Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... Tr÷îc h‚t, ta câ ành ngh¾a khæng gian Holder... 1.3 Sü hºi tö m⁄nh, hºi tö y‚u trong khænggian Banach Phƒn n y giîi thi»u v• s

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

I H¯C QU¨C GIA H N¸I TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N

Möc löc

Líi nâi ƒu 3

1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 5 1.1 Kh¡i ni»m ⁄o h m G¥teaux, ⁄o h m Fr†chet cıa phi‚m h m kh£ vi trong khæng gian Banach 5

1.2 Khæng gian Sobolev v ành lþ nhóng 6

1.2.1 Khæng gian Lp 7

1.2.2 Khæng gian Holder 8

1.2.3 Khæng gian Sobolev v ành lþ nhóng 9

1.3 Sü hºi tö m⁄nh, hºi tö y‚u trong khæng gian Banach 12

1.4 T‰nh nßa li¶n töc d÷îi y‚u cıa phi‚m h m kh£ vi trong khæng gian Banach i•u ki»n Coercive cıa phi‚m h m 14

1.5 Cüc trà cıa phi‚m h m i•u ki»n tçn t⁄i cüc trà cıa phi‚m h m 16

1.6 i•u ki»n Palais - Smale v ành lþ qua nói 17

2 Ùng döng trong ph÷ìng tr…nh vi ph¥n 20 2.1 Sü tçn t⁄i duy nh§t nghi»m y‚u cıa b i to¡n bi¶n Łi vîi ph÷ìng tr…nh vi ph¥n 20

2.2 B i to¡n gi¡ trà ri¶ng 30

2.3 p döng ành lþ qua nói 32

1

K‚t lu“n 40

L˝I N´I U

Tr÷îc h‚t ta câ mºt nh“n x†t r‹ng: Trong gi£i t‰ch cŒ i”n, mºt trongnhœng øng döng quan trång nh§t cıa kh¡i ni»m ⁄o h m l kh£o s¡t b i to¡n cüctrà M b i to¡n cüc trà th÷íng xu§t hi»n khi nghi¶n cøu c¡c lîp b i to¡n quantrång kh¡c cıa to¡n håc, trong â bao gçm c£ nhœng mæ h…nh to¡n håc cıac¡c b i to¡n v“t lþ v cì håc ” th§y ÷æc mŁi li¶n h» n y, ta h¢y l§y mºt v‰ dö

ìn gi£n sau ¥y:

Ta x†t ph÷ìng tr…nh f(x) = 0 trong kho£ng I R, trong â f(x) l h m li¶n töctrong I ” gi£i quy‚t b i to¡n n y ng÷íi ta câ th” ÷a v• t…m cüc trà àa ph÷ìngcıa mºt h m kh£ vi F (x); x 2 I tho£ m¢n

F 0(x) = f(x); x 2 I:

Tuy nhi¶n vi»c t…m cüc trà àa ph÷ìng cıa mºt h m kh£ vi F (x) nh÷ v“y l mºt

b i to¡n khæng tƒm th÷íng V… v“y ” t…m nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh f(x) = 0trong kho£ng I ng÷íi ta câ th” t…m c¡c i”m tîi h⁄n cıa h m F (x) trong I, tøc lc¡c i”m x0 m t⁄i â F 0(x0) = 0 ¥y công ch‰nh l þ t÷ðng cıa ph÷ìng ph¡p bi‚nph¥n

Trong nhi•u ph÷ìng ph¡p cıa gi£i t‰ch phi tuy‚n øng döng v o ph÷ìngtr…nh vi ph¥n khæng tuy‚n t‰nh th… ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n tä ra câ hi»uqu£ hìn c£

Þ t÷ðng cıa ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n ¡p döng v o ph÷ìng tr…nh vi ph¥ndüa tr¶n cì sð lþ thuy‚t i”m tîi h⁄n cıa phi‚m h m kh£ vi trong khæng gian Banach,

m nºi dung cıa nâ l ÷a b i to¡n ang x†t v• vi»c nghi¶n cøu mºt phi‚m h m F kh£ vili¶n töc theo mºt ngh¾a n o â trong khæng

3

gian Banach ÷æc chån th‰ch hæp (gåi l phi‚m h m n«ng l÷æng li¶n k‚t vîi

b i to¡n) sao cho i”m tîi h⁄n cıa phi‚m h m F l nghi»m y‚u cıa b i to¡n ang x†t.Mºt ph÷ìng ph¡p thæng th÷íng ” t…m i”m tîi h⁄n cıa phi‚m h m l t…m i”m cücti”u cıa phi‚m h m â Tuy nhi¶n vi»c t…m i”m cüc ti”u cıa mºt phi‚m h mkhæng h• ìn gi£n V… v“y, trong nhi•u tr÷íng hæp ng÷íi ta quan t¥m ‚n c¡ci”m y¶n ngüa (khæng ph£i l i”m cüc ti”u) cıa c¡c phi‚m h m n«ng l÷æng.Vi»c t…m c¡c i”m y¶n ngüa cıa mºt phi‚m h m ÷æc düa v o c¡c nguy¶n lþbi‚n ph¥n

Möc ‰ch cıa lu“n v«n n y l l m quen vîi mºt sŁ v§n • cıa gi£i t‰ch phituy‚n, cö th” l ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n v øng döng ” kh£o s¡t sü tçn t⁄i nghi»mcıa mºt v i lîp ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng khæng tuy‚n t‰nh

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n gçm câ 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 D nh cho vi»c tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m, nºi dung quantrång ÷æc sß döng trong lu“n v«n

Ch÷ìng 2 Tr…nh b y øng döng cıa ph÷ìng ph¡p gi£i t‰ch phi tuy‚n v oph÷ìng tr…nh vi ph¥n

H Nºi, ng y 09 th¡ng 10 n«m 2016

Nguy„n Thà Oanh

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr‰ch d¤n c¡c kh¡i ni»m, ành lþ v mºt sŁki‚n thøc bŒ træ ÷æc sß döng trong lu“n v«n

1.1 Kh¡i ni»m ⁄o h m G¥teaux, ⁄o h m Fr†chet cıa

phi‚m h m kh£ vi trong khæng gian Banach

Möc ti¶u ch‰nh cıa phƒn n y l tr…nh b y l⁄i c¡c kh¡i ni»m ⁄o h m trongkhæng gian Banach v c¡c t‰nh ch§t quan trång cıa chóng

ành ngh¾a 1.1.1 ( ⁄o h m G¥teaux) Gi£ sß X l khæng gian Banach, x 2X; f : X ! R (ho°c C) l mºt phi‚m h m x¡c ành tr¶n X Ta nâi f kh£ vi G¥teauxt⁄i i”m x n‚u tçn t⁄i ¡nh x⁄ f (x) tuy‚n t‰nh v li¶n töc sao cho

t

t

! 0

N‚u f kh£ vi G¥teaux t⁄i måi i”m x 2 X khiâ ta nâi f kh£ vi G¥teaux

tr¶n t“p X.

ành ngh¾a 1.1.2 ( ⁄o h m Fr†chet) Cho X l khæng gian Banach, f l phi‚m

h m x¡c ành tr¶n X Ta nâi phi‚m h m f kh£ vi m⁄nh hay kh£ vi Fr†chet t⁄i i”m

u 2 X n‚u tçn t⁄i mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc, kþ hi»u

l f0(u) 2 X (X l khæng gian Łi ng¤u cıa X) v ÷æc gåi l ⁄o h m Fr†chet cıa f t⁄i

u sao cho

N‚u ¡nh x⁄ u 7!f0 (u) l li¶n töc th… ta nâi phi‚m h m f thuºc lîp C1 (X; R) Gi£

sß f l phi‚m h m kh£ vi Fr†chet trong khæng gian Banach X th…

¡nh x⁄

f0 : X ! X ;

