Một số ứng dụng của hàm suy rộng

Do nghiệm của phươngtrình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng thường không tồn tại toàn cục nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệmcho phương trình đạo

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên giúp em làm quen với việcnghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ khi bất đầu công việc và gặp nhiềukhó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhậnđược sự động viên và giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ của các thầy cô giáo và các bạnsinh viên trong khoa

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần văn Bằng đã

giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiệncho em có cơ hội làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Lê Thị Hà

SVTH: LÊ THỊ HÀ 1 K32-CN TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam kết đề tài „„Một số ứng dụng của hàm suy rộng‟‟ là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng - Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Đề tài này

không hề sao chép từ bất kì một tài liệu có sẵn nào Và kết quả nghiên cứukhông hề trùng lặp với kết quả nào

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Sinh viên

LÊ THỊ HÀ

MỤC LỤC

Mở đầu 4

Chương 1: Hàm Thử Gauss 5

1.1 Không gian của những hàm thử 5

1.2 Vai trò không gian các hàm thử Gauss 7

1.3 Một số tính chất của hàm thử Gauss 10

Chương 2 :Hàm suy rộng 14

2.1 Hàm số 14

2.2 Hàm suy rộng 15

2.3 Đại số cơ bản của hàm suy rộng 18

2.4 Một số dãy của hàm liên tục 21

Chương 3: Phép biến đổi cơ bản của giải tích Fourier suy rộng 23

3.1 Phép biến đổi Fourier 23

3.2 Phép tịnh tiến suy rộng 27

3.3 Đạo hàm suy rộng 29

Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng 33

4.1 Những cơ sở trong cách giải phương trình đại số đơn giản 33

4.2 Phương trình thuần nhất với nhân tử đa thức 36

4.3 Phương trình không thuần nhất với nhân tử đa thức 39

4.4.Hàm cực 42

4.5 Phép biến đổi, tích và nghiệm trong hàm cực 46

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

LỜI MỞ ĐẦU

Hàm suy rộng xuất hiện vào thế kỷ XX trong các công trình của Dirac

về cơ học lượng tử và nhà toán học L.Shwartz đã góp phần quan trọng vàoviệc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng Do nghiệm của phươngtrình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng thường không tồn tại toàn cục nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệmcho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên bức thiết

Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng có nhiều ứng dụng trong vật lý và

lý thuyết đạo hàm riêng, đặc biệt góp phần giải quyết những vấn đề về lýthuyết của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, trong khi đó những hiểubiết về hàm suy rộng vẫn còn xa lạ và mới mẻ đối với sinh viên

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này và

bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài: "Một

Chương 3: Phép biến đổi cơ bản của giải tích Fourier suy rộng Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng

Phần 3: Kết luận

Chương 1 HÀM THỬ GAUSS

1.1 KHÔNG GIAN CỦA NHỮNG HÀM THỬ 1.1.1 Những hàm thử Gauss cơ bản.

Định nghĩa 1 Một hàm trên  được gọi là một hàm thử Gauss cơ bản nếu vàchỉ nếu nó có dạng

Định nghĩa 3 Cho f là hàm số xác định trên  , f là hàm mũ khả tích khi và

chỉ khi nó liên tục trên từng phần trên  và có một giá trị β ∈ sao cho

=

x

với

−∞ < x < ∞ 2

Hơn nữa, nếu cố định những dạng trên thì ta có

D = Ae−γζ

1 Mọi hàm Gauss là một hàm thử Gauss cơ bản

2 Mọi hàm thử Gauss cơ bản là hàm bị chặn, trơn và là hàm khả tích tuyệt đối trên 

3 Tích của hàm thử Gauss cơ bản bất kỳ với hàm mũ khả tích bất kỳ là hàm khả tích tuyệt đối trên 

4 Nếu φ là một hàm thử Gauss cơ bản thì các hàm sau cũng là hàm

Gauss cơ bản

a φψ ở đó C,σ ∈ ; k ∈  + ψ là hàm thử Gauss cơ bản bất kỳ

Định nghĩa 4 Một hàm φ trên  là một hàm thử Gauss nếu và chỉ nếu

Bổ đề 3 G là một không gian véctơ (phức).

1.2 VAI TRÒ CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ GAUSS

Cho f và g là những hàm mũ khả tích trên  Dễ thấy nếu f = g thì

∫ f (x)φ(x)dx

Định lý 1 Giả sử f và g là hai hàm mũ khả tích trên  thì f =

Định lý 2 Cho f và F là hai hàm khả biến đổi Fourier cổ điển Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

Chứng minh

Nếu mệnh đề 1 đúng thì mệnh đề 2 và 3 được suy trực tiếp từ đồng nhấtthức cơ bản của giải tích Fourier

Ta giả sử mệnh đề 2 đúng và cho φ ∈ G, áp dụng đồng nhất thức cơ bản

của giải tích Fourier ta có

[ φ ] Áp dụng mệnh đề

3 và tính nghịch đảo phép biến đổi Fourier ta có

∞

∫ F (x)φ(x)dx

=

−∞

∞

∫ F (x)

dy

Cũng như chứng minh trên ta chứng minh được mệnh đề 1 Vậy định lí được chứng minh

Gauss Từ những lập luận trên suy ra.

Bổ đề 4 Cho h là một tổ hợp tuyến tính của những hàm có dạng

Cho φ là một hàm thử Gauss cơ bản

Mặt khác nếu cho D,σ ∈ sao cho:

chuẩn và tính chất của những hàm Gauss, suy ra φ = khi φ = 0.

Ngược lại, nếu φ = thì ta

Vậy

φ ( x)

= 0

khi φ = 0, ∀x∈ 0

Chương 2 HÀM SUY RỘNG

Thì Γ là một hàm “Hàm giá trị phức của hàm thử Gauss”

Định nghĩa 1 Trong toán học, những hàm cho tương ứng mỗi hàm thử với

một số được gọi là phiếm hàm

Ví dụ 1 Cho f là hàm mũ khả tích bất kỳ trên  Phiếm hàm tương ứng với

Ví dụ 2 Cho a ∈ , hàm giá trị tại a kí

E a [ φ ] = φ (a) , φ ∈G

Ví dụ 3 Hàm chuẩn N là chuẩn đã được nói đến với những hàm trên  Ở đó



, φ ∈G

2.1.2 Tính chất tuyến tính của phiếm hàm

Định nghĩa 2 Một hàm Γ trên  được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng

 (

2.1.3 Tính chất liên tục của phiếm hàm

Định nghĩa 3 Một hàm Γ là liên tục khi và

chỉ khi tùy ý miễn là φ,ψ là những hàm thử

tại φ , như vậy với mỗi hàm Γ trên G được gắn với một hàm f Do

Kí hiệu này được tiện lợi khi Γ là phiếm hàm tuyến tính,

liên tục Khi đó ta gọi Γ là hàm suy rộng

2.2.2 phiếm hàm giá trị và hàn Delta

- hàm mũ khả tích ) được coi như một hàm

suy rộng cho bởi công thức f ,φ

hàm suy rộng nếu f không là hàm mũ khả tích vì nó không liên tục.

Bổ đề 1 Cho f là hàm cổ điển ít nhất là liên tục trên một phân hoạch của 

và cho l có chiều dài hữu hạn thì f là hàm mũ khả tích khi và chỉ khi có hằng số M , β sao cho :

2.2.5 Lưu ý thêm về kí hiệu hàm suy rộng

Giả sử f là hàm suy rộng tương ứng với hàm suy rộng Γ

tức

∫ ∫ 2

Ví dụ 7 Giả sử cho f là hàm suy rộng thỏa mãn

f ,φ ∞

= −∫ φ′( x)dx

a Phép cộng suy rộng có tính chất giao hoán

Cho f , g là hai hàm suy rộng , theo định nghĩa

b Phép nhân suy rộng đơn

Tích đơn có tính chất giao hoán và 0

x,λ liên tục theo λ Khi đó hàm h cho

2.4.3 Đơn giản hóa việc kiểm tra hai hàm suy rộng bằng nhau

Nhớ lại rằng, hai hàm suy rộng f và g là bằng nhau, nếu

Chương 3 NHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH FOURIER SUY RỘNG

3.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3.1.1 Định nghĩa và những ví dụ

Định nghĩa 1 Cho f là hàm suy rộng bất kỳ Phép biến đổi Fourier của f kí

hiệu là F[ f ] được xác định là hàm suy rộng thoả mãn:

F[ f ],φ = f , F[ φ ]

,

∀φ ∈G

Tương tự ta có nghịch đảo phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng F

được kí hiệu là F -1 [F ] được xác định là hàm suy rộng thoả mãn:

Ví dụ 3 Hàm step - không khả biến theo nghĩa cổ điển ( tức là biến đổiFourier cổ điển không tồn tại) Nhưng step là hàm mũ khả tích do đó có thể

áp dụng như hàm suy rộng Sử dụng định nghĩa suy rộng để tìm biến đổiFourier suy rộng ta có

dxdy ,

∀φ ∈G

Ví dụ 4 Ta thấy e−2t step

(t ) là hàm biến đổi cổ điển với phép biến đổi Fourier

là (2 + i2πω )1 Vì vậy phép biến đổi Fourier

dt

2 + i2πω

F e−2t step (t )

,φ ( ω ) .

3.1.2 Tính tuyến tính và tính nghịch đảo

Cho f và g là 2 hàm suy rộng bất kỳ, cho λ, β là hằng

số tuỳ ý Khi đó với mỗi φ ∈ G ta có

F[ φ ] + β g, F [ φ ]

Định lí 2 Cho f và g là hai hàm suy rộng thì

Hàm suy rộng f là hàm lẻ khi và chỉ khi f (−x)

 f

( y) − x

=

F -1  f (− y) x

Hệ quả 1 Cho f là hàm suy rộng chẵn thì cả F[ f

Cho f là hàm suy rộng bất kỳ và giá trị thực a bất kỳ.

Phép tịnh tiến f bởi a kí hiệu f ( x

3.2.2 Phép biến đổi Founier và phép tịnh tiến

Định lý 4 Cho F và f là hai hàm suy rộng với

Phương trình (*) nói lên mối liên hệ giữa Df và f

Định lý 5 Cho f là hàm trơn từng khúc trên  thì f ′ là hàm mũ khả tích Nếu f có vô hạn số gián đoạn và giả sử f cũng là hàm mũ bị

Hệ quả 3 Nếu f là hàm liên tục, trơn từng khúc trên tập  với đạo hàm là

hàm mũ khả tích thì f là hàm mũ khả tích và đạo hàm suy rộng của nó là đạo

3.3.4 Đồng nhất thức vi phân phép biến đổi Fourier

Định lí 6 Cho f và F là hai hàm suy rộng

Chương 4ỨNG DỤNG HÀM SUY RỘNG

4.1 NHỮNG CƠ SỞ TRONG CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ĐƠN GIẢN

Ví dụ 1.

Giả sử ta muốn tìm một hàm suy rộng u thỏa mãn phương trình

e3xu

( x) = sin( x)+ δ

(

x)

(4.1)

i

Ta nhân hai vế của phương trình với e−3 x

Vậy công thức trên cho cách giải u (

Định lí 1 Cho f và g là hai hàm suy rộng với f là một hàm cổ điển, nghịch

i

i

Mà theo quy tắc tính suy rộng ta có ( f −1 f )u = 1.u = u

Khi đó phương trình trên cho ta u = ( f

là một nhân tử đơn Theo định lí

trên nếu một nghiệm tồn tại thì nó được cho bởi:

x − i i

Vậy u = 0 không là nghiệm của phương

trình Suy ra phương trình đã cho không có

Trong trường hợp tổng quát.

Nếu cần phải biến đổi Fourier của phương trình vi phân tuyến tính cấpbất kì với những hệ số hằng số

Chú ý Cho phương trình hàm suy rộng bất kỳ có dạng fu = g , u chưa

Định lý 2 Cho f và g là hai hàm suy rộng Lúc đó nếu nó tồn tại thì nghiệm

4.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT VỚI NHÂN TỬ ĐA THỨC

u1 = −Dδ

Vậy u

( x) = c1Dδ (x) + c0δ (x)

là nghiệm tổng quát của x2u

( x) = 0 , ở

đó c1 và

c0 là hằng số tùy ý.

nghiệm của f khi và chỉ khi

f ( λ ) = 0 Khi đó đa thức được cho dưới dạng

f

(

A

−M1

−)M 2 ( x − λ

tập hợp những hằng số Thì có những hắng số a0 ,

a1, ,a k

sao cho:

Vì vậy u0 là một hàm suy rộng xác định và áp dụng như một nghiệm

hàm suy rộng của phương trình

Kết quả với nghiệm tổng quát của phương trình, ta cộng thêm u0 từ

nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng ( x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( x − i )u

Vậy nếu g là hàm cổ điển bất kỳ thì tích

Nếu f không xác định tại một điểm trên  thì g cũng không xác định

tại điểm đó, khi đó tỷ số

g

f

xác định một hàm suy rộng

4.2.3 Trường hợp 3

sẽ không khả tích xung quanh điểm đó và không

Ví dụ 8 Tìm nghiệm hàm suy rộng của xu ( x) = 1

Ta áp dụng phép tịnh tiến toán tử với một số phức i trên cả hai vế của phương trình

ở đây ta đặt

T i xu ( x) =T i [x]T i [u]=(x − i)T i [u]=(x

− i)uˆ (x)

uˆ =T i [u]

Tương tự ta có T

i [u]= 1.Khi đó phương trình trở thành ( x − i)uˆ

không có nghiệm thực nên ta có 0 ) ( x − i

nghiệm của phương trình trước

x x2 x3

chúng không là hàm suy rộng Điều này gây khó khăn cho sự lỗ lực của chúng

ta khi giải phương trình

x k u ( x) = 1

Tuy nhiên hàm suy rộng có thể thỏa mãn tương tự hàm cổ điển

4.4.1 Hàm cực cơ bản (The basic pole function) và phép biến đổi của nó

x−1 Ta gọi suy rộng này tương tự

hàm cực ( cơ bản ) và được kí hiệu là

Bây giờ ta tìm giá trị c ở công thức trên của hàm suy rộng lẻ

Lấy phép biến đổi Fourier của biểu thức cuối ta có

Đây là hàm liên tục từng khúc và bị chặn trên  Hơn nữa, nó là hàm

lẻ vì từ phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng ta có điều đó Nghĩa là,

Chúng ta gọi đó là hàm cực cấp 2 và kí hiệu pole2

= −D x(xpole(x) ) + 2xpole

= −D[x.1] + 2.1 = −1+ 2 =1

Vậy pole2 thỏa mãn xpole(x) =1

Nói chung ta dễ dàng xác định được công thức cổ điển của nó

Chú ý 4 Phép biến đổi Fourier của hàm cực cấp k được suy ra từ định nghĩa

của nó Tính toán phếp biến đổi của hàm cực cơ bản và đồng nhất thức viphân của phép biến đổi Fourier

F[ pole]

k

y y

y k 1 sgn(

y)

với k = 1, 2,3, 4

(4.13)

−i2π −

y

2(k −1)!Theo tương đương gần và phần 3 của định lý 3 ta có

1 ,

Cho chúng ta một công thức với phép biến đổi Fourier của hàm

step trong những số hạng của hàm cực.

4.5.2 Tích nâng lên lũy thừa

Bổ đề 7 Giả sử k là số nguyên lớn hơn 1, thì

Chứng minh.

xpole k ( x) = pole k −1 ( x)

Xét phép biến đổi Fourier của

xpole k ( x) .của

Áp dụng đồng nhất thức vi phân, công thức ( 4.13 ) với phép biến đổi

k − 1

= k − 1 (k −1)! (k −1)(k

− 2) 3.2.1

= 1 = 1 (k − 2) 3.2.1 (k − 2)!Và

x k pole k ( x) = x n−1 xpole k ( x)

= x n−1 pole k −1 ( x)

+

Nếu n

= k

= x n−2 xpole k −1 ( x)

= x n− 2 pole k − 2

k = 1, 2,3, 4

4.5.3 Giải phương trình của hàm cực

Ở bài 3 ta đã có những cách tìm nghiệm riêng u0 của phương trình

Từ định lý 5 trên ta thấy nghiệm của phương trình này là

u ( x) = Apole1 ( x) + Bpole2 ( x) + Cpole1

 4C = 1Khi đó ta có: 

Là nghiệm của phương trình (4.18)





KẾT LUẬN

Sau một thời gian tích cực tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu dưới sự giúp

đỡ nhiệt tình của thầy giáo Trần Văn Bằng cùng nhiều thầy cô trong khoa

Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 em đã hoàn thành khóa luận tốt

nghiệp này Nhìn chung qua đề tài „„Một số ứng dụng của hàm thức rộng’’

em đã hiểu sâu sắc hơn về ứng dụng của hàm suy rộng trong vật lí và lí thuyếtđạo hàm riêng Đặc biệt là những vấn đề về lí thuyết của phương trình đạohàm riêng tuyến tính

Như vậy đề tài cơ bản đã đạt được mục đích đề ra Tuy nhiên do mớibước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cùng với tầm hiểu biết

và thời gian làm khóa luận hạn hẹp nên em không tránh khỏi những thiếu sót,

và chưa thể mở rộng hết được đề tài Em rất mong nhận được sự góp ý củacác thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Lê Thị Hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang

Trung - Phương trình đạo hàm riêng – NXB Qiáo dục.

2 Hoàng Đình Dung - Mở đầu về giải tích phương trình đạo hàm riêng.

3 Trần Đức Vân - Phương trình đạo hàm riêng tập 1 - NXB ĐH Quốc

gia Hà Nội

4 V.S Vladimirov - Generarized Functions In Mathematical Physics 5.Kenneth B Howell – Principles of Fourier Analysis –NXB Studies in

advanced mathematics