chuyên đề 12

Bài giảng này giới thiệu các phương pháp chính để tính tích phân và ứng dụng của tích phân đề tìm diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay.. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN H

Bài giảng số 12 PHEP TINH TICH PHAN VA

UNG OUNG

Cac bai toan về tích phân là một trong những bài toán lúc nào cũng có mặt trong các dé thi môn Toán vào các trường Đại học và Cao đắng trong những năm gan day (2002 — 2009)

Bài giảng này giới thiệu các phương pháp chính để tính tích phân và ứng dụng

của tích phân đề tìm diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay

§1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

A PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Để sử dụng được phương pháp này ngoài việc sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm, còn phải năm vững các phép tính vi phân và biến đổi thành thạo các đăng thức về phép tính vi phân

Thi dul: (Đề thi tuyén sinh Dai hoc khối D-2009)

Thi dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A ~ 2006)

x

Tinh tich phan: l= |-==——=—-

0 VCOS“X+ 4sin* x Giai

Nhan thay d(cos”x + 4sin ˆx) =(_—2cosxsinx + 8sinxcosx)dx = 3sin2xdx

T

4 Vay I= sles? + 4sin? x) 2 d(cos”x +4sin" x)

- Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết

- Cách trình bày đơn giản

B PHUONG PHAP DOI BIEN SO

Đôi biên sô là một trong những phương pháp quan trọng nhat dé tinh nguyén hàm và tích phân Trong mục này chúng tôi trình bày các phương pháp đôi biên sô thông dụng nhât:

biểu thức đưới dấu tích phân g(x)dx dưới dạng

Ladue = f[ u(x) |d(u(x)) Khi đó ta có: ful )dx = = (r(w) (u )du voi a = u(a); B = u(b)

Oo

Vay bai toan quy về việc tính tích phân mới này đơn giản hơn nhiều so với

tích phân ban đâu Phép đôi biến ở day la t = u(x), và nhớ khi đổi biến thì phải đối

Thí dụ 3: (Dé thi tuyén sinh Dai học khối B — 2005)

Đặt t = e* (khi x = In3, thit = 3; khi x = In5, thit = 5)

0

Giải

Taco I= [sin x tan xdx = [sin” Xx x=-| (1)

Đặt t = cosx (khi x = 0, thì t= 1; khi x= 5 thit= 5)

t= nif (x)

Đây là một trong những phép biến đổi thông dụng hay gặp

Thí dụ 1: (Đề thì tuyên sinh Đại học khôi A — 2004) |

2

xdx Tinh tich phan: |= |————

Giải

Đặtt= VI+3cosx (khix=0 => t=2: khix= => t=1)

Ta cot? = 143cosx => 2tdt =—3sinxdx

— Khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dưới dạng a”—X hoặc Vx7—a7 nói chung ta sẽ gặp khó khăn nếu sử dụng phương pháp đổi biến nói trong loại 2 (đặt t = x? -a* hoc t= va” —x” ) Với tích phân này người ta

giông trong loại 2:t= Va“—x“ thi chăc chăn sẽ gặp rắc rồi (các ban thử làm xem

và giải thích vì sao lạt như vậy) Đây chính là thí dụ chứng tỏ răng không phải cứ thay /jf(x) là thực hiện phép đối biên sô t= jf(x)

Thi du 2:

Tinh tich phan: [ =

Dat x = 3sint, voit € -

3/2 XV x? 9

Giải

⁄ Dat x = 3 voit € 05]

Thi du 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A- 2009)

Tính tích phan: I= f(cos?x - IÌeos”xdx

Loại 5: Một số phương pháp đôi biến đặc biệt đề tính tích phân:

Trong mục này chúng tôi giới thiệu vài phép đổi biến đặc biệt (không thông dụng) để tính tích phân với mục đích để các bạn tham khảo thêm

Dang 1: Déi bién x = -t

Phép đổi biến này dùng khi:

1/ Tính phân cân tính có dạng: Jf()4x, trong đó f(x) 1a ham sé chan hoac

Đặt x = -t, khi đó

Jin(x+- Viva? a fin Vee? eat fin — —— fof? (2)

0 t+vI1+t Thay (2) vao (1) ta cd: IF 0

Chú ý: Hàm đưới dau tich phan f(x) = n(x +Wl+ | là hàm lẻ trên [—1;1] Thi du 2

l+et

Thay (2) vao (1), va co: | = Ft te) 5 = [si “12g

Dang 2: Phép thay biénx=a-t

Phép đổi biến này thường dùng dé tinh các tính phân có cận trên là a, hàm dưới dau tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này liên quan đến cận trên a (theo nghĩa chúng có mối liên hệ của các hàm lượng mác của các góc liên quan đặc biệt) Vì thế các tích phân này thường có cận trên là 2 “2n „1L,

Với các tích phân này, sau khi biến đôi x = at sẽ dẫn đến việc giải phương trình đơn giản mà ân số ở đây là tích phân | cần tính

Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội —- 2004)

Dat x =2n-t => cosx = —-cosf và xe at Ta có:

¬ COS *t}dt = ics t) )(cos? tÌdt

C PHUONG PHAP TICH PHAN TUNG PHAN

Phương pháp tích phân từng phần cũng là một trong các phương pháp cơ bản nhất dé tính tích phân Cần nhắn mạnh rằng các bài toán sử dụng tích phân từng phân để tính tích phân nhiều lần xuất hiện trong các đề thi tuyên sinh vào Đại học

và Cao đẳng trong những năm gần đây

Loại 1: Cac dang | toán cơ bản của phép lấy tích phân từng phần

Cần nhắn mạnh rằng các dạng toán này chiếm trên 90% các bài toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân trong các đẻ thi từ 2002 đến

2009 (và 100% trong các để thi tuyển sinh môn Toán vào các trường Đại học khối

A, B, D trong những năm đó) Có 4 dạng toán cỶnh _

b

1 Với tích phân dạng: [P (x)e KXdx hoặc j6) sin kxdx; (P(x) )coskxdx ở

day p(x) la đa thức thì đặt u = P(x) ; dv =e dx (hoặc dv = sinkxdx, )

2/ Với tích phân dạng j6) InF xdx (có thể áp dụng với một số trường hợp

thi dat u =e" , dv=sin adx (hoac dv = cos Bdx)

hoặc u = sin ơx (hoặc u = cos x), dv = e**dx

Thí dụ 1: (Đề thi mye sinh Đại học khối B — 2009)

Theo công thức tích phân từng phân, ta có:

Thay (2) vao (1) va co: I= >

Thi du 4: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2006)

Tinh tich phan: | = f(x —2)e**dx

(4) có nghĩa là ta gặp hiện tượng ' xoay vòng” tức là sau một loạt phép toán —-

ta quay lại đầu bài Do đó ta chưa giải quyết được bài toán

Khi áp dụng phương pháp tính tích phân từng phân từ hai bước trở lên, nếu

không cần thận sẽ gặp “hiện tượng xoay vòng” và cần phải tránh nó

Loại 2: Phương pháp tích phân từng phần với các dạng tích phân khác Để sử dụng có hiệu quả phương pháp tính tích phân từng phần khi tính tích phân, điều

quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp Phép chọn hàm u phải đảm bảo được hai điều sau đây:

1/ Dé dàng tính được Jwu

2/ Thông thường khi sử dụng công thức tích phân từng phần để tính tích phân,

ta đều phải trải qua nhiều bước Vì vậy hàm u cần chọn sao cho trong các bước tiếp theo sử dụng công thức tích phân, thì việc tính Jxdu phải ngày càng đơn giản đi Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Giao thông — 2004)

§2 MOT SO UNG DUNG CUA TICH PHAN

A TINH DIEN TICH HINH PHANG

- Diện tích hình phăng xác định bởi đường cong y=f{x) -

Cho hình păng giới hạn bởi các đường

Khi đó diện tích S của nó được

Cho hình phăng giới hạn bởi:

Giải bài toán tìm diện tích hình phẳng thường có lược đỗ chung dé giải như sau:

- Vẽ hình (nếu thấy cần thiết và dễ vẽ Khí vẽ đường cong chỉ nên vẽ phác hình)

- Tìm giao điểm của các đường tạo nên hình phăng

- Sử dụng các công thức đã nêu ở trên

Loại 1: Các bài toán có thể vẽ phác được hình cần tính diện tích:

Với các bài toán thuộc loại này việc vẽ hình giúp cho việc nhận diện hình cần

tính đễ dàng hơn nhiều Dĩ nhiên ta chỉ cần lưu tâm đến hình dáng của hình, nên việc vẽ hình chỉ cần là vẽ phác mà thôi!

Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)

Tìm diện tích giới hạn bởi các đường y = |xẴ— 4x + 3| vay = x43

-y=x +3 đều rất dả vẽ, vì thế ta có ngay hình vẽ sau:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành dộ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình: x’

—4x†+3=x13

(vì nó cắt nhau trên phần mà _

X'- 4x+3 >0) x= 0 hoặc x = Š.

T tự dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B —- 2002)

Hoành độ của giao điểm A, B

Ta suy ra có 3 giao điêm A, B, C

với hoành độ giao điểm lân lượt là:

Loại 2: Các bài toán tính diện tích hình phẳng mà việc vẽ hình khó thực hiện

Với các bài toán loại này chưa thể nhận ra ngay khi nào f{x) > g(x) (hoặc f(x) < g(x)) Vi thế cách tốt nhất khi tính diện tích S là sử dụng công thức:

b

S= [[f(x)ldx,

a

và xử lí theo cách tính tích phân trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa

dấu giá trị tuyệt đối

b

Dang 1: B6 sung về tính tích phân dạng: [ f(x)|dx

a

Khi giải các loại bài tập này trước hết phải tiến hành xét dấu để phá đi các dấu

giá trị tuyệt đối (kiến thức hay dùng nhất là sử dụng ° định lí về dẫu của tam thức bậc

hai, nhị thức bật nhất và sử dụng đường tròn đơn ` ed vị đề xét dấu các hàm lượng giác)

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D — 2003)

Dua vao duong tron don vi ta co ngay:

sint < 0 khi =1 <t<0 va sint > 0 khi 0<tca,

Thi du: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2007)

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = (e + 1)x va

y=(l+e)x

Giải Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:

(e+ ])x=(1+e)x ©x(eÌ-e)=0« x=0vàx= ]

Từ đó diện tích S cần tìm được tính theo công thức:

S= {+e Jx-t+e)sl= le ~e)[dx (1)

Khi 0 <x< I thì x> 0; còn e” - e <0, nên từ (1) ta có:

Nhán xé(: Với thí dụ này, việc vẽ hình không đơn giản chút nào!

B TINH THE TICH VAT THE

- Giả sử vật thể sinh bởi hình phăng giới hạn bởi các đường

y=f(x)y=0 và quay quanh trục Ox Khi đó thê tích V của vật thê ây là: adorn V cóc vat thd Ay I

Thi du I: (Dé thi tuyen sinh Đại học khối B — 2007)

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xInx; y = 0 va x = € Dem hình phăng quay quanh trục Ox Tìm thể tích khối tròn xoay thu được

9 ; 3 9 x Goi Vi, V2, Vị tương ứng la thé tich

của các vật thể sinh bởi khi đem

cung OA, AB va OB quay quanh Ox

Khi đó ta có:

BAI TAP TU GIAI

Sử dụng phương pháp bảng nguyên hàm, tính các tích phân sau: Bài 1 (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi — 2006)

In2 Tính tích phân: I = J Ve* —Idx Đáp số: 4 5 "

0 Bai 13:

x

Tính tích phan: I = [(x + 1)sin 2xdx Dap so: r +1

0

; Xx

Đáp số: In(2 + A)(J2 1) 32 v3

3 Bai 23:

_ Tim dign tich hinh phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x’ + 4x + 5 và hai tiếp

tuyén cua (P) tai diém A (1; 2); B(4;5) nam trén (P)

Đáp số: = (aval)

Bai 27:

Tính diện tích hinh phang gidi han bởi các đường y = sin|xị và y = [xb m

Đáp 56: 4+ 2° (dvdt) Bai 28:

Cho hình phăng tạo bởi hai đường y = 2x-x’ va y = 0 Tìm thể tích vật thể khi đem hình phăng quay quanh trục Ox

Đáp số: on (dvtt).