l ⁄o h m Fr†chet cıa f

N‚u f : X ! R kh£ vi Fr†chet t⁄i x th… f kh£ vi G¥teaux t⁄i x N‚u

f : X ! R câ ⁄o h m G¥teaux f li¶n töc trong X th… f kh£ vi Fr†chet v f 2

C1(X; R)

i”m u 2 X thäa m¢n ph÷ìng tr…nh f0(u) = 0 ÷æc gåi l i”m tîi h⁄n, ng÷æc

l⁄i n‚u f0(u) 6= 0 th… u ÷æc gåi l i”m •u ( hay i”m ch‰nh quy) cıa f SŁ 2 R

÷æc gåi l gi¡ trà tîi h⁄n cıa f n‚u tçn t⁄i mºt i”m tîi h⁄n u 2 X sao cho

f(u) = ; f0(u) = 0:

1.2 Khæng gian Sobolev v ành lþ nhóng

Trong phƒn n y ta nh›c l⁄i mºt sŁ ành ngh¾a, t‰nh ch§t quan trång cıa

Kþ hi»u L1 ( ) l t“p hæp c¡c h m bà ch°n thüc sü tr¶n , l khæng gian

Banach x¡c ành vîi chu'n kfk1:

kfk1 = essinf fc : fx 2 : jf (x)j > cg = 0g ;trong â l º o Lebesgue.

ành ngh¾a 1.2.2 Vîi p 2 [1; +1) ta ành ngh¾a

L1loc ( ) = ff : f 2 Lp (K) ; 8K g :

K‰ hi»u (K ) ngh¾a l K l t“p compact trong

7

:

M»nh • 1.2.1 Gi£ sß d¢y ffng hºi tö ‚n f trong Lp ( ) Khi â

tçn t⁄i d¢y con ffn k g hºi tö ‚n f hƒu kh›p nìi v tçn t⁄i g(x) 2 Lp ( ), g(x) 0

sao cho

jfn k (x)j g (x) hƒu kh›p nìi trong :

( ành lþ hºi tö trºi) Gi£ sß ffng l d¢y c¡c h m kh£ t‰ch tr¶n ,

fn ! f hƒu kh›p nìi v gi£ sß tçn t⁄i g(x) 2 L1 ( ) ; jfn (x)j g (x)

Tr÷îc h‚t, ta câ ành ngh¾a khæng gian Holder

ành ngh¾a 1.2.3 (Khæng gian Holder ) H m f : ! R (ho°c C) ÷æcgåi l li¶n töc Holder vîi ch¿ sŁ (0 <1) n‚u tçn t⁄i h‹ng sŁ c > 0 saocho b§t flng thøc

jf (x) f (y)j ckx yk

thäa m¢n vîi måi x; y 2 :

T“p hæp t§t c£ c¡c h m li¶n töc Holder vîi ch¿ sŁ ÷æc kþ hi»u l

C0; l khæng gian Banach theo chu'n f (x) f (y)

bà vîi chu'n

kukW 1;p = kukpL p + ku0kpL p 1/p

:Khæng gian W1;2 ( ) ÷æc trang bà vîi chu'n

kukW 1;2 ( ) = kukL2 2 + ku0kL2 2

1/2;

9

M»nh • 1.2.3 (Xem [3] M»nh • 8:3) Gi£ sß u 2 Lp, trong â 1 < p < 1 Khi â

Khi â H l khæng gian Hilbert ÷æc trang bà vîi chu'n tr¶n W1;2 ( ) :

M»nh • 1.2.5 (Xem [3], ành lþ 8:12) Gi£ sß u 2 W1;p ( ) Khi â

u 2 W01;p ( ) khi v ch¿ khi u = 0 tr¶n @ :

BŒ • 1.2.1 (B§t flng thøc Poincar†, xem [3] M»nh • 8.13) Gi£ sß l kho£ng

bà ch°n Khi â s‡ tçn t⁄i mºt h‹ng sŁ C sao cho

( )

Ck

u0 p

( )

;8

10

Kþ hi»u X ,! Y câ ngh¾a l X nhóng li¶n töc trong Y

n

th…

p

Nh“n x†t 1.2.2 Trong lu“n v«n n y ta ¡p döng hai ành lþ tr¶n trong

tr÷íng hæp l kho£ng hœu h⁄n v sŁ chi•u n = 1:

1.3 Sü hºi tö m⁄nh, hºi tö y‚u trong khæng

gian Banach

Phƒn n y giîi thi»u v• sü hºi tö m⁄nh, hºi tö y‚u trong khæng gian Banach,

mºt trong nhœng kh¡i ni»m quan trång ÷æc dòng trong ch÷ìng 2

ành ngh¾a 1.3.1 Cho X l khæng gian Banach K‰ hi»u X l t“p t§t c£ c¡c

phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n X D¢y fxng trong X ÷æc gåi l hºi tö y‚u ‚n

x, (k‰ hi»u xn * x trong X) n‚u f (xn) ! f (x) 8f 2 X

ành ngh¾a 1.3.2 Sü hºi tö theo chu'n trong khæng gian Banach ÷æc gåi

3 N‚u X l khæng gian Banach ph£n x⁄ v fxng X l d¢y bà ch°n th… tçn t⁄i

mºt d¢y con fxn k g cıa fxng sao cho

xn k * x trong X:

M»nh • 1.3.1 Gi£ sß A : X ! Y l compact v xn * x trong X Khi â

Do sü hºi tö m⁄nh d¤n ‚n sü hºi tö y‚u v giîi h⁄n y‚u l duy nh§t n¶n z = Ax: i•u

n y m¥u thu¤n vîi Axn 9 Ax:

ành ngh¾a 1.3.3 Mºt khæng gian Banach X ÷æc gåi l lçi •u n‚u

8" > 0; 9 = (") > 0 : 8x; y 2 X; kxk = kyk = 1; kx yk "

Mºt sŁ t‰nh ch§t

13

1 Khæng gian lçi •u l ph£n x⁄, tøc l (X ) = X:

2 C¡c khæng gian Hilbert, khæng gian Lp( ), khæng gian W1;p ( ) vîi

1 < p < +1 l nhœng khæng gian lçi •u

3 N‚u X l khæng gian Banach lçi •u, xn * x v kxnk ! kxk th… xn ! x trong

X

1.4 T‰nh nßa li¶n töc d÷îi y‚u cıa phi‚m h m kh£

vi trong khæng gian Banach i•u ki»n Coercive cıa phi‚m h m

Mºt trong nhœng cæng cö quan trång ” nghi¶n cøu i”m cüc trà to n cöc li•u ki»n Coercive v t‰nh nßa li¶n töc d÷îi y‚u cıa phi‚m h m

ành ngh¾a 1.4.1 Ta x†t phi‚m h m d⁄ng t‰ch ph¥n

Z

f (u) = F (x; u; ru) dx; vîi u 2 W01;p ( ) ;

trong â l t“p mð trong RN : Gi£ sß r‹ng f(u) thäa m¢n i•u ki»n Coercive

( i•u ki»n bøc), tøc l f(u) ! +1 n‚u kuk ! +1: Kþ hi»u

+1 = 1, cho n¶n tł d¢y fukg ta câ th” tr‰ch ra mºt d¢y con uk j hºi tö

y‚u tîi u trong W01;p ( ) Tuy nhi¶n, ta khæng th” khflng ành ÷æc r‹ng

do â khæng th” suy ra u l i”m cüc ti”u, tøc l khæng th” suy ra f(u) = m Nh÷v“y, n‚u phi‚m h m f li¶n töc theo sü hºi tö y‚u th… f(u) = m Nh÷ng i•u ki»n n

y §n ành l¶n phi‚m h m f l mºt i•u ki»n kh¡ m⁄nh m d÷îi ¥y ta câ th” thay b‹ngmºt i•u ki»n kh¡c y‚u hìn nh÷ sau

ành ngh¾a 1.4.2 Cho M X := W01;p ( ) Ta nâi phi‚m h m f(u); u 2 X

l nßa li¶n töc d÷îi y‚u t⁄i i”m u 2 M n‚u vîi b§t k… d¢y fukg1k=1 thäa m¢n uk

Sau ¥y ta s‡ ÷a ra i•u ki»n ı ” cho phi‚m h m bà ch°n d÷îi v ⁄t cüc ti”u

M»nh • 1.4.1 (Nguy¶n lþ cüc ti”u) Cho M l mºt t“p compact y‚u, kh¡c rØng,n‹m trong X v F l mºt phi‚m h m nßa li¶n töc d÷îi y‚u trong M Khi â F bàch°n d÷îi trong M v tçn t⁄i u0 2 M thäa m¢n

Do M l t“p compact y‚u n¶n tçn t⁄i u0 2 M v d¢y con fun k g1k=1 fung1n=1

thäa m¢n

u

nk* u

0:

Tł gi£ thi‚t tr¶n Łi vîi F ta câ

ành ngh¾a 1.5.1 Cho khæng gian Banach X v phi‚m h m f : X ! R Ta nâir‹ng f ⁄t cüc ti”u (t÷ìng øng cüc ⁄i) àa ph÷ìng t⁄i i”m a 2 X n‚u tçn t⁄i mºt l¥n c“n

U cıa a sao cho ta câ f (x) f (a) (t÷ìng øng f (x) f (a)) 8x 2 U

N‚u f ⁄t cüc ti”u ho°c ⁄t cüc ⁄i àa ph÷ìng t⁄i a th… ta nâi f ⁄t cüc trà àaph÷ìng t⁄i a

16

M»nh • 1.5.1 ( i•u ki»n cƒn Euler) Gi£ sß f : X ! R câ cüc trà àa ph÷ìng t⁄i a

2 R N‚u Łi vîi h 2 X ⁄o h m f (a; h) tçn t⁄i th…

f (a; h) = 0:

M»nh • 1.5.2 ( ành l‰ Lagrange) Gi£ sß a 2 X l i”m dłng cıa phi‚m

h m f : X ! R v tçn t⁄i mºt l¥n c“n U cıa a sao cho ¡nh x⁄ x 7!2f (x) li¶n töctrong U N‚u tçn t⁄i > 0 sao cho 2f (x) (a; h) khk2 (t÷ìng øng 2f (x) (a; h)khk2) , 8h 2 X th… f câ cüc ti”u (t÷ìng øng cüc ⁄i) àa ph÷ìng t⁄i a

ành ngh¾a 1.5.2 Gi£ sß M X l mºt t“p lçi, tøc l n‚u u; v 2 M th… tu + (1 t)

v 2 M vîi måi t 2 [0; 1] Phi‚m h m f : X ! R gåi l lçi tr¶n M n‚u vîi b§t k… u; v

2 M v t 2 [0; 1], ta câ

f (tu + (1 t) v) tf (u) + (1 t) f (v) :M»nh • 1.5.3 Gi£ sß f : X ! R l mºt phi‚m h m lçi tr¶n khæng gian ành chu'n

X Khi â måi i”m dłng cıa f trong X l i”m cüc ti”u cıa f tr¶n X

1.6 i•u ki»n Palais - Smale v ành lþ qua nói

ành lþ qua nói l mºt trong nhœng ành lþ nŒi ti‚ng trong ph÷ìng ph¡pbi‚n ph¥n ” khflng ành sü tçn t⁄i i”m tîi h⁄n cıa phi‚m h m trong khæng gianBanach ành lþ qua nói lƒn ƒu ÷æc R Courant chøng minh v o n«m 1950cho c¡c phi‚m h m x¡c ành trong khæng gian hœu h⁄n chi•u Sau â, n«m

1973, A Ambrossetti v P Rabinowitz (xem [1]) ¢ chøng minh ành lþ quanói cho phi‚m h m kh£ vi li¶n töc Fr†chet trong khæng gian Banach

Tr÷îc h‚t ta t…m hi”u i•u ki»n Palais - Smale, nâ £m b£o cho phi‚m h mkh£ vi trong khæng gian Banach X câ i”m tîi h⁄n

17

ành ngh¾a 1.6.1 ( i•u ki»n Palais - Smale) Gi£ sß X l khæng gianBanach, f l mºt phi‚m h m x¡c ành tr¶n X Gi£ thi‚t f 2 C1(X; R), ta nâi r‹ng d

¢y fung X l mºt d¢y Palais - Smale t⁄i c cıa f, kþ hi»u (P S)c n‚u

f(un) ! c; f0(un) ! 0 khi n ! 1;

trong â f0 l ⁄o h m Fr†chet cıa f trong X

Ta nâi r‹ng f thäa m¢n i•u ki»n Palais - Smale t⁄i c n‚u måi d¢y (P S)c

•u chøa mºt d¢y con hºi tö

Ta nâi r‹ng f thäa m¢n i•u ki»n Palais - Smale (P S) n‚u nâ thäa m¢ni•u ki»n (P S)c vîi måi c

Ta th§y ành ngh¾a v• d¢y (P S) nh÷ tr¶n kh¡ ch°t ch‡ v… Æi häi d¢y ff(un)g hºi tö Trong nhi•u tr÷íng hæp ta câ th” ¡p döng ành ngh¾a tŒngqu¡t hìn sau ¥y: D¢y fung X ÷æc gåi l d¢y (P S) cıa f n‚u

Khi â c l mºt gi¡ trà tîi h⁄n cıa F

ành lþ qua nói còng vîi lþ thuy‚t i”m tîi h⁄n ¢ gâp phƒn quan trång trong vi»c nghi¶n cøu sü tçn t⁄i nghi»m y‚u cho mºt lîp c¡c b i to¡n bi¶n

Łi vîi ph÷ìng tr…nh v h» ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng khæng tuy‚n t‰nh.Nhœng c£i ti‚n cıa ành lþ qua nói còng vîi i•u ki»n Palais - Smale ¢ ÷æcnhi•u nh to¡n håc lîn quan t¥m.

19

Ch֓ng 2

Ùng döng trong ph÷ìng

tr…nh vi ph¥n

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ øng döng cıa gi£i t‰ch

phi tuy‚n v o ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ” nghi¶n cøu sü tçn t⁄i nghi»m y‚u cıa b i

to¡n bi¶n

2.1 Sü tçn t⁄i duy nh§t nghi»m y‚u cıa b i

to¡n bi¶n Łi vîi ph÷ìng tr…nh vi ph¥n

Vîi n 2 N v f 2 L2 (0; 1), x†t b i to¡n bi¶n

ành ngh¾a 2.1.1 Nghi»m cŒ i”n cıa b i to¡n (2.1) l mºt h m sŁ x 2

Chøng minh Gi£ sß x(t) l nghi»m cŒ i”n cıa b i to¡n (2.1).Khi â vîi 8t 2 (0;1) ta câ

::

2n+1

x (t) + x (t) = f (t) :Nh¥n c£ hai v‚ vîi y(t) 2 H ròi l§y t‰ch ph¥n ta ÷æc

0 1

Nh“n x†t 2.1.2 N‚u x(t) 2 C02(0; 1); x(0) = x(1) = 0 sao cho

th… x(t) l nghi»m cŒ i”n cıa b i to¡n (2.1)

Chøng minh Th“t v“y, ¡p döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn ta câ

0

1

x (t) + x2n+1

, Z ::

22

ành lþ 2.1.1 B i to¡n bi¶n (2.1) câ duy nh§t mºt nghi»m y‚u khæng tƒm

th֒ng

Chøng minh B÷îc 1 Chøng minh b i to¡n bi¶n (2.1) câ nghi»m y‚u

” chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m y‚u cıa b i to¡n (2.1) ta s‡ ¡p döng

nguy¶n lþ cüc ti”u cıa phi‚m h m kh£ vi

X¥y düng phi‚m h m Euler - Lagrange li¶n k‚t vîi b i to¡n

p döng ành lþ hºi tö trºi Lebesgue, ta câ

Vîi 8x; y 2 H ,!,! C[0; 1] n¶n jx (t)j2n+1; jy (t)j 2 C [0; 1]

Khi â jx (t)j2n+1; jy (t)j 2 L2(0; 1) v jx(t)j2n+1: jy (t)j 2 L1(0; 1)

T÷ìng tü ta câ jy (t)j2n+2 2 L1 (0; 1) :Nh÷ v“y g (t) = jx (t)j2n+1 jy (t)j + jy (t)j2n+2

2 L1(0;1):

24

p döng ành lþ hºi tö trºi Lebesgue, ta câ

Ta s‡ ¡p döng nguy¶n lþ cüc ti”u chøng minh phi‚m h m F (x) tçn t⁄i

‰t nh§t mºt i”m tîi h⁄n x0 2 H Khi â F (x0; y) = 0 v x0 l nghi»m y‚u cıa

25

Tr÷îc ti¶n ta chøng minh F l phi‚m h m nßa li¶n töc d÷îi y‚u tr¶n

26

g (t) :f (t) dtjf (t)j2dt: jg (t)j2dt kf (t)k2L 2 (0;1) :

27

Nh÷ v“y F l phi‚m h m nßa li¶n töc d÷îi y‚u trong H.

Ti‚p theo ta chån t“p hæp M H trong nguy¶n lþ cüc ti”u

H

k fk

L 2

(0; 1)

:kxk

H

Nh÷ v“y M l h…nh cƒu âng trong H vîi b¡n k‰nh R = 1+2kfkL 2 (0;1).

Do â M l t“p compact y‚u, kh¡c rØng, n‹m trong H

Tł â ta suy ra F nßa li¶n töc d÷îi y‚u trong M

V“y theo nguy¶n lþ cüc ti”u ta suy ra tçn t⁄i x0 2 H l i”m tîi h⁄n cıa F

Do â x0 l mºt nghi»m y‚u cıa b i to¡n (2.1)

B÷îc 2 Chøng minh t‰nh duy nh§t nghi»m y‚u cıa b i to¡n bi¶n (2.1) Ta câ

x0 l nghi»m y‚u duy nh§t do s 7!s2n+1 l ìn i»u, vîi x1; x2 2 H

2.2 B i to¡n gi¡ trà ri¶ng

Cho p > 1 l mºt sŁ thüc, X := W1;p (0; 1) ÷æc x¡c ành vîi chu'n

0 1

0(t) p11/p

Khi â gi¡ trà 1 l ⁄t ÷æc v l gi¡ trà ri¶ng b† nh§t trong t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cıa(2.6).

Chøng minh Ta sß döng ph÷ìng ph¡p nh¥n tß Lagrange” chøng tä r‹ng 1 l

gi¡ trà ri¶ng b† nh§t trong t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cıa (2.6)

Tr÷îc h‚t chøng tä gi¡ trà b† nh§t cıa (2.7) ⁄t ÷æc t⁄i x1 2 X vîi

n¶n

1 Z

⁄o h m Fr†chet h m f v g t⁄i x1 trong khæng gian X ta ÷æc

Nh“n x†t 2.3.1 H m sŁ çng nh§t b‹ng 0 l mºt nghi»m cıa b i to¡n

32

ành lþ 2.3.1 N‚u b i to¡n (2.8)câ mºt nghi»m d÷ìng C2 [0; ] th…

33

ành ngh¾a hai h m sŁ R ! R nh÷ sau

F (x; y) = Z

0 x: (t) y: (t) dt + Z

0 x (t)y (t) dt Z 0 jx (t)jp 2x (t) y (t)dt:Vîi x; x1 2 H v j

F (x; y)

8y 2 H ta câ

F (x1; y)jZ