Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

Cuốn sách cung cấp cho người học các bài tập về giới hạn, dạng vô định, hàm số liên tục, đạo hàm, vi phân và ứng dụng, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tiệm cận, khảo sát các hàm, tiếp tuyến, tiếp điểm, giao điểm, đối xứng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Điểm uốn của đồ thị

Điếm U(xo;f(xo)) được gọi là điếm uốn của (C): y = f(x) nếu tồn tại một khoang (a;b) chứa điếm Xo sao cho một trong 2 khoảng (a,xn), (xn,b) thì tiếp tuyến tại điếm u nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Phương pháp tìm điểm uốn: Cho y = f(x) có đạo hàm cấp 2 một khoáng (a;b) chứa điếm Xo Nếu f ’ ’(xo) = 0 và f ’ ’(x) đổi dẩu khi X qua điểm Xo thì U(xQ;f(xo)) là điểm uốn cúa đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 14.1: Tìm điểm uốn của đồ thị; V = x^ - 3x^ + ].

Giải

Tập xác định D = R Ta có y' = 3x^ - 6x, y" = 6x - 6,

y" = 0 X = 1 và y ” đổi dấu qua X = 1 Vậy điểm uốn 1(1; -1)

Bài toán 14.2: Tìm điểm uốn của đồ thị: y = x'* - 2x^

Có 4 dạng dồ thị hàm hậc 3: y = ax^ + bx^ -f- cx + d, a

Dùng dồ thị biện luận số nghiệm phương trình: g(x,m) =0

Đưa phương trình về dạngf(x) = h(m) trong đó vế trái là hàm sổ đang xét, đã

vẽ đồ thị (C): y = f(x) hay suv đồ thị sổ nghiệm là số giao điếm của đồ thị (C) với đường thẳng y = lĩ(m) Dựa vào đồ thị và lương giao với đường thắng thì có số nghiệm tương ứng cần tìm.

trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì lấy đổi xứng qua trục hoành

*y = f(-x}: bằng cách lấy đối xứng qua trục tung

* y = f ( \ x \ ) : hằng cách giữ nguvên phần đồ thị hên phải trục tung, và lấy đổi xứng phần đó qua trục tung (do hàm sổ chẵn).

* y = - f(-x) bằng cách lẩy dổi xứng qua gổc.

*y = f(x) + b, y = f(x + a) , y = f(x + a) + b bằng các phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Chứng minh (C)

y' > 0 «> X e (-co ; -1) u (1; + o o ); y' < 0 X 6 (-1; 1)Bảng biển thiên:

y" = 12x, y" = 0 <=> X = 0 nên điểm uốn 1(0; 1)

Ta chứng minh điểm uốn 1(0 ;1) là tâm đối xứng

b) Phương trình đã cho lương đương 2x^ - 6x + 1 = m Do đó, số nghiệm của phương trình đã cho bàng số điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng y = m.Dựa vào đồ thị (C), ta được:

- Nếu m > 5 hoặc m < -3 thì phương trình có 1 nghiệm

- Nếu m = 5 hoặc m = -3 thì phương trình có 2 nghiệm

- Nếu -3 < m < 5 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 14.4: Cho hàm số y = - —x^ + (m - l)x^ + (m + 3)x - 4

3a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sổ khi m - 0

b) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)

Hàm sô đạt cực đại tại; X = 1, ycD “ y(l) = ~

Hàm số đạt cực tiểu tại: X = -3, ycT = y(-3) = -13.

Đồ thị: y" = -2x - 2, y" = 0 » X

tâm đối xứng

b) y' = -X + 2(m - l)x + (m f 3); A' = m - m + 4 > 0, Vm nên y' luôn có hai nghiệm phân biệt.

• Đồ thị: y" = -6x 4 6, y" = 0 <=> X = 1 nên đồ thị có điểm uốn 1(1; 0).

y' = 0 X = -1 hoặc X = 3

Hàm sổ đồng biến trên các khoảng {-co; -1) và (3; +oo); nghịch biến trên khoảng

- 3 2(-1; 3).Hàm sô đạt cực đại tại X = -1; ycĐ - 0 và đạt cực tiêu tại X = 3; ycT = —— - •

V-Nên đồ ihị (C ) giữ nguyên phần dồ thị (C) khi X > 5 và lấy dối xứng phần X <

5 của (C) qua Ox

lĩÀ l T Ậ P Bài tập 14.1: Cho hàm số y = x^ -3x^ t 1.

