hai nghiệm Do đó f t( ) =0 có nhiều nhất ba nghiệm

2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng phương trình cosa x b+ cos 2x c+ cos3x=0 luôn có

nghiệm với mọi bộ các số thực a, b, c.

Lời giải Xét hàm số ( ) sin sin 2 sin 3 ,

Do f ( )0 = f ( )π = ⇒ ∃ ∈0 x0 (0;π), 'f x( )0 =0, suy ra điều phải chứng minh

Qua lời giải trên ta thấy được sức mạnh của định lý Rolle trong việc chứng minh mộtphương trình có nghiệm Có thể mô tả nội dung của phương pháp này dưới bài toántổng quát sau:

Bài toán: Cho hàm số f x liên tục trên ( ) [ ]a b , chứng minh rằng phương trình;

f x = có ít nhất một nghiệm thuộc ( )a b;

Phương pháp giải:

- Xét hàm số F x là một nguyên hàm của hàm ( ) f x ( )

- Chỉ ra được F a( ) =F b( ).

- Sử dụng định lý Rolle để suy ra điều phải chứng minh

Ta tiếp tục với các bài toán thú vị sau:

Bài toán 2.2 Cho các số thực

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.3 Cho đa thức f x( )∈¡ [ ]x có ít nhất hai nghiệm thực Chứng minh rằng

đa thức P x( ) = f x( ) − f x'( ) cũng có ít nhất hai nghiệm thực

Lời giải Giả sử x x x1, 2( 1≤x2) là hai nghiệm của f x ( )

x <x và có nghiệm x nếu 1 x1= x2 Suy ra đa thức P x có ít nhất một nghiệm( )

thực Vì degP x( ) =deg f x( ) =n nên nếu n lẻ thì hiển nhiên f x có ít nhất 3 nghiệm( )

thực và vì vậy theo lập luận trên thì P x sẽ có ít nhất hai nghiệm thực Nếu n chẵn( )

thì do P x có nghiệm thực nên nó phải có ít nhất hai nghiệm thực ( )

Nhận xét Với lớp các hàm đa thức thì luôn liên tục và khả vi mọi cấp, do đó ta dễ

dàng áp dụng được định lý Rolle và định lý Lagrange để suy ra số nghiệm của các đathức khác Cụ thể là nếu f a( ) = f b( ) thì f x′( ) có nghiệm c thuộc khoảng ( )a b Nếu;

( )

f x có k nghiệm thì f x′( ) có k−1 nghiệm, f x′′( ) có k −2 nghiệm,…

Sử dụng các tính chất này ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán khó, thậm chí

là rất khó về nghiệm của đa thức Đây cũng là dấu ấn nhất về tính chất giải tích của

nghiệm đa thức

Bài toán 2.4 (Việt Nam TST năm 1994) Cho đa thức P x( )∈¡ [ ]x , degP=4 và có 4nghiệm phân biệt Chứng minh rằng phương trình sau cũng có 4 nghiệm dương phânbiệt

  , dễ thấy degR t( ) =4 và R t cũng có 4 nghiệm dương phân biệt.( )

Theo kết quả chứng minh trên phương trình R t( ) −R t′( ) =0 4( ) có 4 nghiệm dươngphân biệt Ta có

Vậy phương trình ( )1 có 4 nghiệm dương phân biệt

Bài toán 2.5 Cho P x là đa thức với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt lớn hơn( )

1 Xét đa thức Q x( ) =( x2 +1)P x P x( ) ( )′ +x P x 2( ) +P′2( )x  Chứng minh rằng đathức Q x có 2( ) n−1 nghiệm thực phân biệt

Lời giải Ta có Q x( ) =P x′( ) +xP x( )  xP x′( ) +P x( ) Dễ thấy

Giả sử các nghiệm của P x là ( ) 1< < < <x1 x2 x n Theo định lí Rolle, đa thức

- Nếu α βi ≠ j, ,∀i j thì ta có ngay điều phải chứng minh.

- Giả sử tồn tại ( ),i j sao cho α βi = j = ⇒ >γ γ 1

Khi đó ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Điều này mâu thuẫn với γ >1

Bài toán được chứng minh hoàn toàn

Bài toán 2.6 Cho P x là đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt( )

khác 0 Chứng minh rằng đa thức Q x( ) =x P x2 ′′( ) +3xP x′( ) +P x( ) có n nghiệm thựcphân biệt

Lời giải Ta có

Q x =x P x′′ + xP x′ +P x =x P x′ ′+xP x ′ =x xP x′ +P x ′Đặt R x( ) =x xP x( ′( ) +P x( ) ) Xét hàm số f x( ) =e P x xlnx ( ), ∈¡ \ 0{ } Giả sử n

nghiệm thực phân biệt của P x là ( ) x1< < <x2 x n Khi đó f x( ) =0 cũng có n

Theo định lí Lagrange, ta có ∀ ∈i {1, ,n−1 ,} ∃ ∈y i (x x i; i+1), sao cho

( )i 1 ( ) (i i 1 i) ( )i

f x+ − f x = x+ −x f y′Suy ra ∀ ∈i {1, ,n−1 ,} ∃ ∈y i ( x x i; i+1) ( ), f y′ i =0

Do đó, f x′( ) =0 có ít nhất n−1 nghiệm thực phân biệt khác 0, nên P x( ) P x( ) 0

Nếu R x có một nghiệm ( ) y bội 2 thì i0 R x( ) =x x y K( − i0) n−2( )x , trong đó K n−2( )x

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sử hệ số bậc cao nhất của P x dương Vì( ) ( )

P x không có nghiệm thực nên P x( ) > ∀ ∈0, x ¡ và deg P x( ) =n là số chẵn

R x′ không có nghiệm thực nên theo định lí Rolle R x có nhiều nhất 1 nghiệm Vì ( )

vậy Q x có nhiều nhất 1 nghiệm.( )

Giả sử x là nghiệm thực duy nhất của 0 Q x , do ( ) degQ x( ) =n là số chẵn nên tồn tại

số nguyên dương m và đa thức K x với hệ số thực sao cho ( )

Bài toán 2.8 Cho đa thức P x hệ số thực bậc ( ) n≥1 và có m nghiệm thực (kể cả

nghiệm bội) Chứng minh rằng đa thức Q x( ) =(x2 +1) P x( ) +P x′( ) có ít nhất m

nghiệm thực (kể cả nghiệm bội)

Lời giải P x có m nghiệm thực nên phương trình ( ) 33 ( ) 0

x x

e + P x = cũng có m nghiệmthực

Theo định lí Rolle thì phương trình

- Với m chẵn Nếu n lẻ thì P x là đa thức bậc lẻ có số nghiệm thực (kể cả bội) là lẻ, ( )

suy ra m lẻ, mâu thuẫn Vậy n là số chẵn Từ đó Q x là đa thức bậc chẵn, suy ra số ( )

nghiệm thực, kể cả bội là chẵn Theo trên, nó có ít nhất m−1 nghiệm thực, trong khi1

m− lẻ Vậy Q x có ít nhất m nghiệm thực.( )

- Với m lẻ Nếu n chẵn thì P x là đa thức bậc chẵn nên nó có chẵn nghiệm thực kể ( )

cả bội, tức m chẵn, mâu thuẫn Vậy n phải lẻ, suy ra Q x là đa thức bậc ( ) n+2 là một

số lẻ Do đó nó có lẻ số nghiệm Mặt khác Q x có ít nhất ( ) m−1(là số chẵn) nghiệm thực Vậy Vậy Q x có ít nhất m nghiệm thực.( )

Bài toán 2.9 Với n là số nguyên dương và a , k b là các số thực k k =1,2,3, , n

và có đạo hàm trên khoảng (−π π; ).Ta có

Bài toán 2.10 Cho các số thực a a0, , 1 a thỏa mãn n

có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( )1;e2

Phân tích Nếu lấy nguyên hàm của hàm số f x thì khá phức tạp, chú ý rằng ( )

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 2.11 Giả sử f x khả vi đến cấp ( ) n+1 trên R Chứng minh rằng mỗi cặp số

Bài toán được chứng minh

Bài toán 2.12 Chứng minh phương trình 2( x−1 ln) x x+ ln2x =4x có ít nhất 2 nghiệmphân biệt

Phân tích Phương trình đã cho tương đương với

Lời giải Xét hàm số g x( ) (= −x 1 ln) ( 2x−4) liên tục trên 12;

Vậy phương trình : 2( x−1 ln) x x+ ln2x=4x có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

Bài toán 2.13 Cho hàm f x liên tục trên ( ) [ ]0; ,a khả vi trên ( )0;a và f a( ) =0

Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;a sao cho f c'( ) c 1.f c( )