Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mpOAB 2.. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳ
Trang 1ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI D NĂM 2007
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I: ( 2 điểm) Cho hàm số y x2x1
+
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 41
Câu II: ( 2 điểm)
2
x 2
2 Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :
−
= + + +
= + + +
10 m 15 y
1 y x
1 x
5 y
1 y x
1 x
3
3 3 3
Câu III: (2 điểm)
Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng ∆: x 11= y1+2 =2z
−
−
1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB)
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất
Câu IV: (2 điểm)
1 Tính tích phân : =∫e
1
2
3 xdx x
2 Cho a ≥ b > 0 Chứng minh rằng : b b b a
a
a
2
1 2 2
1
+
≤
+
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a: Theo chương trình THPT không phân ban ( 2 điểm)
1 Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của : x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x – 4y + m = 0 Tìm để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp điểm) sao cho tam giác PAB là tam giác đều
Câu V.b: Theo chương trình THPT phân ban thí điểm ( 2 điểm)
3 2 4
1 2
27 2 15
− +
+ +
log )
( log
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cạnh a, ABC∧ = BAD∧ = 90 0, BA = BC = a,
AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính ( theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Trang 2ĐÁP ÁN : Câu I: ( 2 điểm)
2
1
; , M(1 ; 1)
Câu II: ( 2 điểm)
1 x = π/2 + k2π, x = - π/6+ k2π
2 Đặt x + x1 = u, y + y1 = v (u ≥ 2 , v ≥ 2)
−=
=+
⇔
−=
+−
+
=+
m8 uv
5v
u 10m 15v u3 vu
5v
u
3
⇔u, v là nghiệm của phương trình : t2 – 5t + 8 = 0 (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm t = t1, t= t2 thoả (t1 ≥ 2 , t2 ≥ 2)
Xét hàm số f(t) = t2 – 5t + 8 với t ≥ 2
Bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên của hàm số hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi : 7/4 ≤ m ≤ 2 hoặc m ≥ 22
Câu III: (2 điểm)
1 Phương trình của đường thẳng d : 2x y 12 =z−12
−
−
=
2 MA2 + MB2 = 12(t – 2)2 + 28 ; MA2 + MB2 nhỏ nhất ⇔ t = 2 M(-1 ; 0 ; 4)
Câu IV: (2 điểm)
1 I =
32
1 e
5 4 −
2 BĐT ⇔ (1 + 4a)b ≤ ( 1 + 4b)a ⇔
b
4 1 a
4
1 a ) ln( b )
Xét hàm số
x
4 1 x
4 1 x
4 1 4 1 4 4 x
+
+ +
−
=
) (
) ln(
) ( ln )
( '
⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
Do f(x) nghịch biến trên (0; +∞) và a≥b > 0 nên f(a) < f(b) và ta có đpcm
Câu V.a:
1 Hệ số của x5 trong khai triển của x(1 – 2x)5 là 4
5
4 C 2) ( −
Hệ số của x5 trong khai triển của x2(1 + 3x)10 là 3
10
3 C 3 Hệ số của x5 trong khai triển của x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 = 4
5
4 C 2)
10
3 C
2 (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 3 Ta có : ∆PAB đều nên IP = 2IA = 2R = 6 ⇔ P thuộc đường tròn (C’) tâm I, bán kính R’ = 6
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇔ d tiếp xúc với (C’) tại P ⇔ d(I; d) = 6 ⇔
m = 19, m = - 41
t
+
7/4
+ + f(t)
f’(t)
Trang 3Caâu V.b: 1.x = log2 3
