hàm số và ứng dụng của hàm số

• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau: Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số xem chuyên đề bất đẳng thức Giải phương trình fx = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều kiện để

(tgu)’ =

(cotgu)’ = -

(sinx)’ = cosx(cosx)’ = - sinx

2 Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 ∀ x ∈

(a ; b)b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 ∀ x ∈(a ; b)

3 Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f ’(x) > 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)

b) Nếu f ’(x) < 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b)

• Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f ’ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm

4) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu:

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đób) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đóc) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó

CHÚ Ý:

• Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1 và x 2 , f ’ (x) luôn giữ nguyên một dấu

• Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:

- Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) là số vô tỉ thì:

IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:

+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x0 thì f(x0) = Min y

+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y

+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp

2 Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]

- Giải phương trình f ’(x) = 0, tìm các nghiệm x1, x2, …, xn

(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])

CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm ⇒ f(x) đơn điệu

trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và

số nhỏ là Min y

• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số

(xem chuyên đề bất đẳng thức)

Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều

kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]

V TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG

1 Dấu hiệu lồi, lõm:Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:

a) Nếu f ’’ (x) < 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên

khoảng đó

b) Nếu f ’’ (x) > 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên

khoảng đó

2 Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:

a) Nếu f ’’(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì M0(x0 ; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị

b) Nếu f ’’(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì điểm M0(x0 ; f(x0)) không phải là điểm uốn của đồ thị

VI TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)

4 Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):

- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó

- Tính giới hạn của hàm số tại các mút

+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang

B 2 : Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra

các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)

B 3 : • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)

• Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ

B 4: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức)

B 5 : Lập bảng biến thiên

B 6 : Đồ thị:

+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)+ Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…)+ Vẽ đồ thị

+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị

1) (ĐH KD – 2002)

VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

PHƯƠNG PHÁP:

Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:

• Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối

• Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta

bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này

Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)

♦ Hàm số dạng: y = |f(x)|

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox

- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.

Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C ’) của y = |f(x)|

♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy)

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C0)

- Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1)

Hợp hai phần (C0)và (C1) trên lại ta có đồ thị (C ’) của y = f(|x|)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = f(x) = 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

A Phương pháp:

Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả

mãn một số điều kiện cho sẵn:

1 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (C) có phương trình là:

y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): là hệ số góc)

♦ Các dạng khác nhau của đề bài:

• Cho x0 : Tính y0 = f(x0) và f’(x0)

• Cho y 0 : Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0)

• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0)

2 Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x 1 ,y 1 ) bất kỳ

( M(x 1 ,y 1 ) có thể thuộc hay không thuộc (C) )

♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x1,y1) và có hệ

số góc k: y – y1 = k(x – x1)⇔y = k(x – x

1) + y1 (1)

• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 ⇔x

0 và k là nghiệm

của hệ pt: (I) ⇒ k rồi thay vào (1)

♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là:

y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1)

• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1):

y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2)

• Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

3 Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x 1 ; y 1 ) kẻ được n tiếp tuyến

Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) có n nghiệm

⇔ f(x) = f ’(x)(x – x1) + y1 có n nghiệm

4 Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = (H)

Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):

• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:

+ M là trung điểm của AB+ Tam giác AIB có diện tích không đổi

• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số

• IA.IB = const

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho (C): y = x4 – 2x2 – 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các

giao điểm của (C) với trục hoành (ĐS:

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 1 (C), và điểm A(0, -1)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A

b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.

Bài 3: Cho hàm số y = (H)

Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4

biết tiếp tuyến qua P(1;0)

Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(

b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị

2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số

c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên

Bài 8: Cho hàm số y = (H)

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị I là giao 2 tiệm cận của (H) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q Chứng minh rằng:

1) M là trung điểm của PQ

2) Tam giác AIB có diện tích không đổi

3) IQ.IP không đổi

VẤN ĐỀ 2 TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐDẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU

Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m Tìm m để hàm số đồng biến trong

Bài 9: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS: m = 1)

Bài 10: Định m để hàm số có các điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (ĐS: m > 0)

Bài 12: Định m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2

Bài 14 : Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn:

Bài 15: Tìm m để hàm số có hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3).

DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5

b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5

ĐS: a) m 3, b) -1 < m < 4

Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc

của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ

nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác

Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4 Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn

ĐS: a =

Bài 5: Cho hàm số (1) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm

số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1

VẤN ĐỀ 4 TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

DẠNG 1 : Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng

A Phương pháp:

+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) = f(-x)

(Hàm số chẵn đối với x)+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) = - f(x)

Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x3 – 3x2 - (m-2)x + m + 1

đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4

DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM

Cho (C): y = f(x) 2) Chứng tỏ (C) nhận I(x 0 ; y 0- ) làm tâm đối xứng (1)

A Phương pháp:

- Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)

+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x0; y0-) làm tâm đối xứng ⇒ (1) + Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x0 , y0 ⇒ (2)

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm

của 2 đường tiệm cận (ĐS: I(1, -1))

Bài 2: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận (ĐS: I(-2, 2))

A Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x0, y0 chưa được cho trước

+ Ta đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng ⇒ (1’)

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có trục đối xứng // Oy

ĐS : m = 4, x = -1

Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (Ca)

Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy

ĐS : a = 0, x = 0 ; a = , x =

VẤN ĐỀ 5 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN & GTNN)

VẤN ĐỀ 6

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

A Phương pháp:

• Cho hai đường:

• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là: f(x) = g(x) (1)

• Nhận xét:

- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và (C’)

- Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C) và (C’) Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hay y0 = g(x0)

• Biện luận:

♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm

♦ (1) có nghiệm bội k ≥ 2 ⇔ (C) và (C’) tiếp xúc nhau

♦ (1) vô nghiệm ⇔ (C) và (C’) không có điểm chung

• CHÚ Ý:

♦ Điều kiện tiếp xúc:

(C) tiếp xúc (C’) ⇔ Hệ có nghiệm ♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy):

Cho x = 0 ⇒ y ♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox):

Cho y = 0 ⇒ x ♦ Với (Cm-): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm

chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm-) và

vị trí của (Cm-) đối với hệ trục

Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔

(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm) ⇔

(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔

Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox:

Bài giảng

Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm”

Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:

• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).

• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường

thẳng (d): y = g(m).

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:

(C): y = x3 + 9x và (C’): y = 6x2 + 4

Bài 2: Cho (C): y = và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1

Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:

Bài 9: Cho các đường (C):

(Δ1): y = - x + m và (Δ2): y = x + 3

Tìm m để (Δ1)cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ2)

Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c

cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x – 6 (C) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt x1, x2, x3 sao cho 2x2 = x1 + x3 Tìm 3 nghiệm đó

Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0

ĐS: -1< m < 1

Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m x2 + 1

Bài 14: Cho phương trình: 3+x + 6−x − (3+x)(6−x) =m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m

Bài 16: Cho phương trình: x2+x+1− x2−x+1=m

a) Giải phương trình với m = -2

Bài 19: Tìm m để PT sau có nghiệm:

x2 + + = + (ĐH K B – 2006)

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH CT TỪ NĂM 2002 – 2009

(Với m là tham số)

Bài 1: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm k để phương trình: – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C)

(ĐH KA – 2002) Bài 2: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm m để hàm số trên có 3 điểm cực trị (ĐH KB – 2002)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C-1) và hai trục tọa độ3) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x

Bài 4: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + m (Cm) (ĐH KB – 2003)

1)Tìm m để đồ thị (C) có 2 điểm phân biết đối xứng nhau qua gốc tọa độ

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1

2) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

2) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng

Δ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 8: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (Cm) (ĐH KD – 2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

2) Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

Bài 10: Cho hàm số: y = – x2 + (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của

(Cm) tại M song song với đường thẳng: 5x – y = 0

(ĐH KD – 2005)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) CMR với mọi m, (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khoảng

cách giữa 2 điểm đó bằng (ĐH KB – 2005)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =

2) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm)

đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng (ĐH K A – 2005)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với

tiệm cận xiên của (C) (ĐH KB – 2006) Bài 14: Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m

Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt (ĐH KD – 2006) Bài 15: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt (tương giao):