HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau: Nếu hàm số y = fx có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì: • Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.. Vi

1 ' 1( ) 2

x = −x

1'

cos u = +

(cotgu)’ = - u2'

sin u

(sinx)’ = cosx(cosx)’ = - sinx(tgx)’ = 12 (1 tg x)2

'u'

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong

(a ; b) thì tồn tại điểm c ∈ (a ; b) sao cho: f ’(c) = f(b) f(a)

2 Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 ∀ x ∈(a ; b)

b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 ∀ x ∈(a ; b)

3 Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f ’(x) > 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b)

b) Nếu f ’(x) < 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b)

• Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f ’ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm

4) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu:

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó

b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đóc) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó

• Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:

- Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) là số vô tỉ thì:

1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ f (x) U(x)

IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:

+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x0 thì f(x0) = Min y

+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y

+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp

2 Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]

- Giải phương trình f ’(x) = 0, tìm các nghiệm x1, x2, …, xn

(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])

• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

⊕ Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số

(xem chuyên đề bất đẳng thức)

⊕ Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều

kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]

V TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG

1 Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:

a) Nếu f ’’ (x) < 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên

khoảng đó

b) Nếu f ’’ (x) > 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên

khoảng đó

2 Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên

không phải là điểm uốn của đồ thị

VI TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)

4 Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):

- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó

- Tính giới hạn của hàm số tại các mút

+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang

+ Nếu xlim→∞f(x) =∞ thì ta tính a = xlim→∞f(x)x :

B 2 : Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra

các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)

B 3 : • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)

• Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ

B 4: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức)

B 5 : Lập bảng biến thiên

B 6 : Đồ thị:

+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)+ Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…)+ Vẽ đồ thị

+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Khảo sát một số hàm số thường gặp

a) Hàm đa thức

• y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

• y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

11

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau:

Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:

• Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối

• Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta

bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này

Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)

♦ Hàm số dạng: y = |f(x)|

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox

- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.

Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C ’) của y = |f(x)|

♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy)

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C0)

- Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1)

Hợp hai phần (C0)và (C1) trên lại ta có đồ thị (C ’) của y = f(|x|)

2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

a) y = | x | 2| x | 1+

+ b) y = | x 1|x 2

++

c) y = | x 1|

x 2

++ d) y =

x 1

| x 2 |

++

3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng)

CHỦ ĐIỂM 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

A Phương pháp:

Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

thoả mãn một số điều kiện cho sẵn:

1 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (C) có phương trình là:

y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): là hệ số góc)

♦ Các dạng khác nhau của đề bài:

• Cho x 0 : Tính y0 = f(x0) và f’(x0)

• Cho y 0 : Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0)

• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0)

2 Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x 1 ,y 1 ) bất kỳ

( M(x 1 ,y 1 ) có thể thuộc hay không thuộc (C) )

♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x1,y1) và

 (I) ⇒ k rồi thay vào (1).

♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là:

• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1):

• Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

3 Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x 1 ; y 1 ) kẻ được n tiếp tuyến

Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)

f(x) k(x x ) y1 1'

Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):

• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:

+ M là trung điểm của AB+ Tam giác AIB có diện tích không đổi

• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số

• IA.IB = const

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho (C): y = x4 – 2x2 – 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các

giao điểm của (C) với trục hoành (ĐS: y = ± 8 3(x m 3)

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 1 (C), và điểm A(0, -1)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A

b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.

Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4

biết tiếp tuyến qua P(1;0)

Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(23; 2)

9 −

b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị

2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số

c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên

1) M là trung điểm của PQ

2) Tam giác AIB có diện tích không đổi

3) IQ.IP không đổi

VẤN ĐỀ 2

DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m Tìm m để hàm số đồng biến trong

Bài 11: Định m để hàm số y = 1 3 ( 1) 2 4 7

3x + m+ x + x+ có độ dài khoảng nghịch biến bằng 2 5. ĐS: (x x )2 4x x 20 m 2,m 4

Bài 13: Cho hàm số y = 2x3− 3(2m+ 1)x2+ 6 (m m+ 1)x+ 1 Với giá trị nào của

m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d):

− luôn có cực trị với mọi m Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn: y + y 2cd 2ct = 72

{ } 2 2 8 4 ( y = m + 8 )