a) Kháo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C)

b) Chứng minh (C) có tâm dối xứng

lỉD -D S

a) y' ^ 3x^ - 6x, y' == 0 Cí> X " 0 hoặc X “ 2

Hàm số dồng biến trên (-oo; 0) và (2; t so),

nghịch biến trôn (0; 2), dạt CD(0; 1), c '1(2; -3)

b) tâm dối xứng là đicm uốn I( 1; -1)

Bài tập 14.2: Cho hàm số y ^ -X‘^ ( 3x^ I mx - 2 (1), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vc đồ thị của hàm số (1) khi m 0

b) Tìm các giá trị m đổ hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2)

i Ĩ d - d s

V I 3x^ - 2.a) Khi m - 0 thì y

b) Hàm số nghịch biến trên (0; 2) khi và chỉ khi y' < 0, Vx e (0; 2) m < -3 Bài tập 14.3: Cho hàm số y x‘^ - 3x^ - 9x

nên đồ thị có hai điểm uốn

9Cho X = 0 => y = 7, cho y = 0 => X = ±1 hoặc X - ± - J Ĩ

Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.

Bài toán 15.2: Cho hàm số y = - — x"* + — mx^ (1).

a) Kháo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều

Đồ thị: y" = -12x^ - 4 < 0, Vx nên đồ thị không có điểm uốn.

Cho y = 0 X = ±^J^l6 - \ . Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng

BBT X -00 0 +00

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +oo),

nghịch biến trên khoảng ( - Q O ; 0)

Đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng

Bài toán 15.5: Cho hàm số y = 2x"* - 4x^.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Với các giá trị nào của m, phưong trình x^ 1 x^ - 2 I = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Giải

a) •Tập xác định D = R Hàm số chẵn.

• Sự biển thiên: y' = 8x^ - 8x; y' = 0 <=> X = 0 hoặc X = ±1

Hàm số nghịch biến trên (-00, -1) và (0; 1), đồng biến trên (-1; 0) và (1; +oo) Hàm số đạt cực tiểu tại X = ±1, ycT = -2; đạt cực đại tại X = 0, ycĐ = 0

Dồ thị nhận trục tunn là trục dôi xứnu

b) Ta có x“ Ị X' - 2 I m I 2x ' - 4x“ ! 2m

Í2x ' - 4 x ' khi ’xi> V2 i „

V I 2x - 4x" 1 ncn dò thị (C') dược suy tù dô

Ị - ( 2x' - 4 x") khi ,x < \/2

thị (C) bànịi cách giữ nuLiNcn phần do thị ơ phía trcn Ox còn phan phía dirới Ox

cua ((') thi la> dôi xứng C|ua 0 \

Dựa \à o dồ thị ycu cau bài toán duợc thoa mãn khi \'à chi khi:

t) < 2m 2 < ■> 0 • m ■' 1

HẢI rẬp Bài tập 15.1: Khao sal \ à vc dồ thị hàm số: \ x ' - X"

n ỉ)-j)S ' yỈ 2 \ ]

Bài tập 15.4: Cho hàm số y = x"^ - 6x^ + 5.

a) Khảo sát và vẽ đồ Ihị (C) của hàm số

b) Tìm m để phưong trình -6x^ - m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bước 3: Vẽ đồ thị Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ Vẽ đúng đồ thị, Im iỷ lãm đổi xứng là giao điểm 2 tiệm cận.

Tìm điếm trên đồ thị có tọa độ nguyên:

Thêm bớt chia tách, đưa về dạng — = A+ ^

cx + d cx + d

Bài toán 16.1: Cho hàm số y = x - 3

2- xa) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) cùa hàm số

b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng

Giải

a) • Tập xác định D = R \ {2}

biến trên mỗi khoảng (-0 0: 2) và (2; +oo)

b) Giao điểm của hai tiệm cận là 1(2; -1)

Áp dụng công thức chuyển hệ bằng phép tịnh tiến vectơ 0 1;

Đồ thi (C) trong hê toa đô IXY: Y - 1 = ^ o Y = —

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là số nguyên

• Đồ thị: Cho x = 0 = > y = l ; y = 0 = > x = — Đồ thị nhận giao điểm 1(1; 2) của

Điểm M(x; y) e (C) có toạ độ nguyên khi X - 1 = ±1

Suy ra (C) có 2 điểm (0; 1) và (2; 3) có toạ độ là số nguyên

3 - 2 xBài to án 16.3: Cho hàm số y

của hàm số Suy ra đồ thị (C ): y

x- 1

3 - 2 x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

Đồ thị: Cắt trục tung tại điểm (0; -3) và trục hoành tại điểm ( —; 0)

Tâm đối xứng 1(1 ;-2)

Bài toán 16.4: Cho hàm số y = X - 2

x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận số nghiệm của phưcmg trình X - 2

\ 1 ,

b) Sô nghicm cua phươnu Irình 2in ' 1 là sô uiao diêm cùa dỏ thị (C")

Ịx t 1

X 2cua liàm sò V , , \ ới dướn” ihănu V 2m t 1

Suv ra dồ thị (C ) uiữ nguycn phân dồ thị (C) năm bcn phái duxTng thăng X -1

\à lây dôi xứng phân bcn trái dường thănu X -1 qua iriic hoành Dựa vào dô thị

ta có:

Ncu 2m t 1 < -1 m < -1 thì phưcrng trinh có 2 nghiệm phàn biệt

Ncu -1 < 2m M < 1 c> -1 < m < 0 thì 1’ 1' có 1 nghiệm duv nhất

Ncu 2m ( 1 > 1 C4> m > 0 thì phuírng trình vô nghiệm

Bước 3: Vẽ đồ thị Cho vài giả trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ Vẽ đúng đo thị, lint ý lâm đối xứng là giao điếm 2 tiệm cận.

Có 4 dạng đồ thị hàm hữu tỉ:y =ax^ + b x + c

a ’x + b’ (a^^O, a ' ^ 0 )

Bài toán 17.1: Khảo sát và vẽ đồ thị (C): y = x '+ 4 Tìm các điểm trên (C) cótoạ độ là số nguyên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-00; -2) và (2; +00),

nghịch biến trên mỗi khoảng (-2; 0) và (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm X = -2, ycĐ = -4

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm X = 2, ycT = 4

• Đồ thị; tâm đối xứng là gốc o.

-Điêm M(x; y) 6 (C): y = X + — có toạ độ nguyên khi X là ước sô của 4 nên (C)

X

có 6 điểm có toạ độ nguyên:( 1; 5), (-1; -5), (2; 4),(-2;-4),(4;5) và (-4; -5)

Bài to án 17.2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y

Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng

lim (y - x) = lim — — = 0 nên TCX: y = X.

a) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại Xi, X2 sao cho X1X2 = -3.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = 2

Giải

- X' + 2x + m +1

a )D = R \ { l} T a c ó y ' =

(1-x ) ^y' = 0 < » x^ - 2 x - m - 1 = 0, X 5Ế 1 (A' = 2 + m)

Um y = +00, lim y = -co nên TCĐ: X = 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phưoTig trình sau có hai nghiệm dưong phân biệt:

Ta có lim y = -co, lim y =+00 nên TCĐ: X = -1

lim (y - (x +1)) = lim —— = 0 nên TCX: y = X + 1.

x- 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Suy ra đồ thị y = x^ +2x

x- 1

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C).

h) ỉ)ô ihị của hàm sô dã cho có hai diêm cực trị là:

b) rim m dc hàm sò (1) dònu bicn Ircn 1 1; ’ cc)

n n -D S

-V à.v V i 1

X ’ - 4x t 3a) Khi m -1 thì y

8

,v 1

H D -Đ S

- 1x1 + 1

, 1 x ^'-2x _ x^ -|x

|-là hàm số chẵn

S ự TƯƠNG GIAO, GIAO ĐIỂM

Cho 2 đồ ihị cùa hùm sổ: y = f(x), y = g(x)

Phương trình hoành độ giao ăiêm: f(x) = g(x) C:>f(x) -g (x) = ỡ /à một phương trình đại sổ, íuỳ theo sổ nghiệm mà có quan hệ tương giao Vô nghiệm: không có điêm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điêm,

Chú ỷ:

1) Phương trình bậc 3: ax^ + bx^ + cx + d = 0, a 0

Nếu có nghiệm X = Xo ihĩphân tích: (x -Xọ) (Ax‘ + Bx + C) = 0.

Nếu đặt hàm số f(x) = ax^ + bx‘ + cx + d thì điều kiện:

Cổ 1 nghiệm: đồ thị không cổ cực trị hoặc ycD- ycT > 0,

Có 2 nghiệm: ycD ■ ycr ~ 0, có 3 nghiệm phân biệt: ycD ■ ycT < 0:

Vì X = 1 không phải là nghiệm và A = (m + 3)^ - 8m = m^ - 2m + 9 > 0 với mọi

m, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt suy ra đpcm

Bài toán 18.2: Chứng minh rằng đường thẳng y = X + 1 luôn cắt đồ thị hàm số

y = x'* + 2m'x^ + 1 tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m

nên phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất X 0: đpcm

Bài toán 18.3: Tìm m để đường thẳng d: y = -2x -2 cắt đồ thị hàm số

y = x^ + (2m + l)x^ + 3mx + m tại 3 điểm phân biệt

Bài toán 18.4: Tìm m để đồ thị (Cm): y = x^ - 3mx + m + 1 cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt

Bài toán 18.5: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x^ - 2x^ + (l-m )x + m cắt Ox tại 3

điểm phân biệt có hoành độ Xi, X|, X3 thỏa mãn điều kiện X," + ^2 + X3 < 4

Bài toán 18.6: Với các giá trị nào của m, dưcmg thăng y m ) 3x căt dô thị

y ' X' - 2 \ t 3x - 3 tại bốn điốm phân biệt

jA’> 0 m + 4 > ()

p > 0 <TJ> < - m - 3 > 0 ~4 < m < -3

Bài toán 18.7: Cho hàm số y x ' - (3m t 2)x‘ i 3m có dồ thị là (C,„) là tham

số '1'ìm in dc dường tháng y -1 cẳt dồ thị (C,„) tại 4 diốm phân biệt dều có hoành dộ nhỏ hcrn 2

a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng

X = -1 của đồ thị Đường thẳng (dm) cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm Xi, X2 và Xi < -1 < X2.Đặt X = t - 1 thỉ Xi < -] < X2 => ti < 0 < Í2

Giải

PTHĐGĐ: ^ = -2x + m o 3x^ + (1 - m)x - 1 = 0 (x ^ 0) Vì a, c trái

Xdấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Xi, X2 khác 0 với mọi m

Hoành độ trung điểm I của AB: Xi X ,+ Xj m- 1

Điêu kiện I e Oy <=> Xi = 0 <+> —— = 0 <=> m = 1

6Vậy giá trị cần tìm: m =1

Hài toán 18.10; 1 ìm m dố dồ thị; y x ’ r mx I 2 cắt trục hoành dũng 1 diồm.

Bài tập 18.2 : Cho hàm sổ y x ’ - 3x^ I 4 Chímg minh mọi đưÒTig thẳng qua 1( 1; 2 ),

hệ số góc k > -3 dcu cắt dồ thị tại 3 diêm phân biộl 1, A, lỉ dòng thời I trung điểm AB

H D-Đ S

2 nghiệm cùng < - — hoãc cùng > - — , m <0, mí>t-3

Bài tập 18.5: Tìm m để đồ thị (Cm): y = - 3x^ + 3(1 - m)x + 1 + 3m cắt trụchoành đúng 1 điểm

IID -Đ S

Đánh giá tham số m = f(x), m < 1

Tiếp tuyến tại điểm

Đồ thị (C): y =f(x) thì tiếp tuyển tại điểm M(xo;yo):

y -yo = f Ỵxo) (x -Xo), hệ sổ góc: f '(x) = k = ían(0x,t)

Tiếp tuyến biết hoành độ tiếp điểm

Tính f(xo) và f'(xo) rồi thay vào phương trình:

y = f'(x o )(x -x n )+ f(xo)

Tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm

Giải phương trĩnh f(x) = yo đế tìm hoành độ Xo của tiếp điểm

Sau khi tìm được Xo thì tỉnh f '(xo) rồi thế vào phiỉơng trình trên.

Tiếp tuyến biết hệ số góc tiếp tuyến

Giải phương trình f'(x) = k đế tìm hoành độ Xo của tiếp điểm rồi tính f'(xo), thể vào phương trình trên

Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

Lập phương trình tiếp tuyến tại Xo bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điếm K(a; b) cho trước thì tìm ra Xo.

Chú ý:

ỉ) Phương trình y == ax ^ b có hệ số góc a - tana, trong đó a là góc họp bởi tia Ox với đường thăng.

2) Với hai đường thẳng d: y - ax + b, d': y = a'x + b'thì có:

d = d'khi a a', b = b'; d / / d'khi a = a', b í+ò'; d l d ' k h i a a '= - 1

Bài toán 19.T Viết phương trinh tiếp tuyến cùa đồ thị hàm số;

a) Ta có Xo = 0 nên f(xo) = -1

f '(x) = Kx + l ) - ( x - l ) ^ 2 = ^ f ’(xo) = 2

( x + i ỵ ( x + i r Thế vào thì có tiếp tuyến y == 2(x - 0) - 1 = 2x - 1

b) Lập phương trình tiếp tuyến có hệ sổ góc lớn nhất

Bài toán 19.3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị:

a) y = -x"^ + 2x^ - 2 tại điểm uốn

, N _ x^ - 3x + 1 , Ị ị ị , , , , _ 4 _

b) y = - ■■■-— biêt tiêp tuyên vuông góc với d: y = - — X + 7

Với Xo = 0 thì f(xo) = - — nên có tiếp tuyến y = — X - —.

Với Xo = 4 thì f(xo) = — nên có tiếp tuyến y = — X - —

Bài toán 19.4: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

a) y = x^ - 3x + 2, biết tiếp tuyến song song trục hoành

b) y = 2x“ - 3x + 9, biết tiếp tuyến họp với trục hoành góc 45°

Giải

a) y’ = 3x^ - 3 Tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc là đạo hàm y' = 0 o 3x^ - 3 = 0 <»■ Xo = ±1

Với Xo = 1 thi f(xo) = 0: loại

Với Xo = -1 thì f(xo) = 4 nên có tiếp tuyến; y = 4

b) y' = 4x - 3 Tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 45° nên hệ số góc

k = ± tan45° = ±1.Xét y' = 1 <=> 4x - 3 = 1 <t=> Xo = 1

Ta có f(xo) = 8 nên có tiếp tuyến: y = X + 7

Xét y' = -1 <=> 4x - 3 = -1 <=> Xo = —

17

Ta có f(xo) = 8 nên có tiêp tuyên: y = -X + —

Bài toán 19.5: Cho hai đồ thị (C): f(x) = 2x^ 4- 3x^ + 1 và (P): g(x) = 2x^ + 1.a) Viết phưoTig trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.b) Xác định các khoảng (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (P).

Ta có f'(x ) = 6x^ + 6x; g'(x) = 4x

f '(0) = 0; g'(0) = 0 nên đường thẳng y = 1 là tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại điểm A

f ’ _L) = _ nên tiêp tuyên của (C) tại diêm B là y — X + —

g'(- —) = -2 nên tiếp tuyến của (P) tại điểm B là y = -2x + —

Bài toán 19.7: Cho đồ thị (C); y = - 5x^ + 2.

a) Lập phưong trình tiếp tuyến tại A(0; 2)

b) Lập phương trình tiếp tuyến đi qua A(0; 2)

và x^ - 5xi + 6 -(-X2 + 5X2 - 11) = (2xi - 5)(xi - X2)

nên; xf - 5xi + 17 + (5 - Xi)^ - 5(5 - Xi) - (2xi - 5)^ = 0

<=>2x^ -1 0 x i + 8 = 0< »X i = l hoặc X] = 4

Với X) = 1 thì a = -3, b = 5 Với X| = 4 thì a = 3, b = -10

Vậy có 2 tiếp tuyến chung: y = 3x - 10 và y = -3x + 5

Bài toán 19.9: Chứng minh trên (C): y = - 2x^ + 2x + 9 không có hai điểm nào

mà hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau

Giải

Ta có: f'(x ) = 3x^ - 4x + 2 > 0, Vx e R

Gọi X], X2là hoành dộ hai điểm bất kì trên (C) thì hệ số góc hai tiếp tuyến với (C) tại hai điểm trên là f'(x i) và f'(X2) Ta có: f'(X|), f'(X2) > 0 nên f'(xi) f'(X2) ^ -1 Vậy hai tiếp tuyến này không thể vuông góc với nhau

Bài toán 19.10: T 'ìm a để tiếp tuyến của hàm số y = —x ”* -3 x ^ + — tại X = a cắt

(C) tại 2 điểm khác nữa

Giải

Phương trình tiếp tuyến tại X = a

y = (2a^ - 6a)(x - a) + -— 3a^ + —= 2a(a^ - 3)x - — a"* +3a^ + —

PTHĐGĐ: — - 3 x ' + - = 2a(a^ - 3)x - - a ^ 3 a ' + -

x'’ - 6x^ - 4a(a^ - 3)x -t 3a'* - 6a^ = 0

(x - a)^(x^ + 2ax + 3a^ - 6) = 0

Điều kiện cần tìm: A '=a^ -3 a ^ + 6 > 0<=>[ - V3 < a < V3

Bài toán 19.11: Xác định m đế đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C): y x + 1

x - 1 tạihai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

'l‘a có y' 3x' - 6x

Ticp tiiycn cắt các trục ()x Oy lan lượt tại các dicm phân biộl A, B sao cho

OB 9()A ncn hệ số góc của ticp tuycn d là:

Với X ( ) -1 phương trình cua d là y 9x i 7

Với X ( ) 3 phưong trình của d là V 9x - 25,

Bài toán 19.13: Cho hvpcbol (11); V 1 iốp tuyến ( 1) tai X a / 2 cắt truc

X - 2hoành Ox tại A \'à cắt dường thăng d: X 2 tại B Chứng minh M là trung dicm cua AB và diộn tích tam uiác giới hạn h(Vi licp tuvcn, Ox và d không dôi

( a -2)' :r> x,\ 2a - 2.Giao điôm B với dườnư thăng d; X 2

Vậy ticp diC'm M là trung diêm cua ,M1

Gọi 1 là giao dicm của Ox và d thi 1(2; 0), l am giác can xác dịnh là tam giác ABl vuônu tại I có diện lích:

s lA.IB 2 a - 2 - 2

a- 2

B Ả I T Ậ Plìài tập 19.1: Viết phương trình các tiếp tuycn của dồ thị hàm số;

Bài tập 19.2: Viốt phuxrng trình tiếp tuyến cua parabol (!’): V x‘

a) i)i qua dicm H(0; -1)

b) Song soim với dây AB biết A, B thuộc (P) cỏ hoành dộ -2 và 1

X() -4 hoặc X() 8 có 2 tiếp tuyến y ' X - 2 và y - 25(x - 2)

Bài tập 19.4: I.ập phmmg trình ticp tuyốn với do thị có hộ số góc k:

là licp luycn của (C) lại ticp dicm B khác, lìm dicm B

sự TIẾP XÚC CỦA HAI ĐÒ THỊ

Điều kiện 2 đồ thị y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc là hệ phương trình:

3Vậy hai đưòng cong tiêp xúc với nhau tại gôc toạ độ o , y'(0) = —

3Phương trình tiêp tuyên chung là y = — X.

Bài toán 20.3: Chứng minh 3 đồ thị: f(x) = -x^ + 3x + 6, g(x) = x^ - x^ + 4 và h(x) = x“ + 7x + 8 tiếp xúc với nhau tại điểm A (-l; 2).

Giải

Ta có điểm A (-l; 2) là điểm chung của ba đường cong đã cho

Ngoài ra, ta có; f'(x ) = -2x + 3 ; g'(x) = 3x^ - 2x ; h'(x) = 2x + 7

n ê n f '( - l) = g '(-l) = h '(-l) = 5

Vậy ba đường cong có tiép tuyến chung tại điểm A đpcm

Bài toán 20.4: Tìm m để đường thẳng d; y = mx - 1

o X = 1 Thế vào (2) thì m = 5 Vậy 2 đồ thị tiếp xúc khi m = 5

Bài toán 20.5: Tìm k để đồ thị hàm sổ; y = x^ - 1 - k(x - 1) tiếp xúc với trục

Parabol tiếp xúc với hypebol tại điểm M khi và chỉ khi;

Đưòng thăng d đi qua E ( ~ ; -1) có hệ sô góc k; y = k(x - — ) - 1

Điều kiện d tiếp xúc với (C);

Với Xo = 2 thi k = 0 ; Với X() = 3 thì k = 9.Với Xo = - thì k = - —

Vậy có 3 tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm E

Bài toán 20.8: Có bao nhiêu tiôp tuyển của đô thị (C): y = - - đi qua A (-l; 0)

x + 1

Giải

Đường thẳng d đi qua A (-l; 0), hệ sổ góc k có phương trình y = k(x + 1)

Để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C), điều kiện cần và đủ là hệ phương trình sau có nghiệm: