Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng CHUYÊN ĐỀ 12: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Câu 1. Cho , , 0a b c ≥ , chứng minh rằng: a) 2 ( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + + b) 3 3 3 3( ) ( )( )a b c a b c ab bc ca+ + ≥ + + + + Câu 2. a) Cho , , 0a b c > và a b c+ = , chứng minh rằng: 4 4 4 5 5 5 a b c+ > . b) Độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn hệ thức 3 3 3 a b c+ = . Hỏi tam giác đó là tam giác nhọn hay tù? c) Cho ,m n là các số thực không nhỏ hơn 2, chứng minh rằng: sin cos 1 m n x x x R+ ≤ ∀ ∈ . Câu 3. a) Tìm tập giá trò của hàm số | sin | | cos |,y x x x R= + ∈ b) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 4 4 1 1y x x= − + + c) Chứng minh rằng: |sin | |cos | 4 2 3, x x x R+ ≥ ∈ Câu 4. a) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng 1 2 a b c b c c a a b < + + < + + + b) Cho , , , 0a b c d > , chứng minh rằng: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + 1 c) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 3 a ab b a ab b − + ≥ + + d) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + e) Chứng minh rằng với mọi số thực ,a b ta luôn có: | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | | a b a b a b a b + ≤ + + + + + Câu 5. a) Cho , , 0a b c ≥ , chứng minh rằng 3 3 a b c abc + + ≥ b) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + c) Cho , ,x y z là 3 số thỏa 0x y z+ + = , chứng minh rằng: 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ d) Cho 1 1 1 , , 0 và 4x y z x y z > + + = . Tìm GTLN của 1 1 1 2 2 2 P x y z x y z x y z = + + + + + + + + e) Cho , , 0 và 1a b c a b c> + + ≤ , tìm GTNN của các biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ab bc ca a b c S ab bc ca a b b c c a Q ab bc ca a bc b ca c ab = + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + Bài tập luyện thi Đại học 1 Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng f) Cho 1 2 , , ., 0 n a a a > , chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n a a a a a a + + + ≥ + + + L L g) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng: 3 2 2 a b c b c c a a b ≤ + + < + + + Câu 6. a) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + b) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + + + ≤ + + + c) Cho , , , 0a b c d > , chứng minh rằng: 2 a b c d b c c d d a a b + + + ≥ + + + + Câu 7. a) Cho , , 0a b c > và 3a b c+ + ≤ , chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c + + ≤ ≤ + + + + + + + + b) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab + + + + + ≤ + + ≤ + + c) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 a b c abc a bc b ca c ab + + + + ≤ + + + d) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc + + ≤ + + + + + + Câu 8. a) Cho , 1a b ≥ , chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1 ab a b + ≥ + + + b) Cho 1 1 1 1 , , , 2 3 4 5 x y z t≥ ≥ ≥ ≥ , chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 120 1 4 1 9 1 16 1 25 xyzt x y z t + + + ≥ + + + + + c) Cho , , 1a b c ≥ , chứng minh rằng: 3 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 abc a b c + + ≥ + + + + Câu 9. a) Cho 0, 0, 1a b a b> > + = , chứng minh rằng: 2 2 1 1 25 2 a b a b     + + + ≥  ÷  ÷     b) Giải phương trình hai ẩn số: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin cos 12 sin 2 sin cos x x y x x     + + + = +  ÷  ÷     Câu 10. a) Nếu 1 0 log ( ) a và thì log a c a b c b b c + < < > > + b) 6 7 8 log 7 log 8 log 9 3,3+ + < c) Nếu 1 , , , 1 4 a b c a< < thì 1 1 1 1 log log log log 8 4 4 4 4 a b c d b c d a         − + − + − + − ≥  ÷  ÷  ÷  ÷         d) Nếu 2 2 2 , , 2 log log log 3 thì b c c a c a a b c a b c + + + ≥ + + ≥ Câu 11. a) Chứng minh rằng nếu 1 2 3 1 2 3 , , , , , 0a a a b b b ≥ thì: 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ( )( )( )a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ + Bài tập luyện thi Đại học 2 Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng Suy ra ( ) 3 3 1 1 1 1 2 3 (1 )(1 )(1 ) 1a b c a a a+ + + ≥ + b) Cho , , , 0a b c d > , và 1 1 1 1 3 1 1 1 1a b c d + + + ≥ + + + + , chứng minh rằng 1 81 abcd ≤ c) Cho 0 , , 1a b c≤ ≤ , chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 1 a b c a b c b c c a a b + + + − − − ≤ + + + + + + Câu 12. a) Cho 0; ,a b m n N + + ≥ ∈ , chứng minh rằng: 2 2 2 m m n n m n m n a b a b a b + +    + + + ≤  ÷ ÷    b) Cho , 0;a b n N + ≥ ∈ , chứng minh rằng: 2 2 n n n a b a b+ +   ≤  ÷   c) Cho 0a b+ ≥ , chứng minh rằng: 2 2 4 4 8 8 12 12 ( )( )( )( ) 8( )a b a b a b a b a b+ + + + ≤ + Câu 13. a) Cho 1 3 1 2 , , ,a a b b là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )a b a b a a b b+ + + ≥ + + + b) Cho 1 2 3 1 2 3 , , , , ,a a a b b b là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )a b a b a b a a a b b b + + + + + ≥ + + + + + c) Chứng minh rằng với mọi ,x y R∈ ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y+ − + + − ≥ d) Chứng minh rằng với mọi , ,x y z R∈ ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z x xz z+ + + + + ≥ + + e) Chứng minh rằng 2 2 1 1 2,a a a a a R+ + + − + ≥ ∀ ∈ f) Cho , , 0x y z > , chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3( )x xy y y yz z z zx x x y z+ + + + + + + + ≥ + + g) Cho , , 0 1 và a b c ab bc ca> + + = , chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c b a c ab bc ca + + + + + ≥ h) Giả sử hệ 2 2 2 2 3 16 x xy y y yz z  + + =   + + =   có nghiệm. Chứng minh rằng: 8xy yz zx+ + ≤ . i) Cho , ,x y z là ba số dương và 1x y z+ + ≤ , chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ Câu 14. a) Cho , ,x y z là các số thực khác 0. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + b) Cho , , 0a b c > , chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a b c c a a b + + < + + + + + + + + Câu 15. Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2004 2006y x x= + − Bài tập luyện thi Đại học 3 . n n a b a b+ +   ≤  ÷   c) Cho 0a b+ ≥ , chứng minh rằng: 2 2 4 4 8 8 12 12 ( )( )( )( ) 8( )a b a b a b a b a b+ + + + ≤ + Câu 13. a) Cho 1 3 1 2. 1 1 1 1 , , , 2 3 4 5 x y z t≥ ≥ ≥ ≥ , chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 120 1 4 1 9 1 16 1 25 xyzt x y z t + + + ≥ + + + + + c) Cho , , 1a b c ≥ , chứng