HD : D = \ 1 , y = = 0

2 ( y = m 4 ) 2

c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số

b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5

ĐS: a) m≥3, b) -1 < m < 4

Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc

của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác

Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4 Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) = - f(x)

Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x3 – 3x2 - (m-2)x + m + 1

đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4

DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM

Cho (C): y = f(x) 2) Chứng tỏ (C) nhận I(x 0 ; y 0 ) làm tâm đối xứng (1) 1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2)

+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng ⇒

x 1

− +

=

− có tâm đối xứng là giao

điểm của 2 đường tiệm cận (ĐS: I(1, -1))

Bài 2: Chứng tỏ (H): y 2x 5

x 2

−

=+ có tâm đối xứng là giao điểm

của 2 đường tiệm cận (ĐS: I(-2, 2))

A Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x0, y0 chưa được cho trước

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x4 – 4x3 + 4x2 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng

Bài 2: Cho (Cm): y x= 4 +4x3 +mx21) Với m = 4, Chứng tỏ (C4) có trục đối xứng (ĐS: x = -1)2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có trục đối xứng // Oy

ĐS : m = 4, x = -1

Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (Ca)

Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy

ĐS : a = 0, x = 0 ; a = ± 1, x = m 1

VẤN ĐỀ 5 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là: f(x) = g(x) (1)

♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm

♦ (1) có nghiệm bội k ≥ 2 ⇔ (C) và (C’) tiếp xúc nhau

♦ (1) vô nghiệm ⇔ (C) và (C’) không có điểm chung

♦ Với (Cm): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm

chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm) và

vị trí của (Cm) đối với hệ trục

⊕ Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:

nghiệm”

Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:

• Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).

• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường thẳng (d): y = g(m).

−

− và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1

Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương

Tìm m để (Δ1)cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ2)

Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c

cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x – 6 (C) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 sao cho 2x2 = x1 + x3 Tìm 3 nghiệm đó

Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0

ĐS: -1< m < 1

Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m x2 +1

Bài 14: Cho phương trình: 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m x2 +1

Bài 16: Cho phương trình: x2 + x+1− x2 − x+1= m

a) Giải phương trình với m =

-2 1

Bài 20: CMR với ∀m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

x2 + 2x - 8 = m x.( 2)− (ĐH K B – 2007)

Bài 21: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

1x22mx

2006)

Bài 22: Tìm m để phương trình x 1 4 x 1 3x 2mx 0

x− − − + − = có nghiệm

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH CT TỪ NĂM 2002 –

2009

(Với m là tham số)

Bài 1: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm k để phương trình: – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C)

(ĐH KA – 2002)

Bài 2: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm m để hàm số trên có 3 điểm cực trị (ĐH KB – 2002)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C-1) và hai trục tọa độ

3) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1

2) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

2) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt

Bài 7: Cho hàm số: y = 1 3x

3 - 2x

2 + 3x (C) (ĐH KB – 2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh

rằng

Δ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 8: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (Cm) (ĐH KD –

2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

2) Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB

2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp

tuyến của

(Cm) tại M song song với đường thẳng: 5x – y = 0

(ĐH KD – 2005)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) CMR với mọi m, (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và

khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc

với

tiệm cận xiên của (C) (ĐH KB – 2006)

Bài 14: Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m

Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt (ĐH KD – 2006)

Bài 15: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA –

2006)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt (tương giao):

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của

(Cm)

cách đều gốc tọa độ O (ĐH KB – 2007)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1

2) Tìm m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm

cực trị

của (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

(ĐH KA – 2007)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),biết rằng tiếp tuyến đó

đi qua điểm M (-1;-9) (ĐH 2008)

KB-Bài 21: Cho y x= 3 −3x2 +4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;2) với hệ số góc k ( k

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến

đó cắt

trục hoành, trục tung laµn lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác

OAB cân tại gốc tọa độ O (ĐH 2009)

KA-Bài 23: Cho hàm số y 2x – 4x = 4 2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 2 − = 2 m có đúng 6 nghiệm

KB-2009)

Bài 24: Cho hàm sốy x – 3m 2 x = 4 ( + ) 2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi m = 0.2) Tìm m để đường thẳng y= −1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt

đều

có hoành độ nhỏ hơn 2 (ĐH 2009)

KD-GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH & CĐ KHÁC

Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D,

E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau